Destinos. O r i g e n s

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1 Sistemas de Apoio a Decis~ao Problemas de Transportes Slide Transpar^encias de apoio a leccionaοc~ao de aulas teóricas José Fernando Oliveira O problema da distribuiοc~ao de frigor ficos Slide Um fabricante de frigor ficos tem fábricas, de onde abastece clientes (distribuidores). No in cio de cada m^es recebe de cada cliente a informaοc~ao sobre o número de frigor ficos que pretende para esse m^es. Esses frigor ficos ter~ao que ser produzidos nas várias fábricas, atendendo a capacidade de produοc~ao de cada uma delas. O custo de transportar um frigor fico de cada fábrica para cada cliente é conhecido. O problema consiste em determinar que fábrica(s) deve(m) abastecer cada cliente, e em que quantidades, de forma a que, respeitando as capacidades de produοc~ao das fábricas e satisfazendo as necessidades dos clientes, o custo total de transporte seja minimizado. Formule este problema considerando que as capacidades de produοc~ao s~ao iguais em todas as fábricas (0 frigor ficos) e que as necessidades dos clientes s~ao de 0, 0 e 0 frigor ficos. Os custos unitários de transporte s~ao os indicados na tabela seguinte (em milhares de escudos): Clientes 4 Fábricas 5 6

2 Sistemas de Apoio a Decis~ao Modelo x ij quantidade a transportar da fábrica i para o cliente j suj. a: min x +4x +x + x +5x +x + x + x +6x Slide x +x +x» 0 x +x +x» 0 x +x +x» 0 x +x +x 0 x +x +x 0 x +x +x 0 x ; x ; x ; x ; x ; x ; x ; x ; x 0 Estrutura de um Problema de Transportes (PT) ffl origens onde existe um bem ou serviοco dispon vel (em quantidades limitadas); ffl destinos onde esse bem ou serviοco é necessário; Slide 4 ffl existem, e s~ao conhecidos, custos unitários de transportar" entre cada origem e cada destino; ffl o objectivo é determinar a pol tica óptima de transportes, isto é, aquela que satisfazendo as necessidades e respeitando as disponibilidades, minimiza o custo total de transporte.

3 Sistemas de Apoio a Decis~ao Modelo do PT Slide 5 x ij quantidade a transportar da origem i para o destino j; c ij custo de transportar uma unidade da origem i para o destino j; d i disponibilidade na origem i; n j necessidade no destino j. suj. a: X j X i min X i X j c ij x ij x ij» d i ; 8 i (restriοc~oes da oferta) x ij n j ; 8 j (restriοc~oes de procura) x ij 0 Distribuiοc~ao de frigor ficos a rede de transportes Disponibilidades Origens Destinos Necessidades d =0 4 n =0 Slide 6 d =0 d =0 6 5 n =0 n =0 Pi d i =60 Pj n j =60 Disponibilidades totais = Procura total Λ Problema na forma standard"

4 Sistemas de Apoio a Decis~ao 4 Forma standard" de um PT P oferta = P procura Slide 7 m Tudo o que está nas origens é transportado para os destinos. + As restriοc~oes s~ao satisfeitas nas igualdades. Somando ffl as equaοc~oes das restriοc~oes da XX P x ij = i oferta d i & i j ffl as equaοc~oes das restriοc~oes da iguais XX P procura x ij = j n j % obtém-se a mesma equaοc~ao! j i Equaοc~oes linearmente dependentes! há uma equaοc~ao a mais Conclus~ao: Num PT na forma standard" só é necessário considerar n o de origens + n o de destinos - equaοc~oes. Resoluοc~ao de um PT ffl modelo de PT é um modelo de PL ) método Simplex; ffl s~ao problemas com uma estrutura particular ) desenvolvimento de um algoritmo espec fico, que tira partido dessas particularidades, baseado no Simplex e noutros conceitos de PL avanοcada. Slide 8 Quadro para o algoritmo de transportes Destinos O r i g e n s , Formulaοc~ao como um PT 0 0 0

5 Sistemas de Apoio a Decis~ao 5 Geraοc~ao de uma soluοc~ao inicial (i) Regra dos custos m nimos Slide 9 Geraοc~ao de uma soluοc~ao inicial (ii) Regra do canto NW Slide 0

6 Sistemas de Apoio a Decis~ao 6 Soluοc~oes iniciais (básicas) degeneradas Slide ffl Apenas 4 variáveis diferentes de zero. ffl n + m - = 5 variáveis básicas necessárias. Logo, teremos que promover" uma variável nula a básica. (Soluοc~ao básica degenerada) Regra para escolha da variável nula que será considerada básica: x O grafo representativo das variáveis básicas terá que ser uma árvore e conexo Logo, poderemos tomar x, x, x ou x, mas n~ao x. Algoritmo de transportes (i) Cálculo dos custos marginais Para cada variável básica x ij definem-se dois custos (os custos marginais) que somados d~ao o custo unitário de transporte dessa variável básica, c ij. Slide O custo de transportar uma unidade de i para j pode ser entendido como a soma de custos: ffl u i (custo de despacho em i) 0 ffl v j (custo de recepοc~ao em j) É necessário arbitrar um destes custos para uma das variáveis básicas (normalmente arbitra-se 0 para o custo do canto superior esquerdo)

7 Sistemas de Apoio a Decis~ao 7 Algoritmo de transportes (ii) Slide Cálculo das diferenοcas Para todas as variáveis n~ao básicas calcula-se um ij = c ij [u i + v j ]. Entrará na base a variável n~ao básica com ij mais negativo (problema de minimizaοc~ao). Ao entrar na base esta variável deixa de valer 0 passando a valer θ 0+ θ, positivo. O valor 4 4 das variáveis básicas altera-se de forma a respeitarem-se disponibilidades e necessida θ 0 - θ des. O valor de será θ = 0 tal que nenhuma variável venha negativa. Continuando a resolver θ -- 0+θ θ θ θ 0 θ 4 9 θ 0-θ θ 0-θ θ θ 5 - Slide θ 0 - θ -4 6 θ = θ = θ = Solução óptima x = 0, x = 0, x = 0, x = 0, x = 0 Custo óptimo = = 0

8 Sistemas de Apoio a Decis~ao 8 Exemplo Slide 5 Uma companhia construtora de avi~oes pretende planear a produοc~ao de um motor, para os próximos 4 meses. Para satisfazer as datas de entrega contratuais necessita de fornecer os motores nas quantidades indicadas na segunda coluna do quadro. O número máximo de motores que a companhia produz por m^es, bem como o custo de cada motor (em milh~oes de dólares) s~ao dados na terceira e quarta colunas do referido quadro. Dadas as variaοc~oes nos custos de produοc~ao, pode valer a pena produzir alguns motores um ou mais meses antes das datas programadas para entrega. Se se optar por esta hipótese, os motores ser~ao armazenados até ao m^es de entrega, com um custo adicional de 0.05 milh~oes de dólares/m^es. M^es Quantidades Produοc~ao Custo unitário Custo unitário a entregar máxima de produοc~ao de armazenagem O director de produοc~ao quer saber quantos motores deve fabricar em cada m^es (e para que meses de entrega) por forma a minimizar os custos globais de produοc~ao e armazenagem. Formule o problema como um problema de transportes. Resoluοc~ao Produção.080 Entrega Mês de entrega 4 x Slide M ê s d e p r o d u ç ã o /

9 Sistemas de Apoio a Decis~ao 9 Problemas de transexpediοc~ao Slide 7 Exemplo: Problemas de transexpediοc~ao (extens~ao do PT) Produtores 0 P 80 P Pontos de transexpedição 00 F F Destinos D 50 D 70 D 60 Quest~oes adicionais: Restriοc~oes de capacidade nas fronteiras (pontos de transexpediοc~ao) Equil brio de fluxos Formulaοc~ao de um problema de transexpediοc~ao como um PT' D D D F F X P P Slide 8 F F Notas: ffl o que é transportado de um ponto de transexpediοc~ao para si próprio representa a capacidade de transexpediοc~ao n~ao usada; ffl caso a capacidade dos pontos de transexpediοc~ao seja infinita, deve-se usar o valor do somatório da procura ou da oferta.

10 Sistemas de Apoio a Decis~ao 0 Formulaοc~ao de problemas de fluxos em redes genéricas Slide 9 Exemplo Restriοc~oes: Nó Disponibilidade = 50 Necessidade = 40 Intermédio 4 Disponibilidade = 0 5 Necessidade = 0 Nós fornecedores: Fluxo que entra + Disponibilidades = Fluxo que sai Nós consumidores: Fluxo que entra - Necessidades = Fluxo que sai Nós intermédios: Fluxo que entra = Fluxo que sai Modelo de PL para problemas de fluxos em redes genéricas x ij fluxos nos ramos suj. a: min 5x + x +x 4 +6x 5 +x +4x 4 +5x 5 +x 4 +7x 45 Slide 0 x +x = 50 x +x 4 +x 5 x = 40 x +x +x 4 +x 5 x 4 = 0 x 4 x 4 +x 4 +x 45 = 0 x 5 x 5 x 45 = 0 x ij 0; 8 i;j equaοc~ao redundante!

11 Sistemas de Apoio a Decis~ao Problemas de Afectaοc~ao Slide Transpar^encias de apoio a leccionaοc~ao de aulas teóricas José Fernando Oliveira Problemas de Afectaοc~ao (PA) Slide Exemplo t pico: Afectaοc~ao de n pessoas a n tarefas. Dados: Tempo que cada pessoa demora a executar cada tarefa. Objectivo: Minimizar o tempo total. Modelo: min suj. a: j= i= i= j= c ij x ij x ij = ; i =:::n x ij = ; j =:::n x ij f0; g; 8 i;j Caso particular de um PT em que: d i = ; 8 i n j = ; 8 j

12 Sistemas de Apoio a Decis~ao Resoluοc~ao do PA Método Húngaro Deve-se ao matemático húngaro König. Quadro de resoluοc~ao: Slide Pressupostos: ffl c ij 0 ffl problema de minimizaοc~ao T T T T 4 M M M M Se fosse poss vel identificar uma afectaοc~ao de custo nulo no quadro de resoluοc~ao ent~ao, dentro dos pressupostos enunciados, essa soluοc~ao seria óptima. O método húngaro vai operar sucessivas transformaοc~oes sobre o quadro, transformando-o em quadros equivalentes (com as mesmas soluοc~oes) mas com mais zeros, até que seja evidente uma soluοc~ao de custo nulo. No fim basta reproduzir essa soluοc~ao sobre o quadro inicial para termos o custo real da afectaοc~ao. Justificaοc~ao do método húngaro Slide 4 Princ pio de funcionamento: Somar ou subtrair uma constante a uma linha ou a uma coluna da matriz dos custos de afectaοc~ao (problema na forma standard"), n~ao altera a afectaοc~ao óptima (embora altere o seu custo). Justificaοc~ao: Se, por hipótese, se reduzem todos os custos da linha de k, a funοc~ao objectivo do PA fica min j= (c j k)x j + i= j= c ij x ij k i= j= j= x j c ij x ij = Como P n j= x ij =a nova funοc~ao objectivo só difere da anterior da constante k, logo, a soluοc~ao óptima do respectivo programa linear n~ao é afectada.

13 Sistemas de Apoio a Decis~ao Algoritmo de aplicaοc~ao do método húngaro Metodologia: Subtrair custos suficientemente elevados as várias linhas e colunas de modo a que a afectaοc~ao óptima seja encontrada por inspecοc~ao. Algoritmo:. subtrair a cada linha o menor elemento dessa linha; Slide 5. subtrair a cada coluna o menor elemento dessa coluna;. riscar as linhas e colunas em que algum dos elementos vale zero, comeοcando pelas que apresentam maior número de zeros; 4. se o número de linhas e colunas riscadas for igual a n (número de itens a afectar), encontrou-se a afectaοc~ao óptima: ela é constitu da por n zeros independentes; 5. sen~ao, selecciona-se o menor elemento n~ao riscado e subtrai-se a todos os elementos n~ao riscados e adiciona-se a todos os elementos riscados duas vezes. Volta-se ao ponto. Layout fabril Slide 6 Uma fábrica possui 4 locais (,,,4) para receber máquinas novas (A,B,C). O local 4é demasiado pequeno para conter a máquina A. O custo de manipulaοc~ao dos materiais que s~ao processados nas máquinas, em centenas de escudos/hora, envolvendo cada máquina e as respectivas posiοc~oes, é o seguinte: 4 A 5 X B 4 C 4 O objectivo é determinar que local ocupará cada uma das novas máquinas, de forma a minimizar o custo total de manipulaοc~ao dos materiais.

14 Sistemas de Apoio a Decis~ao 4 Resoluοc~ao do problema de layout fabril Slide 7 4 A 5 B 4 C 4 F A 0 0 B C 0 F riscos Soluοc~ao óptima 4 A 4 0 B 0 C 0 F riscos < 4 Soluοc~oes óptimas: fa, B, C4, Fg ou fa, B, C4, Fg Custo: 6 Asa de Luxo Lda. A empresa de transportes Asa de Luxo comprou novos pequenos avi~oes. Após um estudo de mercado foram identificados 4 poss veis destinos para os novos voos a estabelecer: Monte Carlo, Ilhas Canárias, Biarritz e as Ilhas Gregas. Para cada um dos destinos foi estimado o lucro que cada avi~ao proporcionaria: Slide 8 Destino A A A Monte Carlo 8 0 Ilhas Canárias Biarritz Ilhas Gregas (lucros em M$) Numa reuni~ao, o administrador da Asa de Luxo (que possui um apartamento em Biarritz) decidiu que Biarritz seria necessariamente o destino de um dos avi~oes. Por outro lado, o Director de Marketing considerou que, por uma quest~ao de estratégia, se deveria atingir o maior número poss vel de destinos, n~ao enviando mais do que um avi~ao para cada destino. O responsável pela manutenοc~ao chamou a atenοc~ao para o facto de os avi~oes A e A n~ao poderem aterrar nas Ilhas Gregas. Decida que avi~ao deve seguir para cada destino e ganhe uma viagem grátis para um destino a sua escolha (oferecida pela Asa de Luxo, obviamente!)

15 Sistemas de Apoio a Decis~ao 5 Resoluοc~ao do problema da Asa de Luxo Lda. Slide 9 Problema de maximizaοc~ao ) calcular o complemento para o máximo (neste caso ) de todos os elementos da matriz e resolver o problema como se fosse de minimizaοc~ao. MC IC B IG MC IC B IG A A 5 A A A A 6 F F MC IC B IG A A A F

16 Sistemas de Apoio a Decis~ao 6 Bibliografia ffl Ferreira, José António Soeiro (995). Apontamentos de Investigaοc~ao Operacional. FEUP. ffl Guimar~aes, Rui Campos (979). Metodologia da Investigaοc~ao Operacional. FEUP. Slide 0 ffl Guimar~aes, Rui Campos (98). Introduοc~ao a Programaοc~ao Linear. FEUP. ffl Guimar~aes, Rui Campos (984). Planeamento e Controle de Projectos: Método CPM e extens~oes. FEUP. ffl Hillier, Fraderick S. e Lieberman, Gerald (995). Introduction to Operations Research, McGraw-Hill. ffl Oliveira, José Fernando (996). Apontamentos de Investigaοc~ao Operacional. FEUP. ffl Ravindram, Philips e Solberg (987). Operations Research, Principles and Practice. John Wiley & Sons. ffl Taha, Hamdy A. (997). Operations Research, an Introduction. Prentice Hall. ffl Tavares, L. V., Oliveira, R. C., Themido, I. H., Correia, F. N. (997). Investigaοc~ao Operacional. Mc Graw-Hill. Slide