INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC INVESTIGÇÃO OPERCIONL TESTE CURSOS: EMP, EEM e EME 2005/2006 Data: 4 de Novembro de 2005 Duração: 19:0 às 21:0 Instruções: 1. Leia atentamente o teste/exame antes de começar. Só haverá lugar a esclarecimento de dúvidas nos primeiros 15 minutos. 2. Está autorizado a usar máquina de calcular individual.. O abandono da sala por desistência só deverá ocorrer depois de decorridos 45 minutos a partir do início do teste/exame. 4. Todas as respostas deverão ser devidamente justificadas. Questões: [2.0] 1. Uma empresa produz e comercializa duas marcas de vinho tinto, Terras do Demo e Chão Rijo, a partir de três castas de uvas que compra directamente ao produtor: Fernão Pires, Moscatel e Bago Graúdo. Os produtores só conseguem, no máximo, garantir uvas para 2500 litros de Fernão Pires, 2000 litros de Moscatel e 1200 litros de Bago Graúdo, ao preço de 1.5, 1 e 0.75 euros/litro respectivamente. O vinho é comercializado em pipas de 100 litros, sendo cada pipa de Terras do Demo vendida por 400 euros, enquanto que a pipa de Chão Rijo é vendida por 50 euros. Por questões de sabor e qualidade, é necessário que o Terras do Demo contenha 70% da casta Fernão Pires e 0% de Bago Graúdo. Do mesmo modo o Chão Rijo terá que conter 40% de Fernão Pires e 60% de Moscatel. dmitindo que não existem outros custos de produção, pretendem-se conhecer as quantidades a produzir de cada marca de vinho de forma a maximizar o lucro líquido. Modele o problema em Programação Linear. 2. Considere o conjunto das soluções admissíveis S (a sombreado) de um problema de Programação Linear: [1.6] (a) Classifique os pontos: = (0, 0, 0), B =(7, 0, 0), C =(5, 2, ), D =(4.5, 4.5, 0) E = (2, 1, ), F =(5, 1, 1), G =(0, 7, 0), H =(6, 1, ) (b) [1.5] Determine, através de uma análise de todas as sba s, a solução óptima do problema se a função objectivo for max z = x 1 +2x 2 x

2 (c) Determine, justificando, uma função objectivo de forma a que: [0.7] i. Os pontos do plano x =sejam soluções óptimas alternativas; [0.7] ii. seja o único ponto óptimo; [0.7] iii. (x 1,x 2,x ) = (x 1,x 2,x ) IR :(x 1,x 2,x )=λ(0, 4, 0) + (1 λ)(0, 4, ), 0 λ 1 ª ; [0.7] iv. B seja o único ponto óptimo.. Considere o problema de Programação Linear: max z = x 1 +x 2 s.a: x 1 +2x 2 8 x 1 + x 2 5 x 1 0, x 2 0 [1.1] (a) Passe-o à forma standard. (b) este problema aplicou-se o algoritmo Primal do Simplex, obtendo-se o quadro óptimo: P PPPPPP B B z j z j [1.5] i. Complete o quadro e apresente a solução óptima do problema. [2.0] ii. Existem soluções óptimas alternativas? Caso existam calcule-as. [1.0] (c) Formule o problema dual. [2.5] (d) Determine a solução óptima do problema dual através das propriedades da dualidade. [2.0] (e) Confirme a solução óptima do problema dual, resolvendo-o geometricamente. (f) Indique, justificando, o valor lógico das seguintes afirmações: [1.0] i. O problema primal tem, no máximo, oito soluções básicas admissíveis. [1.0] ii. solução óptima do problema dual classifica-se como uma solução básica admissível degenerada. 2

3 Tópicos de Resolução do Teste de Inv. Operacional (4/11/05) 1. Uma empresa produz e comercializa duas marcas de vinho tinto, Terras do Demo e Chão Rijo, a partir de três castas de uvas que compra directamente ao produtor: Fernão Pires, Moscatel e Bago Graúdo. Os produtores só conseguem, no máximo, garantir uvas para 2500 litros de Fernão Pires, 2000 litros de Moscatel e 1200 litros de Bago Graúdo, ao preço de 1.5, 1 e 0.75 euros/litro respectivamente. O vinho é comercializado em pipas de 100 litros, sendo cada pipa de Terras do Demo vendida por 400 euros, enquanto que a pipa de Chão Rijo é vendida por 50 euros. Por questões de sabor e qualidade, é necessário que o Terras do Demo contenha 70% da casta Fernão Pires e 0% de Bago Graúdo. Do mesmo modo o Chão Rijo terá que conter 40% de Fernão Pires e 60% de Moscatel. dmitindo que não existem outros custos de produção, pretendem-se conhecer as quantidades a produzir de cada marca de vinho de forma a maximizar o lucro líquido. Modele o problema em Programação Linear. x 1 - quantidade, em litros, de Terras do Demo a produzir x 2 - quantidade, em litros, de Chão Rijo a produzir max z = ( ) x 1 +( ) x 2 s.a: 0.7x x x x x 1,x Considere o conjunto das soluções admissíveis S (a sombreado) de um problema de Programação Linear: (a) Classifique os pontos: = (0, 0, 0), B =(7, 0, 0), C =(5, 2, ), D =(4.5, 4.5, 0) E = (2, 1, ), F =(5, 1, 1), G =(0, 7, 0), H =(6, 1, ) sba: =(0, 0, 0), B =(7, 0, 0); C =(5, 2, ); snba: E =(2, 1, ); F =(5, 1, 1); H =(6, 1, ); sbna: G =(0, 7, 0); snbna: D =(4.5, 4.5, 0) (b) Determine, através de uma análise de todas as sba s, a solução óptima do problema se a função objectivo for max z = x 1 +2x 2 x Considerando I =(7, 0, ), J =(5, 2, 0), L =(0, 0, ), M =(0, 4, 0), N =(0, 4, )

4 então, z = 0, z B =7, z C =5+4 9=0, z I =7 9= 2 z J = 5+4 = 9, z L = 9, z M =8, z N =8 9= 1 conclui-se que (x 1,x 2,x ) =(5, 2, 0) com z =9. (c) Determine, justificando, uma função objectivo de forma a que: i. Os pontos do plano x =sejam soluções óptimas alternativas; max z = x ii. seja o único ponto óptimo; min z = x 1 + x 2 + x iii. (x 1,x 2,x ) = (x 1,x 2,x ) IR :(x 1,x 2,x )=λ (0, 4, 0) + (1 λ)(0, 4, ) 0 λ 1 ª ; max z = x 2 iv. B seja o único ponto óptimo. v. max z = x 1 x 2 x. Considere o problema de Programação Linear: max z = x 1 +x 2 s.a: x 1 +2x 2 8 x 1 + x 2 5 x 1 0, x 2 0 (a) Passe-o à forma standard. max z = x 0 1 +x 2 s.a: x x 2 + x =8 x x 2 + x 4 =5 x 0 1,x 2,x,x 4 0 (b) este problema aplicou-se o algoritmo Primal do Simplex, obtendo-se o quadro óptimo: P PPPPPP B B z j z j i. Complete o quadro e apresente a solução óptima do problema. P 0 0 PPPPPP B B z j 15 0 z j Com x =( 5, 0,, 0) e z =15. ii. Existem soluções óptimas alternativas? Caso existam calcule-as. P PPPPPP 0 0 B B z j 15 0 z j z j 15 0 z j x = (x 1,x 2 ) IR 2 :(x 1,x 2 )=λ ( 5, 0) + (1 λ)( 2, ) 0 λ 1 ª e z =15. 4

5 (c) Formule o problema dual. min w = 8u 1 +5u 2 s.a: u 1 u 2 2u 1 + u 2 u 1,u 2 0 (d) Determine a solução óptima do problema dual através das propriedades da dualidade. Passando as restrições funcionais a igualdades ficamos com: min w = 8u 1 +5u 2 s.a: u 1 + u 2 + u = 2u 1 + u 2 u 4 = u 1,u 2,u,u 4 0 plicando o teorema dos desvios complementares à solução óptima ( 5, 0,, 0): x 1 u = 5 u =0 u =0 x 2 u 4 = 0 u 4 =0 x u 1 = u 1 =0 u 1 =0 x 4 u 2 = 0 u 2 =0 Resolvendo n o sistema: n u2 = u 2 u 4 = u2 = u 4 =0 Logo, u =(0,, 0, 0) e w = z =15. (e) Confirme a solução óptima do problema dual, resolvendo-o geometricamente. u 2 z = 0.75 u * 2.5 S u u 1 u 2 = 2 u + u = Logo, confirma-se que u =(0, ) com w =15. (f) Indique, justificando, o valor lógico das seguintes afirmações: i. O problema primal tem, no máximo, oito soluções básicas admissíveis. afirmação é falsa pois a matriz tem 2 linhas por 4 colunas, logo, o n o máximo de soluções básicasadmissíveiséseisenãooitodadoque: n o de sba n o sb = n o bases C2 4 = 4! 2!2! =6. ii. solução óptima do problema dual classifica-se como uma solução básica admissível degenerada. afirmação é verdadeira pois, quando um problema tem solução óptima finita esta coincide sempre com uma solução básica admissível; como esta sba tem duas variáveis básicas e apenas temos uma variável básica positiva, sendo a outra nula, a sba classifica-se como degenerada

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