EXERCÍCOS DES TESTES/EXAMES DE ANOS ANTERIORES (LEGI-IST-JRF)

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1 EXERCÍCOS DES TESTES/EXAMES DE ANOS ANTERIORES (LEGI-IST-JRF) 1. Nero, o Imperador romano, num momento de inspiração resolveu promover um jantar para eliminar os seus melhores inimigos. Após consultar o seu médico de confiança, soube que este dispunha de dois tipos de veneno, alfa e beta (fármacos adequados para misturar no molho de carneiro). Na farmácia encontravam-se 0,5kg de veneno de tipo alfa e 2kg de veneno de tipo beta. Para que os convidados não sentissem o sabor do veneno, era indispensável proceder a uma mistura que contemplasse (em peso) três porções do veneno alfa para cada porção do veneno beta. Uma quantidade de 12 gramas de veneno alfa ou 6 gramas de veneno beta, só por estas quantidades, podiam liquidar um homem. O efeito do veneno sobre as mulheres é 50% mais poderoso do que sobre os homens. Nero deu informação ao médico para eliminar pelo menos 20 homens e 10 mulheres! Construir um modelo de programação linear que maximize o efeito do veneno sobre os inimigos do Imperador. Variáveis de decisão: x ij número de envenenados do tipo i (homens, mulheres) pelo fármaco do tipo j (alfa, beta). Restrições funcionais: Disponibilidade do veneno: Alfa: 12x x Beta: 6x x Paladar: (12x x 21 ) = 3(6x x 22 ) Número mínimo de envenenados Homens: x 11 + x Mulheres: x 21 + x Função objectivo: Maximizar o número total de envenenados max Z = x 11 + x 12 + x 21 + x 22 Condições de não negatividade: x 11, x 12, x 21, x Uma empresa produz apenas dois produtos: cómodas e armários. Cada cómoda é composta por uma estrutura base de cómoda, três gavetas grandes e duas pequenas. Cada armário é composto por uma estrutura base de armário, duas portas e duas gavetas grandes (iguais às gavetas grandes das cómodas). Cada componente dos móveis deve ser processada nas duas secções da empresa. Os tempos de processamento são os seguintes: Secção 1 Secção 2 Estrutura base de cómoda 6 h 4 h Estrutura base de armário 6 h 8 h Gaveta pequena 2 h 2 h Gaveta grande 1 h 2 h Porta de armário 3 h 3 h

2 O número de horas semanais disponíveis é de 200 para a Secção 1 e de 150 para a Secção 2. Podem ainda ser adquiridas mais horas de laboração para a Secção 2, com um custo suplementar de 1 u.m. e um máximo de 80 horas. As gavetas podem ser compradas (em parte ou na totalidade) a uma outra empresa, implicando um custo suplementar de 4 u.m. por gaveta grande e de 3 u.m. por gaveta pequena. O lucro obtido com cada cómoda é de 35 u.m. e o lucro obtido com cada armário é de 45 u.m. O objectivo da empresa é maximizar o lucro. (NOTA: As formulações devem ser apresentadas e justificadas, tal como se indica nesta formulação.) Variáveis de decisão x 1 - Quantidade de cómodas a produzir; x 2 - Quantidade de armários a produzir. H - Número de horas extraordinárias a utilizar; GG - Quantidade de gavetas grandes a subcontratar ; GP - Quantidade de gavetas pequenas a subcontratar. Restrições funcionais Relembremos a composição das cómodas e dos armários: Cómoda = Estrutura tipo cómoda + 3 gavetas grandes +2 gavetas pequenas Armário = Estrutura tipo armário + 2 portas +2 gavetas grandes A produção de uma cómoda requer, em horas, da Secção 1, 6 (estrutura base) + 3 (gavetas grandes) + 4 (gavetas pequenas) = 13 h e da Secção 2, 4 (estrutura base) + 6 (gavetas grandes) + 4 (gavetas pequenas) = 14 h. Do mesmo modo, a produção de um armário, requer, em horas, da Secção 1, 6 (estrutura base) + 6 (portas) + 2 (gavetas grandes) = 14 h e da Secção 2, 8 (estrutura base) + 6 (portas) + 4 (gavetas grandes) = 18 h. Com a produção de cómodas e de armários, o número total de horas requerido da Secção 1 é então, 13x x 2 h e da Secção 2, 14x x 2 h. A disponibilidade da Secção 1 é de 200 h e da Secção 2, 150 h. Logo, temos: 13x x x x No entanto, as restrições acima apenas reflectem a disponibilidade normal das secções. Existe ainda a possibilidade de utilização de horas extraordinárias, na Secção 2, e da compra de gavetas grandes e pequenas. Traduzamos as gavetas compradas em horas da seguinte forma: Gavetas grandes: 2GG na secção 1, 2GG na secção 2. Gavetas pequenas: 1GP na secção 1, 2GP na secção 2. Assim, as restrições acima são substituídas pelas seguintes: 13x x GG + 1GP 14x x GG + 2GP + H As horas extraordinárias estão limitadas a um máximo de 80 h: H 80. Restrições de não negatividade e de integralidade x 1, x 2, GG, GP, H 0 e inteiros Função objectivo

3 No problema pretende-se maximizar o lucro, logo a função objectivo pode ser traduzida pela diferença entre as receitas obtidas com a venda de cada um dos produtos e os custos suplementares a suportar. max z = 35x x 2 4GG 3GP H 3. Um determinado banco propõe 4 tipos de empréstimos aos seus clientes. As taxas anuais para os clientes são as seguintes: Empréstimo Tipo 1: 6% Empréstimo Tipo 2: 8% Empréstimo Tipo 3: 8% Empréstimo Tipo 4: 4% O total dos empréstimos que o banco pode conceder aos seus clientes é, no máximo, um montante de 25 milhões de Euros. No entanto, há certas regras que devem ser cumpridas: 1. Os empréstimos Tipo 1 devem representar pelo menos 55% do total dos empréstimos dos Tipos 1 e 2 e o seu montante (em Euros) deve ser pelo menos 25% do total de todos os empréstimos concedidos aos clientes. 2. Os empréstimos do Tipo 2 não podem ultrapassar os 25% do montante total (em Euros) de todos os empréstimos concedidos. 3. A taxa média para o banco não deverá ultrapassar os 7%. O objectivo consiste em maximizar o lucro para o banco, respeitando as restrições impostas pela gestão do próprio banco. Formule este modelo como um problema de programação linear. max Z = 0.06x x x x 4 sujeito a : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 25 x (x 1 +x 2 ) x (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 0.06x x x x (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) x 1, x 2, x 3, x Uma fábrica desvia parte da água de um rio para utilização no seu processo produtivo. Durante este processo, dois componentes químicos poluentes, A e B, são adicionados à água, que posteriormente será devolvida ao rio. Esta água, se não for submetida a tratamento polui o rio deixando-o com níveis elevados dos poluentes mencionados. O processo produtivo não introduz alterações no fluxo de água e a adição de poluentes também não altera o volume de água no rio. As concentrações de poluentes consideradas aceitáveis pela entidade reguladora são de K 1 e K 2 gramas por milhão de litros de água por dia para os componentes A e B, respectivamente. O caudal do rio é de V milhões de litros por dia e a fábrica necessita de pelo menos U milhões de litros por dia para poder produzir. A empresa pode recorrer a três tipos de tratamento para diminuir o efeito dos poluentes. Os tratamentos têm custos diferenciados em euros/milhão de litros/dia e resultam, após aplicação, em diferentes níveis de concentração (gramas/milhão de litros) de cada um dos poluentes, tal como indicado no quadro abaixo (a 1 é a quantidade do componente A após o tratamento 1 de 1 milhão de litros de água poluída). O problema consiste em determinar a

4 quantidade de água a ser tratada, por cada tipo de tratamento, de modo a satisfazer as exigências ambientais e por forma a minimizar o custo total do tratamento. Poluente/Tratamento A a 1 a 2 a 3 B b 1 b 2 b 3 Custo/Milhão de litros c 1 c 2 c 3 min Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 sujeito a: x 1 + x 2 + x 3 U x 1 + x 2 + x 3 V (a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 )/V K 1 (b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 )/V K 2 x 1, x 2, x Um investidor dispõe de 100 u.m. para investir durante uma semana (a começar na segunda-feira). Se ele investir um certo montante x num dia, então deverá investir metade de x no dia seguinte para poder receber o dobro de x no terceiro dia. (Nota: esta regra é obrigatória porque se ele não a seguir perde a quantia investida no primeiro dia de cada um destes ciclos de investimento). Para este investidor, qual será a política de investimento óptima de modo a maximizar o capital disponível no sábado? Max z = D5+ 2x4 (maximização do capital disponível no sábado) s.a: (Aplicações = Origens) x1+ D1 = 100 x1/2 + x2+ D2= D1 x2/2 + x3+ D3 = D2+ 2x1 x3/2 + x4 + D4 = D3+ 2x2 x4/2 +D5 = D4+ 2x3 x1, x2, x3, x4, D1, D2, D3, D4, D A um agricultor põe-se o problema da optimização da sua criação de aves. Este agricultor dispõe, para o período em estudo, das seguintes informações: Pode produzir K tipos de aves diferentes. É suposto que o período de criação de cada tipo de animal é de três meses aproximadamente, o que passaremos a designar por estação (o eventual desaparecimento ou morte de alguns animais é aqui negligenciado). Um animal do tipo k será vendido a um preço p k. Os preços serão garantidos por um organismo internacional.

5 Cada tipo de animal será exclusivamente alimentado por uma ração elaborada por J alimentos diferentes. Os animais do mesmo tipo serão alimentados pela mesma ração. O preço, no mercado, do alimento j é de c j por kg. Estes preços são impostos também por um organismo internacional. Para que o crescimento se efectue normalmente, os animais necessitam que a sua alimentação lhes forneça L nutrientes distintos. Um kg de alimento j contém uma proporção n ij do nutriente i. As necessidades de um animal do tipo k, durante todo o seu período de vida, são a ik kg do nutriente i. A criação dos animais consome r recursos disponíveis em quantidades limitadas na exploração. Um animal do tipo k consome h kr unidades do recurso r, por estação. A quantidade máxima de recurso do tipo r, disponível por estação é de h r.