PESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística

Transcrição

1 PESQUISA OPERACIONAL Fabiano F. T. dos Santos Instituto de Matemática e Estatística

2 Dualidade em Programação Linear

3 Todo problema de programação linear, que chamaremos de primal, traz consigo um segundo problema, chamado dual, sendo ambos completamente inter-relacionados, de tal maneira que a solução ótima de um fornece informações completas sobre o outro.

4 Exemplo Uma indústria dispõe de três recursos, A, B e C, em quantidades limitadas. Com esses recursos, a indústria pretende produzir dois produtos que chamaremos de P1 e P2. A tabela abaixo dá a utilização unitária de cada recurso em cada um dos produtos e a disponibilidade de cada recurso.

5 Utilização unitária e disponibilidade dos recursos

6 Exemplo A indústria sabe que cada unidade produzida de P1 dá um lucro de R$5,00 e cada unidade produzida de P2 dá um lucro de R$6,00. Qual deve ser a quantidade a ser produzida de P1 e P2 de modo a maximizar o lucro?

7 Sejam: x 1 = quantidade de P1 a ser produzida. x 2 = quantidade de P2 a ser produzida. Z = Lucro com as vendas de P1 e P2.

8 Sejam: x 1 = quantidade de P1 a ser produzida. x 2 = quantidade de P2 a ser produzida. Z = Lucro com as vendas de P1 e P2. A modelagem do problema (primal) é a seguinte:

9 Sejam: x 1 = quantidade de P1 a ser produzida. x 2 = quantidade de P2 a ser produzida. Z = Lucro com as vendas de P1 e P2. A modelagem do problema (primal) é a seguinte: Maximizar: Z = 5x 1 + 6x 2 Sujeito a: x 1 + 2x 2 14 x 1 + x 2 9 7x 1 + 4x 2 56 x 1 0, x 2 0.

10 Por outro lado, a indústria tem a alternativa de vender os recursos A, B e C, em vez de empregá-los na produção de P1 e P2.

11 Por outro lado, a indústria tem a alternativa de vender os recursos A, B e C, em vez de empregá-los na produção de P1 e P2. O problema que se coloca agora é encontrar o valor da unidade de cada recurso.

12 Por outro lado, a indústria tem a alternativa de vender os recursos A, B e C, em vez de empregá-los na produção de P1 e P2. O problema que se coloca agora é encontrar o valor da unidade de cada recurso. Evidentemente, a venda dos recursos deve fornecer um ganho pelo menos igual ao obtido com a utilização deles na produção.

13 Por outro lado, a indústria tem a alternativa de vender os recursos A, B e C, em vez de empregá-los na produção de P1 e P2. O problema que se coloca agora é encontrar o valor da unidade de cada recurso. Evidentemente, a venda dos recursos deve fornecer um ganho pelo menos igual ao obtido com a utilização deles na produção. Sejam y 1 = valor do recurso A por unidade. y 2 = valor do recurso B por unidade. y 3 valor do recurso C por unidade.

14 Por outro lado, a indústria tem a alternativa de vender os recursos A, B e C, em vez de empregá-los na produção de P1 e P2. O problema que se coloca agora é encontrar o valor da unidade de cada recurso. Evidentemente, a venda dos recursos deve fornecer um ganho pelo menos igual ao obtido com a utilização deles na produção. Sejam y 1 = valor do recurso A por unidade. y 2 = valor do recurso B por unidade. y 3 valor do recurso C por unidade. O valor total do estoque de recursos é: 14y 1 + 9y y 3.

15 Note que P1 gasta 1 unidade do recurso A, 1 unidade do recurso B e 7 unidades do recurso C; sua avaliação, em termos do conteúdo de recursos, é: y 1 + y 2 + 7y 3. Analogamente, a avaliação de P2 é: 2y 1 + y 2 + 4y 3. As avaliações dos produtos não podem ser inferiores às margens unitárias de lucro fornecidas por cada um; assim: y 1 + y 2 + 7y 3 5 e 2y 1 + y 2 + 4y 3 6.

16 Nesse caso, o interesse é determinar o valor mínimo do estoque total, respeitando as restrições de que as avaliações dos produtos sejam pelo menos iguais aos lucros unitários fornecidos:

17 Nesse caso, o interesse é determinar o valor mínimo do estoque total, respeitando as restrições de que as avaliações dos produtos sejam pelo menos iguais aos lucros unitários fornecidos: Minimizar: z = 14y 1 + 9y y 3 Sujeito a: y 1 + y 2 + 7y 3 5 2y 1 + y 2 + 4y 3 6 y i 0, i = 1, 2, 3.

18 Nesse caso, o interesse é determinar o valor mínimo do estoque total, respeitando as restrições de que as avaliações dos produtos sejam pelo menos iguais aos lucros unitários fornecidos: Minimizar: z = 14y 1 + 9y y 3 Sujeito a: y 1 + y 2 + 7y 3 5 2y 1 + y 2 + 4y 3 6 y i 0, i = 1, 2, 3. Esse é o problema dual.

19 Interpretação Econômica As variáveis duais podem ser interpretadas como as avaliações unitárias dos recursos relativas às contribuições de cada um para a obtenção do lucro total.

20 Resolução Por conta das restrições do tipo, o problema dual deve ser reformulado com variáveis excedentes e variáveis articiais.

21 Resolução Por conta das restrições do tipo, o problema dual deve ser reformulado com variáveis excedentes e variáveis articiais. A solução é y 1 = 1, y 2 = 4, y 3 = 0, y 4 = 0 e y 5 = 0. O valor mínimo de z é 50.

22 Relação entre o Problema Primal e o Problema Dual Sendo Z o valor da função objetivo do problema primal e z o correspondente valor do dual, então: para quaisquer duas soluções viáveis do primal e do dual, tem-se Z z.. as soluções ótimas de ambos os problemas guardam entre si a relação: max Z = min z.

23 O amor pelo trabalho aperfeiçoa a obra

24 O amor pelo trabalho aperfeiçoa a obra Aristóteles