Aplicações de PL possíveis até o momento

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1 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Síntese Problemas Interessantes Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Aplicações de PL possíveis até o momento Alocação de recursos; Programação de pessoal; Carteira de investimentos; Contabilidade; Dosagem (ou blending, ou mistura); Planejamento em fazendas; Logística. 1

2 Relembrando sobre formulação Termos importantes: Função objetivo; Restrições do modelo; Variáveis de decisão; Região de solução; Solução ótima. Passos para obtenção de formulações 1. Variáveis de decisão; 2. Função objetivo; 3. Restrições; 4. Restrições adicionais. 2

3 Mistura ou dosagem Modelos de mistura ou dosagem (blending) têm sido aplicados em diversas indústrias, tais como: Alimentos: formulação de alimentos humanos e de ração para animais; Formulação de adubos; Produção de produtos do petróleo; Siderurgia: mistura no preparo do gusa e do aço; Metalurgia: fabricação de ligas metálicas; Mistura de carvões; Mistura de minérios. Mistura ou dosagem Todos os modelos citados tem em comum o objetivo de minimizar o custo do produto obtido pela mistura de diversas matérias primas com diferentes custos e diferentes composições (químicas ou nutricional). As restrições se referem à participação dos componentes (ou nutrientes) no produto final. 3

4 Mistura ou dosagem (exemplo) Fabricação de sorvete. O fabricante deseja fabricar 100 kg de sorvete, a custo mínimo, cuja receita é a seguinte: Mistura ou dosagem (receita) 4

5 Mistura ou dosagem (matérias primas disponíveis) Mistura ou dosagem (formulação) 5

6 Mistura ou dosagem (resposta) Mistura ou dosagem (resposta) 6

7 Planejamento em fazendas Os modelos de agropecuária procuram determinar qual o melhor uso da terra. Normalmente deseja o maior lucro escolhendo entre as opções existentes o que se deve plantar. Planejamento em fazendas (exemplo) No exemplo a seguir deseja-se otimizar o lucro na utilização de até quatro opções de culturas (milho, trigo, soja e açúcar). As restrições referem-se ao espaço utilizado, gastos com preparo de terreno e utilização de mão de obra. Na matriz a seguir a variável milho refere-se ao espaço alocado para milho. 7

8 Planejamento em fazendas (exemplo) Planejamento em fazendas (exemplo) Na tabela mostra-se que cada hectare de milho consome $1000 em dinheiro e 20 homens/dia. A disponibilidade total da fazenda é: 400 hectares para serem utilizados, $ em dinheiro e homens/dia. Além disso, cada hectare de milho dá lucro de $ 600, etc... 8

9 Planejamento em fazendas (formulação) Planejamento em fazendas (resposta) 9

10 Planejamento em fazendas (resposta) Exemplos de problema formulados em planilhas para logística 10

11 O problema de transporte O Problema de Transporte é um caso particular da Programação Linear que diz respeito a distribuição de qualquer mercadoria de qualquer grupo de centro de oferta (chamados de fontes) para qualquer grupo de centros de recebimentos (chamados de destinos) de tal modo que minimizem os custos totais de distribuição. O problema de transporte Como se poderá observar o problema torna-se complexo em termos de processamento matemático devido a quantidade de variáveis envolvidas. Se por exemplo, o problema apresentar uma situação de 20 fornecedores e 200 clientes, o modelo matemático possui variáveis de decisão. 11

12 Problema 1 Uma companhia quer minimizar o custo de transporte de um produto de duas fábricas para cinco clientes. Cada fábrica tem uma capacidade limitada e cada cliente uma demanda que deve ser satisfeita. Como a companhia deveria distribuir o produto? Problema 1 - Modelo de Transporte Fábrica - Cliente Clientes Demandas Fabricas Custos Disponibilidades , ,

13 Problema 1 - Modelo de Transporte Fábrica - Cliente Custo de transporte ($ por produto) Destino Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Fábrica 1 $1,75 $2,25 $1,50 $2,00 $1,50 Fábrica 2 $2,00 $2,50 $2,50 $1,50 $1,00 Número de produtos transportados Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Capacidade Fábrica Fábrica Total Demanda Custo Total de Transporte $0 Problema 1 - Modelo de Transporte Fábrica Cliente - Solução Custo de transporte ($ por produto) Des tino Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Fábrica 1 $1,75 $2,25 $1,50 $2,00 $1,50 Fábrica 2 $2,00 $2,50 $2,50 $1,50 $1,00 Número de produtos transportados Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Capacidade Fábrica Fábrica Total Demanda Custo Total de Transporte $ Custo total do transporte Resposta! 13

14 Problema 2 Uma companhia tem duas fábricas, quatro depósitos e cinco clientes. Ela quer minimizar o custo de transporte de seus produtos da fábrica para o depósito, da fábrica para o cliente e o depósito para o cliente. O número de produtos recebidos por um depósito da fábrica deve ser o mesmo que o número de produtos que deixam o depósito para o cliente (ou seja, não deve haver estoque no depósito). Como a companhia deveria distribuir os produto? Problema 2 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito Cliente Depósitos Custos Clientes Demandas Fabricas Disponibilidades , ,

15 Problema 2 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito Cliente - Dados Base Custo de transporte ($ por produto) Destinos Depósito 1 Depósito 2 Depósito 3 Depósito 4 Fábrica 1 $0,50 $0,50 $1,00 $0,20 Fábrica 2 $1,50 $0,30 $0,50 $0,20 Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Fábrica 1 $1,75 $2,50 $1,50 $2,00 $1,50 Fábrica 2 $2,00 $2,50 $2,50 $1,50 $1,00 Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Depósito 1 $1,50 $1,50 $0,50 $1,50 $3,00 Depósito 2 $1,00 $0,50 $0,50 $1,00 $0,50 Depósito 3 $1,00 $1,50 $2,00 $2,00 $0,50 Depósito 4 $2,50 $1,50 $0,20 $1,50 $0,50 Problema 2 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito Cliente - Formulação Numero de produtos enviados Depósito 1 Depósito 2 Depósito 3 Depósito 4 Total Fábrica Fábrica Total Capacidade Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Fábrica Fábrica Fábrica Capacidade Total de produtos enviados da Fáb Total de produtos enviados da Fáb Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Depósito Depósito Depósito Depósito Total Demanda Custo Total de Transporte $0 15

16 Problema 2 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito Cliente - Solução Numero de produtos enviados Depósito 1 Depósito 2 Depósito 3 Depósito 4 Total Fábrica Fábrica Total Capacidade Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Fábrica Fábrica Fábrica Capacidade Total de produtos enviados da Fáb Total de produtos enviados da Fáb Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Depósito Depósito Depósito Depósito Total Demanda Custo Total de Transporte $ Problema 3 Este modelo foi construído com base no modelo Transporte 2. Novamente, a companhia quer minimizar o custo de transporte, mas desta vez são três tipos de produtos para distribuir. Como a companhia deveria distribuir os produtos? 16

17 Problema 3 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito - Cliente - vários produtos Depósitos Clientes Custos Produtos Fabricas Problema 3 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito - Cliente - vários produtos Custo de transporte ($ por produto) Destinos Depósito 1 Depósito 2 Depósito 3 Depósito 4 Fábrica 1 Produto 1 $0,50 $0,50 $1,00 $0,20 Produto 2 $1,00 $0,75 $1,25 $1,25 Produto 3 $0,75 $1,25 $1,00 $0,80 Fábrica 2 Produto 1 $1,50 $0,30 $0,50 $0,20 Produto 2 $1,25 $0,80 $1,00 $0,75 Produto 3 $1,40 $0,90 $0,95 $1,10 Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Fábrica 1 Produto 1 $2,75 $3,50 $2,50 $3,00 $2,50 Produto 2 $2,50 $3,00 $2,00 $2,75 $2,60 Produto 3 $2,90 $3,00 $2,25 $2,80 $2,35 Fábrica 2 Produto 1 $3,00 $3,50 $3,50 $2,50 $2,00 Produto 2 $2,25 $2,95 $2,20 $2,50 $2,10 Produto 3 $2,45 $2,75 $2,35 $2,85 $2,45 Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Depósito 1 Produto 1 $1,50 $0,80 $0,50 $1,50 $3,00 Produto 2 $1,00 $0,90 $1,20 $1,30 $2,10 Produto 3 $1,25 $0,70 $1,10 $0,80 $1,60 Depósito 2 Produto 1 $1,00 $0,50 $0,50 $1,00 $0,50 Produto 2 $1,25 $1,00 $1,00 $0,90 $1,50 Produto 3 $1,10 $1,10 $0,90 $1,40 $1,75 Depósito 3 Produto 1 $1,00 $1,50 $2,00 $2,00 $0,50 Produto 2 $0,90 $1,35 $1,45 $1,80 $1,00 Produto 3 $1,25 $1,20 $1,75 $1,70 $0,85 Depósito 4 Produto 1 $2,50 $1,50 $0,60 $1,50 $0,50 Produto 2 $1,75 $1,30 $0,70 $1,25 $1,10 Produto 3 $1,50 $1,10 $1,50 $1,10 $0,90 17

18 Problema 3 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito - Cliente - vários produtos - Formulação Numero de produtos enviados Depósito 1 Depósito 2 Depósito 3 Depósito 4 Total Fábrica 1 Produto Produto Produto Fábrica 2 Produto Produto Produto Total Produto Produto Produto Capacidade Produto Produto Produto Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Fábrica 1 Produto Produto Produto Fábrica 2 Produto Produto Produto p Total de produtos enviados da Fáb.1 Produto Produto Produto Total de produtos enviados da Fáb.2 Produto Produto Produto Problema 3 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito - Cliente - vários produtos - Formulação Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Depósito 1 Produto Produto Produto Depósito 2 Produto Produto Produto Depósito 3 Produto Produto Produto Depósito 4 Produto Produto Produto Total Produto Produto Produto Demandas Produto Produto Produto Cus to To tal de Trans po $0 18

19 Problema 3 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito - Cliente - vários produtos - Resultados Numero de produtos enviados Depósito 1 Depósito 2 Depósito 3 Depósito 4 Total Fábrica 1 Produto Produto Produto Fábrica 2 Produto Produto Produto Total Produto Produto Produto Capacidade Produto Produto Produto Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Total Fábrica 1 Produto Produto Produto Fábrica 2 Produto Produto Produto Capacidade Total de produtos enviados da Fábrica 1 Produto Produto Produto Total de produtos enviados da Fábrica 2 Produto Produto Produto Problema 3 - Modelo de Transporte Fábrica - Depósito - Cliente - vários produtos - Resultados Customer 1 Customer 2 Customer 3 Customer 4 Customer 5 Total Depósito 1 Produto Produto Produto Depósito 2 Produto Produto Produto Depósito 3 Produto Produto Produto Depósito 4 Produto Produto Produto Total Produto Produto Produto Demandas Produto Produto Produto Custo Total de Transporte $

20 Problema 4 Um caminhão de combustível necessita fornecer três diferentes tipos de combustível para um cliente. Quando a demanda não é suprida, a companhia perde $0,25 por galão não entregue. O caminhão tem quatro compartimentos de diferentes tamanhos. Como o caminhão deveria ser carregado para minimizar as perdas? Problema 4 - Carregamento Parcial Tanque 01 Tanque 02 Tanque 03 Tanque 04 Capacidade: Capacidade: Capacidade: Capacidade: 1200 l 800 l 1300 l 700 l 20

21 Problema 4 - Carregamento Parcial Especificação do caminhão Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Tamanho (galões ) Carregamento dos compartimentos (1=sim, 0=não) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 combustível combustível combustível To tal Quantidade (galões) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Total Demanda Perdas combustível $450,00 combustível $375,00 combustível $250,00 Perda Total $1.075,00 Quantidade Máxima (galões) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Combus tível Combus tível Combus tível Problema 4 - Carregamento Parcial - Resultados Especificação do caminhão Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Tamanho (galões) Carregamento dos compartimentos (1=sim, 0=não) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 combustível combustível combustível Total Quantidade (galões) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Total Demanda Perdas combustível $0,00 combustível $50,00 combustível $50,00 Perda Total $100,00 Quantidade Máxima (galões) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Combustível Combustível Combustível

22 Problema 5 Uma companhia envia produtos de cinco plantas para quatro depósitos. A companhia está considerando a alternativa de fechar uma ou mais plantas. Isto aumentaria o custo de distribuição, mas talvez diminuiria custos gerais. Qual planta, caso alguma, a companhia deveria fechar? Problema 5 - Definição de Fábricas Fabricas Custos Depósitos 22

23 Problema 5 - Definição de Fábricas Custos por Transportes(por 1000 produtos) Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Fábrica 5 Depósito 1 $4.000 $2.000 $3.000 $2.500 $4.500 Depósito 2 $2.500 $2.600 $3.400 $3.000 $4.000 Depósito 3 $1.200 $1.800 $2.600 $4.100 $3.000 Depósito 4 $2.200 $2.600 $3.100 $3.700 $3.200 Variáveis de decisão Abrir/Fechar Fábrica1 Fábrica2 Fábrica3 Fábrica4 Fábrica 5 Decis ão Número de produtos a Transportar (por 1000) Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Fábrica 5 Total Demanda Depósito Depósito Depósito Depósito Total Capacidade Custo de Distribu $0 $0 $0 $0 $0 Cus tos Fixos $0 $0 $0 $0 $0 Cus to Total $0 $0 $0 $0 $0 $0 Problema 5 - Definição de Fábricas - Solução Custos por Transportes(por 1000 produtos) Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Fábrica 5 Depósito 1 $4.000 $2.000 $3.000 $2.500 $4.500 Depósito 2 $2.500 $2.600 $3.400 $3.000 $4.000 Depósito 3 $1.200 $1.800 $2.600 $4.100 $3.000 Depósito 4 $2.200 $2.600 $3.100 $3.700 $3.200 Variáveis de decisão Abrir/Fechar Fábrica1 Fábrica2 Fábrica3 Fábrica4 Fábrica 5 Decis ão 1 1 5,55E Número de produtos a Transportar (por 1000) Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Fábrica 5 Total Demanda Depósito Depósito Depósito Depósito Total Capacidade ,44E Cus to de Dis tribu $ $ $0 $ $ Cus tos Fixos $ $ $0 $ $ Cus to Total $ $ $0 $ $ $

24 Exemplos de problema formulados em planilhas para produção Aplicações em manufatura Um das áreas onde programação linear é mais aplicada é na manufatura e produção. Há muitos modos diferentes nos quais o Solver pode ser usado para aumentar produtividade, reduzir o custo, reduzir desperdícios, etc. Apresenta-se a seguir quatro diferentes tipos de modelos. 24

25 Problema 1 Uma empresa fabrica televisões, estéreos e alto-falantes e utiliza um inventário de materiais com partes comuns no estoque, como cones de alto-falante, por exemplo. As partes são limitadas no estoque. Através do Solver determinarse-á qual é a melhor combinação de produtos a construir que maximiza o lucro. Número de peças utilizadas Número peças disponíveis Restrições Número de produtos 0 Variáveis TV Stereo Caixa de som Quantidade-> Componentes Inventário Nº. Usado Placa Tubo de imagem Cone da caixa Fonte Componentes Lucro: Por produto $ $ $0 Total $ Lucro Maximizado Configuração de peças 25

26 Problema 2 Uma companhia tem três tipos diferentes de máquinas que fazem o mesmo produto. Cada máquina tem uma capacidade diferente, custo de setup e custo por produto, a seguir apresenta-se como a companhia deveria produzir seu produto com as máquinas disponíveis, para satisfazer a demanda diária a um custo minimizado. Informação das máquinas Cus to inicial por dia Custo adicional por produto Produtos por dia (Max) Número de máquinas Alpha-1000 $200 $1, Alpha-2000 $275 $1, Alpha-3000 $325 $1, Máquinas utilizadas Máquinas Disponíveis Número de máquinas usadas Alpha Alpha Alpha Variáveis Número de produtos produzidos por dia Alpha Alpha Alpha Total 750 Demanda 750 Capacidade máxima de produção diária Alpha Alpha Alpha Custo $4.665,00 Restrições Custo Minimizado 26

27 Problema 3 Uma empresa tem três diferentes plainas. Cada plaina tem uma diferente velocidade, custo para operação e máxima densidade que pode ser retirada da madeira. Apresenta-se através da solução do Solver quais plainas devem ser utilizadas na empresa para minimizar o custo, fornecer a quantidade de madeira demandada e não mais do que 3 horas de trabalho. Características dos Planers Ve lo c idade (pés /min) Cus to ($/hora) Máximo de madeira cortada (polegadas ) Planer 1 5 $150 6 Planer 2 7 $190 4 Planer 3 8 $225 2 Máximo de 3 horas no total Restrições Variáveis Madeira para s er aplainada (pés ) 1" 2" 3" 5" Horas Cus to Planer ,00 $150,00 Custo Planer ,00 Minimizado $570,00 Planer ,33 $300,00 Total $1.020,00 Demanda

28 Problema 4 Uma máquina pode cortar folhas de aço em 3 tamanhos. Estes tamanhos são 100, 80 e 55 polegadas. Infelizmente, a demanda é de 3 outros tamanhos; 45, 30 e 18 polegadas. O exemplo demonstra como a companhia deveria cortar as folhas de aço para minimizar o desperdício. Problema 4 Disponibilidades do mercado Necessidades da empresa

29 Problema 4 Folha de aço do mercado Necessidades da empresa Desperdício Combinações Possíveis Placas solicitadas Folha 45" Folha 30" Folha 18" Desperdício (polegadas ) Número de folhas To tal Desperdiçado 1 Folha 100" Configurações de corte Variáveis Folha 80" Restrições Folha 55" Desperdício Minimizado To tal To tal 675 Demanda

30 Outras exemplos (exemplo para download) Outras exemplos (exemplo para download) 30