Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana
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1 Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana
2 Problema da Mistura minimizar f ( 1, 2,..., n ) = c c c n n Sujeito a: a a a 1n n = b 1 a a a 2n n = b 2... a m1 1 + a m a mn n = b m n = 1 1 0, 2 0,..., n 0
3 Problemas de Transporte e Transbordo Transporte de produtos dos centros de produção (origens) aos mercados consumidores (destinos);
4 Problemas de Transporte e Transbordo Quantidades disponíveis em cada centro de produção e as quantidades demandadas em cada mercado consumidor são conhecidas; O transporte deve ser efetuado respeitando-se as limitações de oferta em cada origem e atendendo à demanda de cada destino. OBJETIVO: transportar o produto dos centros de produção aos mercados consumidores de modo que o custo total de transporte seja o menor possível.
5 Problemas de Transporte e Transbordo O problema surge em diversas situações: Transporte de alimentos de indústrias aos mercados consumidores; Transporte de pedras de centros de mineração para depósitos ao longo de uma rodovia em construção; Designação de tarefas a máquinas; Transporte de produção agrícola do campo até armazéns.
6 Formulação Matemática Dados: m: número de origens n: número de destinos a i : oferta do produto na origem i. b j : demanda do produto no destino j. c ij : custo de transportar uma unidade do item da origem i ao destino j. Variáveis de decisão: ij quantidade de itens transportada da origem i para o destino j.
7 Formulação Matemática As quantidades transportadas não podem ser negativas! Restrições ij 0, para i = 1,..., m e j = 1,..., n, fazem parte do modelo. c ij ij é o custo para se realizar o transporte da origem i para o destino j. O custo total de transporte, que deve ser minimizado, é dado por: m n i1 j1 c ij ij
8 Formulação Matemática A quantidade de itens transportados de i para cada j não pode ultrapassar a quantidade disponível do produto em i: n j1 ij a i As quantidades transportadas de cada i para j devem satisfazer a demanda requerida no destino: m i1 ij b j
9 Formulação Matemática. 1,..., ; 1,..., inteiro, 0, 1,...,, 1,...,, a : Sujeito ),...,, ( min n j m i n j b m i a c f ij m i j ij n j i ij m i n j ij ij mn
10 Eemplo 1 Transporte de bebidas Considere uma companhia distribuidora de bebidas que possui: Dois centros de produção (m = 2): Araraquara e São José dos Campos; Três mercados consumidores (n = 3): São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro. ij c ij qde do produto a ser enviada do centro i ao mercado j (uma unidade pode ser um engradado contendo dezenas de garrafas, ou um palete com centenas de garrafas) custo unitário do transporte de uma unidade de produto de cada centro de produção i a cada mercado consumidor j.
11 Eemplo 1 Transporte de bebidas Os custos de custos de transporte, demandas e capacidades de produção são dados abaio Centro de suprimento Mercado SP (1) BH (2) RJ (3) Suprimento disponível (a i ) Araraquara (1) S. J. Campos (2) Demanda dos mercados (b j )
12 Formulação Matemática Transporte de bebidas min f( 11,..., 23 ) = Sujeito a: = = = ; 12 0; 13 0; 21 0; 22 0; 23 0.
13 Solução do problema Transporte de bebidas Solução ótima:??????????? 11 = 500; 12 = 300; 13 = 0; 21 = 0; 22 = 100; 23 = 900. Função objetivo:????????? f(500, 300, 0, 0, 100, 900) = 6900
14 Problema de Transbordo Em muitos casos, o transporte não é feito diretamente da fábrica aos consumidores. Há uma etapa intermediária (depósitos).
15 Eercício Se os mercados podem ser abastecidos somente a partir dos depósitos, como reformular o problema (Eercício 1), dados os custos de transporte? (Ver ilustração)
16 Eercício Araraquara S. J. Campos Fábricas 1 2 Depósitos Campinas (3) B. Mansa (4) Consumidores SP BH RJ ij qde do produto enviada da localidade i à localidade j. c ij custo unitário do transporte de uma unidade de produto de cada depósito e de cada depósito para cada mercado consumidor.
17 Eercício Os custos de transporte: Centro de suprimento Depósitos Campinas (3) B. Mansa (4) Araraquara (1) 1 3 S. J. Campos (2) 1 2 Centro de suprimento Mercado SP (5) BH (6) RJ (7) Campinas (3) B. Mansa (4) 3 4 1
18 Formulação Matemática min f( 13,..., 47 ) = Sujeito a: = = = = = ; 14 0;...; 46 0; 47 0.
19 Problema de Designação O problema de transporte também pode surgir em outras situações. Há n pessoas e n tarefas. Cada pessoa deve eecutar uma única tarefa e todas as tarefas devem ser eecutadas. Cada pessoa i tem um interesse em efetuar cada tarefa j, dado por p ij. Queremos fazer a alocação de modo que a soma dos interesses seja maimizada.
20 Problema de Designação O Problema de designação envolve a determinação de n! possíveis soluções. Eemplo: o para um problema com 5 trabalhadores e 5 tarefas o número de soluções possíveis é igual a 5! = 120. o para um problema com 10 trabalhadores e 10 tarefas o número de soluções é igual a 10! = Obter a solução ótima por tentativa é DIFÍCIL!
21 Formulação Matemática Origem Destino 1 2 n Oferta n 22 2n n n1 Procura n2 nn 1
22 Formulação Matemática Variáveis de decisão ij = 1, ij = 0, se o individuo i for designado para a realização da tarefa j. caso contrário.
23 Formulação Matemática O problema de designação (ou atribuição): ma f (,,..., ) p Sujeito a: n j1 n i , i 1,..., n ij 1, j 1,..., n ij nn ij ij i1 j1 {0, 1}, i 1,..., n; j 1,..., n. ij n n cada trabalhador é designado a uma só tarefa cada tarefa é eecutada apenas por um trabalhador
24 Problemas de Corte Problema de Corte: Produzir itens (peças pequenas), a partir do corte de um objeto (peça grande). OBJETIVOS: minimizar a perda de material dos objetos cortados, minimizar a quantidade de objetos cortados, minimizar o custo de cortar os objetos, maimizar o lucro, entre outros.
25 Problema de Corte Unidimensional
26 Problema de Corte Unidimensional
27 Problema de Corte Unidimensional Bobina-mestre cortada em sub-bobinas intermediárias e fitas
28 Problema de Corte Unidimensional
29 Problema de Corte Bidimensional
30 Problema de Corte Bidimensional
31 Problema de Corte Bidimensional
32 Problema de Corte Bidimensional
33 Problema de Corte Tridimensional
34 Problema de Empacotamento Problema de Empacotamento: Itens devem ser colocados em objetos (por eemplo, contêineres), de modo que o espaço vazio dos objetos seja minimizado.
35 Problema de Empacotamento
36 Problema de Empacotamento
37 Formulação Matemática Dados: L : tamanho do objeto; m : número de tipos de itens; l i : comprimento de um tipo de item i; b i : quantidade de um determinado tipo de item i; a j : vetor associado a um padrão de corte. a j = (a 1j, a 2j,..., a mj ) número de peças do tipo 1 no padrão de corte j Variáveis de decisão: j : número de barras cortadas conforme o padrão de corte j
38 Eemplos de padrões de corte Itens demandados Problema!!! Quantas vezes devemos cortar cada padrão?
39 Formulação Matemática Como gerar um padrão de corte?!?!
40 Formulação Matemática Um vetor = ( 1, 2,..., m ) T representa um padrão de corte se e somente se o seguinte sistema é satisfeito: l l l m m L 1 0, 2 0,..., m 0 e inteiros Como escrever a formulação que minimiza o número de barras utilizadas, dado que sabemos todos os padrões de corte possíveis?
41 O problema de corte pode ser formulado como:. 1,..., 0,... ),...,, ( min n j b b b a a a a a a a a a f j m n mn n n m m n n Formulação Matemática
42 Formulação Matemática Eemplo de padrões de corte unidimensionais:
43 Eemplo Uma indústria de papel produz bobinas jumbo de L = 400 cm de largura. Os jumbos devem ser cortados em bobinas menores (itens) nas larguras e quantidades apresentadas na tabela conforme a solicitação dos diversos clientes: Dados da demanda Comprimento dos itens Demanda 40 cm cm cm cm 18
44 Eemplo Possíveis padrões de corte: o Padrão de corte 1: a 1 = ( ) o Padrão de corte 2: a 2 = ( ) o Padrão de corte 3: a 3 = ( ) o Padrão de corte 4: a 4 = ( ) o Padrão de corte 5: a 5 = ( ) o Padrão de corte 6: a 6 = ( )
45 Eemplo. 1,..., 0, ),...,, ( min n j f j n n Solução factível: ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) = ( ) Função objetivo: = 12
46 Problemas de Planejamento da Produção Planejamento e programação da produção de produtos, os mais variados possíveis Mi de Produção (fabricação de diversos produtos) Seleção de processos (vários produtos com vários processos alternativos) Dimensionamento de lotes (diversos produtos para variados clientes com diferentes datas de entrega) OBJETIVO: Minimizar os custos de produção dos diferentes produtos em diversas situações (de acordo com cada situação acima)
47 Mi de produção (planejamento estocástico) O problema consiste em decidir quais produtos e quanto fabricar de cada produto em um período. A capacidade limitada de produção (maquinas, recursos humanos, capital, armazenagem, etc) e os diversos produtos que a empresa pode fabricar são conhecidos. Determinar quais produtos e quanto deve ser fabricado de cada produto de modo a maimizar o lucro da empresa.
48 Mi de Produção Formulação Matemática Dados: C i : capacidade do recurso i disponível no período; a ij : quantidade do recurso i utilizado para a produção de uma unidade do produto j; l j : lucro da empresa para produzir o item j; d j : produção mínima do produto j que deve ser realizada no período; v j : produção máima do produto j que deve ser realizada no período; Variáveis de decisão: j : quantidade de cada produto j a ser produzida em um período do planejamento
49 Mi de Produção Formulação Matemática Função Objetivo Maimizar o lucro da empresa F() = maimizar f( 1,..., n ) = l l l n n Modelo Maimizar z = l l l n n Sujeito a: a i1 1 + a i a in n C i i = 1,..., m d j j v j j = 1,..., n
50 Eemplo o Um fabricante de geladeiras precisa decidir quais modelos deve produzir em uma nova fábrica recentemente instalada. o O departamento de marketing verificou que no próimo mês podem ser vendidas no máimo1.500 unidades do modelo luo e unidades no modelo básico. o A empresa dispõe de uma força de trabalho de homens-hora por mês. Cada modelo de luo requer 10 homens-hora e cada modelo básico requer 8 homens-hora para ser montado. o Além disso, uma mesma linha de montagem é compartilhada pelos dois modelos. Considere que a capacidade de produção desta linha seja de geladeiras por mês.
51 Eemplo o O lucro unitário do modelo de luo é de R$ 100,00 e do modelo básico é de R$ 50,00. Deseja-se determinar quanto produzir de cada modelo de modo a maimizar o lucro da empresa. Variável de decisão j : quantidade de geladeiras do tipo j, j = luo, básico Maimizar f( luo, básico ) = 100 luo + 50 básico Sujeito a: 10 luo + 8 básico luo + básico luo e 0 básico 6.000
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