O Problema de Transportes

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "O Problema de Transportes"

Transcrição

1 Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 8 O Problema de Transportes O problema geral de transportes consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem que está disponível em quantidades limitadas em certos locais (origens) para outros locais onde é necessário (destinos). Os custos associados a esse transporte costumam ser representados numa matriz, chamada matriz de custos de tal modo que o elemento c ij representa o custo de transportar uma unidade do bem em causa da origem i para o destino j. Para que o problema tenha solução é necessário que a soma das quantidades disponíveis nas origens seja igual à soma das quantidades necessárias nos destinos. Este problema pode ser formalizado como um programa linear: Min z = s. a mx nx c ij x ij i= j= nx x ij = a i j= mx x ij = b j i= x ij 0 i = ; : : : ; m j = ; : : : ; n i = ; : : : ; m; j = ; : : : ; n Exemplo : Uma empresa siderúrgica produz, anualmente, toneladas de aço, em três localidades (A ; A ; A 3 ) que deve ser entregue em quatro outras localidades (B ; B ; B 3 ; B 4 ). As quantidades produzidas e requeridas são indicadas a seguir ton em A ton em B ton em A ton em B ton em A ton em B ton em B 4 Os custos de transporte, por tonelada, da origem i (i = ; ; 3) para o destino j (j = ; ; 3; 4), são dados no quadro que se segue. B B B 3 B 4 A A A Supondo que não existem limitações na capacidade de transporte de umas localidades para as outras, determinar ass quantidades a transportar de modo a minimizar os custos totais de transporte. Formulando o problema de acordo com o modelo anteriormente descrito obtém-se:

2 Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes Min z = 0x + 4x + x x 4 + x + 4x + 40x 3 + 4x 4 + 3x 3 + 3x 3 + 5x x 34 x + x + x 3 + x 4 = x + x + x 3 + x 4 = x 3 + x 3 + x 33 + x 34 = x + x + x 3 = x + x + x 3 = x 3 + x 3 + x 33 = x 4 + x 4 + x 34 = x ; x ; x 3 ; x 4 x ; x ; x 3 ; x 4 ; x 3 ; x 3 ; x 33 ; x 34 0 A matriz das restrições deste problema é: A = Repare-se que a soma das 3 primeiras linhas é igual à soma das 4 últimas, isto é, as linhas da matriz são linearmente dependentes. É fácil demonstrar que a característica da matriz A é. Generalizando para um problema com m origens e n destinos, é fácil também demonstrar nesse caso que só há m + n linhas linearmente independentes. Isto é, a matriz B terá dimensão m + n, o que é o mesmo que a rmar que há precisamente m + n variáveis básicas. A estrutura da matriz do problema de transportes permite resolvê-lo por um algoritmo próprio, bastante mais e ciente do que a utilização do método simplex e que tira partido da forma especial do seu problema dual. Repare-se que, sendo todas as restrições de igualdade, a utilização do algoritmo simplex iria impor a introdução de m+n variáveis arti ciais e uma primeira fase com, pelo menos, m + n iterações, só para encontrar a solução inicial! Comecemos por organizar um quadro com m linhas e n colunas, em que as linhas correspondem às origens e as colunas aos destinos e em que escrevemos o custo unitário de transportar de A i para B j na canto superior direito da célula (i; j): B B B 3 B A A A

3 Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 30 Comecemos por observar que = = Ou seja a procura é igual à oferta, o que signi ca que toda a produção se esgota e toda a procura será satisfeita. Neste caso, como todas estas quantidades são múltiplas de 0 5, é possível simpli car os cálculos dividindo tudo por esse valor, passando a unidade a ser 0 5 toneladas. Para encontrar uma solução inicial admissível há várias técnicas que se podem utilizar, sendo a do canto noroeste (superior esquerdo) a mais vulgar. Consiste em começar por dar o maior valor possível a x e continuando sempre com a variável correspondente ao quadrado mais a NW ainda disponível. B B B 3 B 4 A A A Obteve-se assim uma solução inicial com = variáveis básicas, à qual corresponde o valor = 4 para a função objectivo. É agora necessário encontrar um processo de saber se a solução é óptima ou não e, caso não seja, qual a variável a sair da base e qual a variável a entrar na base. Vamos recorrer ao dual do problema geral de transportes apresentado na página 8 e tirar partido das condições de optimalidade dum par de problemas primal-dual. mx nx Max w = a i u i + b j v j i= j= s. a u i + v j c ij i = ; : : : ; m; j = ; : : : n As variáveis u correspondem às restrições nas origens e as variáveis v correspondem às restrições nos destinos. Pelo teorema da complementaridade, as variáveis de afastamento do dual correspondentes a variáveis básicas do primal serão nulas. Além disso, sabe-se que a solução é óptima quando o primal e o dual são admissiveis. Ou seja, se um x kp é básico então u k + v p = c kp. Voltando ao problema que estávamos a resolver, vamos calcular o valor das variáveis do dual correspondentes à solução inicial encontrada pela regra do canto noroeste. Para isso vai ser necessário resolver um sistema com equações e 7 incógnitas, correspondente à aplicação das condições de complementaridade às variáveis básicas (x ; x ; x ; x 3 ; x 33 ; x 34 ): 8 u + v = 0 >< u + v = 4 u + v = 4 u + v 3 = 40 u 3 + v 3 = 5 >: u 3 + v 4 = 5

4 Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 3 Este sistema é indeterminado, com grau de indeterminação.para encontrar uma solução particular, pode-se atribuir a uma das variáveis o valor 0 e calcular o correspondente valor para as restantes variáveis. Fazendo v 4 = 0, virá u 3 = 5 e por substituição para trás obtém-se, sucessivamente, v 3 = 4; u = 44; v = 0; u = 34 e v = 4. Obtivemos assim uma solução do problema dual correspondente à solução do primal que estamos a estudar. Podemos calcular os valores das variáveis de afastamento das restrições do dual correspondentes às variáveis não básicas do primal, que, como se sabe da teoria da dualidade, correspondem aos seus custos actualizados. Assim, c 3 = c 3 u v 3 = 34 ( 4) = 4 c 4 = c 4 u v 4 = = 4 c = c u v = 44 ( 4) = 8 c 4 = c 4 u v 4 = = c 3 = c 3 u 3 v = 3 5 ( 4) = 0 c 3 = c 3 u 3 v = 3 5 ( 0) = 0 Observa-se assim que a variável x 3, à qual corresponde um custo mais negativo, deve ser tornada básica. Para encontrar a variável que vai sair da base, segue-se um processo semelhante ao usado no método simplex, isto é, será a primeira a anular-se quando x 3 é incrementado. Para simpli car, atribui-se a x 3 o valor, adicionando e subtraindo às restantes variáveis básicas, onde for necessário, de modo que a soma em cada linha e coluna não se altere. Assim virá: v = 4 v = 0 v 3 = 4 v 4 = 0 u = u = u 3 = Conclui-se, assim, que o maior valor que pode tomar é 3, isto é a variável x 3 vai-se tornar básica com o valor 3 por troca com a variável x que se anula. Obtém-se assim a nova solução admissível: à qual corresponde o valor 38 (< 4) para a função objectivo.

5 Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 3 Todo o processo se repetirá até que a solução óptima seja encontrada, o que acontece quando todos os custos actualizados forem positivos, ou seja, quando o dual também for admissível. Nalguns casos não haverá equilíbrio entre a oferta e a procura. Para poder utilizar o algoritmo é então necessário criar uma origem ctícia (caso de excesso de procura) ou um destino ctício (caso de excesso de oferta), aos quais se atribui a quantidade em falta ou excesso. Normalmente os custos associados a origens ou destinos ctícios são nulos, a não ser que haja preços de armazenamento ou penalizações pelo não cumprimento das encomendas. Outro aspecto a referir é a possibilidade de ocorrência de soluções degeneradas, nas quais o número de variáveis não nulas é inferior a m + n. Considere-se o seguinte exemplo: B B B 3 A A ; 5 ; 5 Usando a regra do canto noroeste para obter a solução inicial vem: Ora, deveriamos ter + 3 B B B 3 A A ; 5 ; 5 ; 5 variáveis básicas e só obtivemos 3, isto signi ca que a solução é degenerada, isto é, há uma variável básica que é nula. Utiliza-se aqui o chamado método das perturbações que consiste em acrescentar à disponibilidade de uma ou mais origens um valor in nitesimal e usar essa perturbação para criar variáveis adicionais com valor igual a até perfazer m + n variáveis básicas. No exemplo vem: B B B 3 A + A ; 5 ; 5 ; 5 + Agora já temos 4 variáveis básicas e o algoritmo de transportes pode ser usado normalmente. Assim que obtivermos uma solução com 4 variáveis básicas positivas pode-se fazer = 0. Vejamos o que acontece neste exemplo: v = v = v 3 = 0; 5 u = 0 + u = ; 5 ;5 ; 5 ; 5 ; 5 +

6 Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 33 Nas células correspondentes às variáveis não básicas, escreve-se no canto inferior direito o valor do custo actualizado. A variável x como tem o custo actualizado mais negativo é a que deve entrar na base: v = v = v 3 = 0; 5 u = u = ; 5 ;5 ; 5 ; 5 ; 5 + Vemos que deve ser = e virá o novo quadro: + + ;5 ; 5 ; 5 ; 5 + Como obtivemos uma solução não degenerada, pode-se neste momento fazer = 0 e continuar o processo normalmente. Em tudo o que foi feito partiu-se do princípio de que todas as rotas são possíveis, mas pode acontecer que haja trajectos impossíveis entre alguma ou algumas das origens e algum ou alguns dos destinos. Para resolver esse problema deve-se considerar os custos correspondentes aos trajectos impossíveis iguais a +.

Problemas de Transportes e de Afectação

Problemas de Transportes e de Afectação CAPÍTULO 6 Problemas de Transportes e de Afectação 1. Problema de Transporte Este problema, que é um dos particulares de PL, consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem disponível, em

Leia mais

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT).

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT). Prof. Geraldo Nunes Silva (Revisado por Socorro Rangel) Estas notas de aula são Baseadas no livro: Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, a ed., 9 Agradeço a Professora

Leia mais

Problemas de Fluxos em Redes

Problemas de Fluxos em Redes Investigação Operacional Problemas de Fluxos em Redes Slide Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de fluxos em redes Rede: Conjunto de pontos (vértices) ligados por linhas ou

Leia mais

A Dualidade em Programação Linear

A Dualidade em Programação Linear Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 14 A Dualidade em Programação Linear Para melhor ilustrar este conceito vamos estudar dois problemas intimamente relacionadas: o problema da dona

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Métodos de Programação Linear: Gráfica, (Mestrado) Engenharia Industrial http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Representação Gráfica Considere o

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Métodos de Programação Linear: Big M, Fases, S Dual (Licenciatura) Tecnologias e Sistemas de Informação http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Simplex

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares Matemática II - / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a n x n = b

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. IV Modelo Dual António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. IV - Modelo Dual - Exercícios IV. Modelo Problema Dual 1. Apresente o

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 10: Método Simplex Técnica das variáveis artificias Método das penalidades ( Big M ). Método das duas fases. 2 Modificando o Exemplo Protótipo. Suponha-se que é modificado

Leia mais

X - D U A L I D A D E

X - D U A L I D A D E X - D U A L I D A D E 1 - Introdução. Regras de transformação "Primal - Dual" Consideremos os dois problemas P1 e P2 de Programação Linear seguintes: P1 : n Maximizar F = Σ ck. Xk k = 1 n Σ aik. Xk bi

Leia mais

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade CAPÍTULO 4 1. Introdução Uma dos conceitos mais importantes em programação linear é o de dualidade. Qualquer problema de PL tem associado um outro problema de PL, chamado o Dual. Neste contexto, o problema

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica.

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Ano lectivo: 2008/2009; Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Cursos: Economia 1. Formule o problema

Leia mais

5. Problema de Transporte

5. Problema de Transporte 5. Problema de Transporte O Problema de Transporte é talvez o mais representativo dos Problemas de Programação Linear. É um problema de grande aplicação prática, tendo sido estudado por vários investigadores,

Leia mais

Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1

Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1 Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1 O Problema de Transporte consiste em determinar o menor custo (ou o maior lucro) em transportar produtos de várias origens para

Leia mais

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos RESOLUÇÂO DO PROBLEMA Nº 19 Determinado problema de Programação Linear depois de formulado permitiu obter as seguintes expressões: Max L = 4x 1-2x 2 + 2x 3 -x 4 s.a. R 1: x 1 - x 2 + 2x 3 +x 4 10 R 2:

Leia mais

Análise de Sensibilidade. Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO. Análise de Sensibilidade

Análise de Sensibilidade. Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO. Análise de Sensibilidade nálise de Sensibilidade Investigação Operacional rogramação Linear (arte II) 2/2 Nuno Moreira/milcar rantes/ui Marques/Marta Gomes Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território

Leia mais

Investigação Operacional 2004/05 2º Mini-teste Extra. 9 de Dezembro, 11:00h 12:30h

Investigação Operacional 2004/05 2º Mini-teste Extra. 9 de Dezembro, 11:00h 12:30h Investigação Operacional 00/0 º Mini-teste Extra 9 de Dezembro, :00h :0h Sem consulta, sem máquina de calcular Justifique todas as respostas Departamento de Engenharia Civil Secção de Planeamento do Território

Leia mais

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma: A.x = b onde: A matriz de coeficientes de ordem x vetor

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC INVESTIGÇÃO OPERCIONL TESTE CURSOS: EMP, EEM e EME 2005/2006 Data: 4 de Novembro de 2005 Duração: 19:0 às 21:0 Instruções:

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 49 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das

Leia mais

Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo

Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Programação Matemática Maristela Santos Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Forma Padrão - Definição Características da forma padrão: Problema de minimização Todas

Leia mais

Método do Big M. Análise de Sensibilidade

Método do Big M. Análise de Sensibilidade A 5 =A 4 +C 5 B 5 =B 3 +C 5 C 5 =C 4 /2 E 5 =E 4 +C 5 Método do Big M.5.5 4 -.5.5 6 -.5.5 2 -G.5.5 2 i 2/- 4/- 4/2=2 max = 2 Nuno Moreira - 22/23 x 2 R 3 5 G=2 R 2 R 5 x 3 Análise de Sensibilidade Nuno

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Ano lectivo: 0/06 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Algoritmo Simplex Cursos: Gestão e Economia. Considere o seguinte conjunto

Leia mais

Optimização em Redes e Não Linear

Optimização em Redes e Não Linear Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro Optimização em Redes e Não Linear Ano Lectivo 005/006, o semestre Folha - Optimização em Redes - Árvores de Suporte. Suponha que uma dada companhia

Leia mais

Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos

Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 14 de agosto

Leia mais

[a11 a12 a1n 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E A N Á L I S E P Ó S - O P T I M A L I D A D E Recordemos o exercício apresentado para ilustrar a aplicação do Algoritmo Simplex Revisto: Consideremos o

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]

Leia mais

Resolução de PL usando o método Simplex

Resolução de PL usando o método Simplex V., V.Lobo, EN / ISEGI, 28 Resolução de PL usando o método Simplex Método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 947 Muito utilizado Facilmente implementado como

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística

PESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística PESQUISA OPERACIONAL Fabiano F. T. dos Santos Instituto de Matemática e Estatística Dualidade em Programação Linear Todo problema de programação linear, que chamaremos de primal, traz consigo um segundo

Leia mais

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior  1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2

Leia mais

Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular

Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular Consideremos uma EDO linear de segunda ordem com a forma

Leia mais

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr.

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr. Programação Linear São problemas complexos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades.

Leia mais

Exemplo: Maximização de lucros em uma chocolateria que produz os seguintes produtos: (1) Chocolate Pyramide (2) Chocolate Pyramide Nuit

Exemplo: Maximização de lucros em uma chocolateria que produz os seguintes produtos: (1) Chocolate Pyramide (2) Chocolate Pyramide Nuit Universidade Tecnológica Federal do Paraná Professor Murilo V. G. da Silva Notas de aula Estrutura de Dados 2 (Aula 09) Conteúdos da Aula: [DPV06 7.1, 7.2, 7.3] [Observação: Estas notas de aula são apenas

Leia mais

Problemas de Fluxo Máximo

Problemas de Fluxo Máximo Investigação Operacional 1 Problemas de Fluxo Máximo Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de Fluxo Máximo Definição: Dada uma rede, com um nó de entrada eumnó desaída,

Leia mais

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Simplex Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 3 c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear abordagem algébrica max sujeito a: n

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos

Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas equações Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero Não alteram

Leia mais

MATEMÁTICA II. Aula 13. 3º Bimestre. Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega

MATEMÁTICA II. Aula 13. 3º Bimestre. Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega 1 MATEMÁTICA II Aula 13 Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega 3º Bimestre 2 INTRODUÇÃO Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um? Para responder

Leia mais

Matemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares

Matemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Matemática I Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Objectivos Matrizes especiais e propriedades do produto de matrizes Matriz em escada de linhas Resolução de sistemas de equações lineares

Leia mais

Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares

Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)

Leia mais

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008 .,.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método Simplex Resolução de PL usando o método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 97 Muito utilizado Facilmente implementado como programa

Leia mais

5 Análise de Sensibilidade

5 Análise de Sensibilidade MAC-35 - Programação Linear Primeiro semestre de 00 Prof. Marcelo Queiroz http://www.ime.usp.br/~mqz Notas de Aula 5 Análise de Sensibilidade Neste capítulo consideramos o problema de programação linear

Leia mais

Matrizes e Sistemas Lineares

Matrizes e Sistemas Lineares MATEMÁTICA APLICADA Matrizes e Sistemas Lineares MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. Matrizes Uma matriz de ordem mxn é uma tabela, com informações dispostas em m linhas e n colunas. Nosso interesse é em matrizes

Leia mais

Bases de subespaços. 5 a : aula prática (1.30h) e 08-04/2010 Bases de subespaços 5-1

Bases de subespaços. 5 a : aula prática (1.30h) e 08-04/2010 Bases de subespaços 5-1 a : aula prática (.h) - e 8-/ Bases de subespaços - Instituto Superior Técnico o semestre Álgebra Linear o ano da Lics.em Engenharia Informática e de Computadores e Engenharia Química Bases de subespaços

Leia mais

SISTEMAS LINEARES. Solução de um sistema linear: Dizemos que a sequência ou ênupla ordenada de números reais

SISTEMAS LINEARES. Solução de um sistema linear: Dizemos que a sequência ou ênupla ordenada de números reais SISTEMAS LINEARES Definições gerais Equação linear: Chamamos de equação linear, nas incógnitas x 1, x 2,..., x n, toda equação do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b. Os números a 11,

Leia mais

Material Teórico - O Plano Cartesiano e Sistemas de Equações. Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas Incógnitas

Material Teórico - O Plano Cartesiano e Sistemas de Equações. Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas Incógnitas Material Teórico - O Plano Cartesiano e Sistemas de Equações Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas Incógnitas Sétimo Ano do Ensino Fundamental Prof Francisco Bruno Holanda Prof Antonio Caminha

Leia mais

Matrizes e Sistemas Lineares

Matrizes e Sistemas Lineares Matrizes e Sistemas Lineares Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015 1 Matrizes Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. VII Interpretação económica do modelo de PL António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. VII - Interpretação económica do modelo de

Leia mais

Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade

Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade Investigação Operacional rogramação Linear (arte II) Licenciatura em ngenharia ivil Licenciatura em ngenharia do Território Licenciatura em ngenharia e rquitectura Naval / Nuno Moreira/milcar rantes/ui

Leia mais

Escalonamento. Sumário. 1 Pré-requisitos. 2 Sistema Linear e forma matricial. Sadao Massago a Pré-requisitos 1

Escalonamento. Sumário. 1 Pré-requisitos. 2 Sistema Linear e forma matricial. Sadao Massago a Pré-requisitos 1 Escalonamento Sadao Massago 2011-05-05 a 2014-03-14 Sumário 1 Pré-requisitos 1 2 Sistema Linear e forma matricial 1 3 Forma escalonada 3 4 Método de eliminação de Gauss (escalonamento) 5 5 A matriz inversa

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Investigação Operacional Licenciatura em Gestão 3.º Ano Ano Lectivo 2013/14 Programação Linear Texto elaborado por: Maria João Cortinhal (Coordenadora) Anabela Costa Maria João Lopes Ana Catarina Nunes

Leia mais

Matemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes

Matemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes Matemática II - 00/0 - Matrizes Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma função A : f; ; :::; mg f; ; :::; ng R: (i; j) A (i; j)

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX ( ) DEFINIÇÕES REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO. Prof. Edson Rovina Página 16

PESQUISA OPERACIONAL 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX ( ) DEFINIÇÕES REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO. Prof. Edson Rovina Página 16 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX Página 16 Após o problema ter sido modelado, pode-se resolvê-lo de forma algébrica. A solução algébrica é dada pelo método simplex elaborado por Dantzig. Antes da

Leia mais

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Simplex Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Leia mais

Vânio Correia Domingos Massala

Vânio Correia Domingos Massala Optimização e Decisão 06/0/008 Método do Simplex Vânio Correia - 5567 Domingos Massala - 58849 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Generalidades do Método do Simplex Procedimento algébrico iterativo para resolver

Leia mais

Actividade Formativa 1

Actividade Formativa 1 Actividade Formativa 1 Resolução 1. a. Dada a função y 3+4x definida no conjunto A {x R: 2 x < 7} represente graficamente A e a sua imagem; exprima a imagem de A como um conjunto. b. Dada a função y 3

Leia mais

XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Segunda Fase Nível 2 (7 a. ou 8 a. séries)

XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Segunda Fase Nível 2 (7 a. ou 8 a. séries) PROBLEMA No desenho ao lado, o quadrado ABCD tem área de 30 cm e o quadrado FHIJ tem área de 0 cm. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG.

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Equações Polinomiais do primeiro grau Significado do termo Equação : As equações do primeiro grau são aquelas que podem

Leia mais

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2

Leia mais

Programação Matemática Licenciatura em Matemática

Programação Matemática Licenciatura em Matemática Programação Matemática Licenciatura em Matemática Marília Pires Universidade do Algarve Departamento de Matemática 2005/06 Conteúdo 1 Modelos de Optimização 3 1.1 Programação Linear...........................

Leia mais

Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss

Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss Pedro Vasconcelos DCC/FCUP 2015 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss 2015 1 / 23 Nesta

Leia mais

Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares. Sistemas Lineares - Parte 2. Terceiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares. Sistemas Lineares - Parte 2. Terceiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares Sistemas Lineares - Parte 2 Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 A representação

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b em que a 1, a 2, a

Leia mais

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1 setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES

Leia mais

Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan

Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org 8

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais Espaços Vectoriais - Matemática II - 2004/05 40 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o

Leia mais

Pode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Então P(A) = P(A

Pode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Então P(A) = P(A MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Considere o sistema linear de m equações e n incógnitas: O sistema S pode

Leia mais

Programação Linear. (3ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

Programação Linear. (3ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Programação Linear (3ª parte) Informática de Gestão 61020 Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Conteúdos Excel Solver Instalação do Solver Resolução de problemas de programação linear Problema de minimização

Leia mais

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02 EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades

Leia mais

Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula

Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Introdução 2 Alguns Conceitos de Álgebra Linear 3 Sistemas Lineares 4 Métodos Computacionais 5 Sistemas Triangulares 6 Revisão Introdução Introdução Introdução

Leia mais

IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R :

IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R : IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R : C O N C E I T O S F U N D A M E N T A I S Consideremos um problema de Programação Linear apresentado na sua forma standard: Maximizar F = c1. X1 + c2. X2 + c3.

Leia mais

Programação Linear - Parte 3

Programação Linear - Parte 3 Matemática Industrial - RC/UFG Programação Linear - Parte 3 Prof. Thiago Alves de Queiroz 1/2016 Thiago Queiroz (IMTec) Parte 3 1/2016 1 / 26 O Método Simplex Encontre o vértice ótimo pesquisando um subconjunto

Leia mais

TRANSPORTES, AFECTAÇÃO E OPTIMIZAÇÃO DE REDES

TRANSPORTES, AFECTAÇÃO E OPTIMIZAÇÃO DE REDES Manuela Magalhães Hill Mariana Marques dos Santos Ana Líbano Monteiro VOL. 3 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL TRANSPORTES, AFECTAÇÃO E OPTIMIZAÇÃO DE REDES EDIÇÕES SÍLABO INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Vol. 1 Programação

Leia mais

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá campus Itabira Geometria Analítica e Álgebra Linear Parte 1 Matrizes 1 Introdução A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador da álgebra

Leia mais

EAD DETERMINANTES CONCEITO:

EAD DETERMINANTES CONCEITO: 1 EAD DETERMINANTES CONCEITO: Dada uma Matriz Quadrada de ordem n, dizemos que Determinante de ordem n é um número associado a essa Matriz conforme determinadas leis. Representamos o Determinante de uma

Leia mais

Figura : Monitoria. Monitoria Cálculo Numérico

Figura : Monitoria. Monitoria Cálculo Numérico Monitoria Cálculo Numérico 207-02 NOME Email Dia / Horário Local Ana Sofia Nunez de Abreu nunez.asofia@gmail.com Sex. 0-2h D- Luiz Eduardo Xavier luizeduardosxavier@gmail.com Ter, 5-7h Lab Rafael Mendes

Leia mais

MATEMÁTICA. Aula 14 Matrizes. Prof. Anderson

MATEMÁTICA. Aula 14 Matrizes. Prof. Anderson MATEMÁTICA Aula Matrizes Prof. Anderson Assuntos Conceito Matrizes com Nomes Especiais Igualdade de Matrizes Operações com Matrizes Matriz Inversa Conceito As matrizes são quantidades de dados passíveis

Leia mais

Módulo de Equações do Segundo Grau. Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano

Módulo de Equações do Segundo Grau. Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano Módulo de Equações do Segundo Grau Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano Relações entre Coeficientes e Raízes. Exercícios Introdutórios Exercício. Fazendo as operações de soma e de produto entre

Leia mais

Modelos determinísticos de trânsitos de potência. Documento complementar à dissertação. José Iria

Modelos determinísticos de trânsitos de potência. Documento complementar à dissertação. José Iria Modelos determinísticos de trânsitos de potência Documento complementar à dissertação José Iria ee06210@fe.up.pt - 10-03-2011 Modelo AC Num estudo de trânsito de potência determinístico AC, as quantidades

Leia mais

Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares. Sistemas Lineares - Parte 1. Terceiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares. Sistemas Lineares - Parte 1. Terceiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares Sistemas Lineares - Parte 1 Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 Introdução

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL I

PESQUISA OPERACIONAL I PESQUISA OPERACIONAL I Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza edwin@engenharia-puro.com.br www.engenharia-puro.com.br/edwin/po-i.html Dualidade Introdução Uma das mais importantes descobertas no início do

Leia mais

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita;

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; META Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; determinar

Leia mais

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio

Leia mais

A = Utilizando ponto flutuante com 2 algarismos significativos, 2 = 0, x (0)

A = Utilizando ponto flutuante com 2 algarismos significativos, 2 = 0, x (0) MAP 22 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Lista de Exercícios sobre Sistemas Lineares : Utilizando o método de eliminação de Gauss, calcule o determinante e a seguir a inversa da matriz abaixo. Efetue todos os

Leia mais

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que: Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que

Leia mais

Expansão linear e geradores

Expansão linear e geradores Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 Expansão linear e geradores Se u 1 ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u 1 ; u ;

Leia mais

A tensão em cada ramo do circuito é a diferença de potencial existente entre os seus terminais. Figura 1 - Circuito eléctrico com malhas distintas.

A tensão em cada ramo do circuito é a diferença de potencial existente entre os seus terminais. Figura 1 - Circuito eléctrico com malhas distintas. . Leis de Kirchhoff.. DEFINIÇÕES Os circuitos eléctricos podem ser definidos como sendo dispositivos que permitem um ou vários trajectos fechados para a corrente eléctrica constituindo uma rede eléctrica.

Leia mais

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades; DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: - identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

Leia mais

Diagonal mais curta. Como d = mx e l = nx, teríamos: l 1 = d l = mx nx = (m n)x = n 1 x. d 1 = a:d + b:l = amx + bnx = (am + bn)x = m 1 x

Diagonal mais curta. Como d = mx e l = nx, teríamos: l 1 = d l = mx nx = (m n)x = n 1 x. d 1 = a:d + b:l = amx + bnx = (am + bn)x = m 1 x Diagonal mais curta Seja P um polígono regular de lados ( > 6), d a medida da sua diagonal mais curta e l a medida do seu lado. Supondo que d e l são comensuráveis, temos d mx e l nx, onde m e n são inteiros

Leia mais

Álgebra Linear I Unidade 1. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Álgebra Linear I Unidade 1. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Álgebra Linear I 2016-1 Prof ª Valéria de Magalhães Iorio Unidade 1. Sistemas de Equações Lineares

Leia mais

Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n

Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n 1. Descrição do método e alguns exemplos Colocamos o seguinte problema: dado um conjunto finito: A = {a 1, a 2,...,

Leia mais

1, , ,

1, , , Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão Licenciatura em Informática Fundamentos de Geometria Analítica e Álgebra Linear Profª Sheila R. Oro Este texto

Leia mais

+ a 3. x 3. são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x 1

+ a 3. x 3. são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x 1 3.2 SISTEMA LINEAR Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b em que a 1, a 2, a 3,..., a n são números reais, que recebem o nome de coeficientes

Leia mais

Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES

Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES Formulação A programação linear lida com problemas nos quais uma função objectivo linear deve ser optimizada (maximizada ou minimizada)

Leia mais

Programação Matemática Lista 3

Programação Matemática Lista 3 Programação Matemática Lista 3. Coloque na forma padrão os seguintes problemas de programação linear: a) Maximizar X 7 X + 8 X 3 +X 4 X + X X 3 + X 4 4 X + X 3 9 X + X 3 + X 4 6 X 0, X 0, X 3 0, X 4 0

Leia mais

Inversão de Matrizes

Inversão de Matrizes Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 18 de

Leia mais

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear e Método Simplex Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 1 c 1998 Programação Linear e Método Simplex 1 Slide 2 Toda a teoria deve ser feita para poder

Leia mais

Resolução de problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana

Resolução de problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana Ana Maria A.C. Rocha Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho arocha@dps.uminho.pt http://www.norg.uminho.pt/arocha

Leia mais