Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081. PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR Aula Número: 07

2 Programação Linear Últimas Aulas: Tableau Simplex Método BIG M Aula de Exercício

3 Programação Linear Tableau Simplex Casos Especiais em PL: Como identificar estas situações no Tableau?

4 Programação Linear Tableau Simplex Caso com Múltiplas Soluções Quando, na forma tableau ótima, o coeficiente de uma das variáveis não básicas (VNB) for nulo na linha referente a FOB. Exemplo: Max z = 8 x x 2 s.a : 4x 1 + 2x 2 16 x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0

5 Programação Linear Tableau Simplex Tableau Ótimo à MAX Z à COEFICIENTES DAS VNB >0 Múltiplas Soluções Como x2 (VNB) tem coeficiente igual a zero, sua entrada não altera o valor de Z (FOB). Como a entrada de x2 na base o valor de Z (FOB) não se altera.

6 Programação Linear Tableau Simplex Caso de Conjunto Ilimitado de Soluções Quando, na forma tableau, uma VNB candidata a entrar na base fica impossibilitada porque as todas as VB possuem coeficiente negativos ou nulos na coluna referente a VNB candidata. Exemplo: Max z = 4 x x 2 s.a : 2x 1 + 5x 2 20 x 1 8 x 1, x 2 0

7 Programação Linear Tableau Simplex Tableau MAX W - Segunda Iteração x3 deve entrar na base (maior coeficiente negativo em w (FOB)). Entretanto, como todos os elementos de sua coluna são nulos ou negativos, não há como uma variável básica (x2 ou x4) sair da base. Valor da Função Objetivo Ilimitada

8 Programação Linear Tableau Simplex Caso de Problema Sem Solução Ótima Quando, na forma tableau, a solução final tiver pelo menos uma variável artificial com coeficiente não nulo. Exemplo: Max z = x 1 + x 2 s.a : 5x 1 + 4x x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0

9 Programação Linear Tableau Simplex Problema Sem Solução Ótima Max z = x 1 + x 2 s.a : 5x 1 + 4x x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 Max z = x 1 + x 2 Ma 1 s.a : 5x 1 + 4x 2 x 3 + a 1 = 40 2x 1 + x 2 + x 4 = 6 x 1, x 2, x 3, x 4, a 1 0 Tableau Final à MAX Z à COEFICIENTES DAS VNB >0 Observe que 'a1 possui valor não nulo (=16). Ou seja, a solução final encontrada não é ótima, uma vez que a solução não corresponde a formulação original (FOB original).

10 Programação Linear Tableau Simplex Situações que podem ocorrer na resolução do Tableau: Empate na escolha da variável a entrar na base : Escolha Arbitrária Empate na escolha da variável a sair da base : Escolha Arbitrária

11 Programação Linear

12 Programação Linear Dualidade A dualidade foi uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da Programação Linear. Casos em que a resolução final do problema primal é difícil, de forma que a transformação do problema primal em dual facilitaria a resolução. Deve-se optar pelo problema (primal ou dual) que tiver o número menor de restrições Interpretação econômica do problema primal

13 Programação Linear Dualidade Regras de Transformação Primal à Dual 1. O problema primal deve estar na Forma Canônica Maximização Forma Canônica Minimização Forma Canônica

14 Programação Linear Dualidade Regras de Transformação Primal à Dual 2. Se o problema primal é de minimização o dual será de maximização e vice-versa. Problema PRIMAL Problema DUAL X-> VARIÁVEL PRIMAL Y-> VARIÁVEL DUAL

15 Programação Linear Dualidade Regras de Transformação Primal à Dual 3. Os coeficientes transpostos da FOB do problema primal serão as constantes do lado direito das restrições do problema dual Problema PRIMAL Problema DUAL

16 Programação Linear Dualidade Regras de Transformação Primal à Dual 4. As constantes do lado direito das restrições do problema primal serão os coeficientes da FOB do problema dual Problema PRIMAL Problema DUAL

17 Programação Linear Dualidade Regras de Transformação Primal à Dual 5. Os coeficientes transpostos das variáveis x em cada uma das restrições do problema primal serão os coeficientes das variáveis duais y do problema dual Problema PRIMAL Problema DUAL

18 Programação Linear Dualidade Exemplo: Como fica a formulação dual do problema primal apresentado? Já está na forma canônica?

19 Programação Linear Dualidade y1 y2 y3 y4 Formulação Dual

20 Programação Linear Dualidade Exercício: Apresente a formulação dual do problema abaixo. Min z = 2.5x 1 + 3x 2 + x 3 s.a : x 1 + 4x 2 + 0x x 1 + 0x 2 3x 3 5 x 1, x 2, x 3 0 Formulação Dual Já está na forma canônica? Max W = 20y 1 + 5y 2 s.a : y 1 2y y 1 3 3y 2 1 y 1, y 2 0

21 Programação Linear Dualidade Caso Especial: Forma Canônica? Então, como obter a formulação dual do problema?

22 Programação Linear Dualidade 1º Passo) Transformar as igualdades em desigualdades 2º Passo) Transformar as desigualdades em ( Probl. Maximização) Transformar as desigualdades em ( Probl. Minimização) (Probl. Maximização) ( 1)

23 Programação Linear Dualidade Forma Canônica y1 y2 y3 y1 y2' y2'' y3 Formulação Dual Formulação Dual OU

24 Programação Linear Dualidade CONCLUSÃO: Quando uma ou mais restrições do problema primal estão na forma de igualdade, a variável dual correspondente é uma variável livre ou irrestrita de sinal.... Pode assumir valores Positivos ou Negativos

25 Programação Linear Dualidade O dual do dual é o próprio primal Z W Solução Factível Z * W * Solução Ótima

26 Programação Linear Dualidade Exemplo : Problema de Minimização Como fica a formulação dual do problema apresentado?

27 Programação Linear Dualidade Min z = 4 x x 2 s.a : 2x 1 + x (y 1 ) 2x 1 + 3x 2 = 40...(y 2 ) x 1 + 2x (y 3 ) x 1, x 2 0 Forma canônica Min s. a : z = 4 x 2x 2x 2x x 1 + 3x 1 x, x 3x 2x x x Formulação Dual Max w = 20y y 2 30y 3 s.a : 2y 1 + 2y 2 y 3 4 1y 1 + 3y 2 2y 3 5 y 1, y 3 0 y 2 livre

28 Programação Linear Dualidade Minimização Maximização z=w Solução Ótima

29 Programação Linear MATLAB TOOLBOX DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

30 Programação Linear MATLAB Parâmetros de Saída X: Valor das variáveis primais FVAL: Valor da Função Objetivo Saída EXITFLAG: Verifica Convergência OUTPUT: OUTPUT.iterations (N de Iterações) LAMBDA: Valor das variáveis duais

31 Programação Linear MATLAB Exemplo (arquivo.m) Variável dual Y1 Variável dual Y2 Variável dual Y3 Variável dual Y4 Variável dual Y5 e Y6

32 Programação Linear MATLAB Variável primal X1 Variável dual Y1 Variável dual Y2 RESULTADOS Variável primal X2 Valor da FOB Variável dual Y3 Variável dual Y4 Convergência Variável dual Y5 Variável dual Y6

33 Programação Linear MATLAB 0 0 Em que situação os valores duais são diferentes de zero? Quando as restrições do problema primal esbarram em seus limites (restrições ativas)

34 Programação Linear MATLAB Exemplo: Utilize o MATLAB para resolver o seguinte problema de programação linear:

35 Programação Linear MATLAB RESULTADOS

36 Programação Linear Dualidade O modelo matemático dual tem alguma interpretação relacionada ao modelo primal que o gerou? As variáveis duais representam o quanto a função objetivo do problema primal varia de acordo com o recurso (termo constante) das equações que as originaram.

37 Programação Linear Dualidade Qual é o impacto, na função objetivo (Z), de se aumentar em uma unidade o termo constante da primeira inequação?

38 Programação Linear Dualidade

39 Programação Linear Dualidade RESULTADOS RESULTADOS Diferença Econômica 600

40 Programação Linear MATLAB Perguntas: Qual o valor de W se aumentarmos o recurso da primeira inequação em 01 unidade? =76020 Qual o valor de W se diminuirmos o recurso da segunda inequação em 01 unidade? =75920 Qual o valor de W se aumentarmos restrição do limite inferior de Y2 em 02 unidades? *20=76040

41 Programação Linear Análise de Sensibilidade Justificativas para o uso da análise de sensibilidade: O problema em estudo exige grande tempo de processamento e já foi resolvido anteriormente; Descoberta de algum erro na modelagem do problema ou modificação de alguma outro parâmetro. Estudo do impacto da variação de alguns parâmetros da modelagem em estudo na função objetivo do problema.

42 Programação Linear Análise de Sensibilidade Análises de Sensibilidade (Impacto no problema) : Eliminação de Restrições Eliminação de Variáveis Variação nos Coeficientes da Função Objetivo

43 Programação Linear Análise de Sensibilidade Eliminação de Restrições Duas situações: A restrição a ser eliminada é uma igualdade. Neste caso, deve-se resolver o problema novamente. A restrição a ser eliminada é uma desigualdade. Neste caso, deve-se verificar se a restrição é ativa (atinge o limite) ou não. Sendo ativa deve-se resolver o problema novamente. Não sendo ativa pode-se eliminar a desigualdade, pois esta não afetará em nada a solução do problema.

44 Programação Linear Análise de Sensibilidade Eliminação de Variáveis Duas situações: Variáveis nulas podem ser eliminadas (VNB e/ou VB nulas) sem afetar a solução ótima do problema; Variáveis básicas (VB) não nulas não podem ser eliminadas. Caso sejam, deve-se resolver o problema novamente.

45 Programação Linear Análise de Sensibilidade Variação nos Coeficientes da Função Objetivo Exemplo: Max z = 5 x x x 3 s.a : 2x 1 + 3x 2 + 4x x 1 +1x 2 +1x x 1 80 x 1, x 2, x 3 0 Lucro Horas Matéria prima Produção X1=cadeiras X2=mesas X3=quadros

46 Programação Linear Análise de Sensibilidade Max z = 5 x x x 3 s.a : 2x 1 + 3x 2 + 4x x 1 +1x 2 +1x x 1 80 x 1, x 2, x 3 0 Um aumento do preço de venda de x3 influência ou não no lucro? De quanto deve ser esse aumento? Como ficaria minha estratégia de venda com esse aumento? Seria possível reduzir o preço de venda de x3 e manter a margem ótima de lucro?

47 Programação Linear Análise de Sensibilidade Max z = 5 x x x 3 Exemplo: s.a : 2x 1 + 3x 2 + 4x x 1 +1x 2 +1x x 1 80 x 1, x 2, x 3 0 CASO 1 Quanto se pode variar o coeficiente da variável x3 (VNB) na FOB sem alterar a solução ótima do problema? Max z = 5 x x 2 + (3+ Δc 3 ) x 3 = 577, 5 Δc 3 =????

48 Programação Linear Análise de Sensibilidade Expressão da FOB Tableau Ótimo z + 6, 25x 3 + 2, 25SLK 2 + 0, 25SLK 3 = 577, 50 Alteração na FOB Max z = 5 x x 2 + (3+ Δc 3 ) x 3 Max z 5 x 1 7 x 2 (3+ Δc 3 ) x 3 = 0

49 Programação Linear Análise de Sensibilidade Expressão da FOB no Tableau Ótimo z + 6, 25x 3 + 2, 25SLK 2 + 0, 25SLK 3 = 577, 5 Alteração na FOB (Sensibilidade) Max z 5 x 1 7 x 2 3x 3 Δc 3 x 3 = 0 Alteração na Expressão da FOB no Tableau Ótimo z + (6, 25 Δ C3 )x 3 + 2, 25SLK 2 + 0, 25SLK 3 = 577, 5 O Tableau ótimo permanecerá o mesmo enquanto o coeficiente de x3 for positivo. 6, 25 Δc 3 > 0 Δc 3 < 6, 25

50 Programação Linear Análise de Sensibilidade Δc 3 < 6, 25 Max z = 5 x x 2 + (3+ Δc 3 ) x 3 C3 Conclusão: O coeficiente de x3 (C3) pode variar de alterar a solução ótima (valor da FOB). 0 < c 3 < 9, 25 sem

51 Programação Linear Análise de Sensibilidade Max z = 5 x x 2 + C3 x 3 s.a : 2x 1 + 3x 2 + 4x x 1 +1x 2 +1x x 1 80 x 1, x 2, x 3 0

52 Programação Linear Análise de Sensibilidade 0 < c 3 < 9, 25 Sem alteração da FOB FOB=577,50 0 < c 3 < 9, 25

53 Programação Linear Análise de Sensibilidade Max z = 5 x x x 3 s.a : 2x 1 + 3x 2 + 4x x 1 +1x 2 +1x x 1 80 x 1, x 2, x 3 0 Um aumento do preço de venda de x3 influência ou não no lucro? sim De quanto deve ser esse aumento? O novo preço deve ser no mínimo de $10 Como ficaria minha estratégia de venda com esse aumento? só quadros Seria possível reduzir o preço de venda de x3 e manter a margem ótima de lucro? sim

54 Programação Linear Análise de Sensibilidade Caso 2 Max z = 5 x x x 3 Exemplo: s.a : 2x 1 + 3x 2 + 4x x 1 +1x 2 +1x x 1 80 x 1, x 2, x 3 0 Quanto se pode variar o coeficiente da variável x1 (VB) na FOB de modo a manter a otimalidade das variáveis do problema? Max z = ( 5 + Δc + x Δc 1 =??? 1) x1 + 7x2 3 Alteração na FOB (Sensibilidade) z (5+ Δc 1 )x 1 7x 2 3x 3 = 577, 50 3

55 Programação Linear Análise de Sensibilidade Diante da alteração deve-se eliminar o coeficiente de X1, uma vez que na FOB só deve haver VNB. Linha(0)' = Linha(0) ( Δ ) c1.linha(2) 1

56 Programação Linear Análise de Sensibilidade A otimalidade da solução será preservada enquanto os coeficientes das VNB, no tableau acima, forem positivos (Maximização). 6, 25 0, 25Δc 1 > 0 Δc 1 < 25 2, 25 0, 25Δc 1 > 0 Δc 1 < < Δc 1 < 9 0, 25+ 0, 75Δc 1 > 0 Δc 1 > 1/ 3

57 Programação Linear Análise de Sensibilidade 1 3 < Δc 1 < 9 Max z = (5+ Δc 1 ) x x x 3 C1 Conclusão: coeficiente de x1 (C1) pode variar de manter a otimalidade do problema < c 1 <14 de modo a

58 Programação Linear Análise de Sensibilidade C1 X1 X2 X3 Z 14 3 < c 1 <14 OTIMALIDADE PRESERVADA

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