PESQUISA OPERACIONAL Introdução. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina

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1 PESQUISA OPERACIONAL Introdução Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina

2 PESQUISA OPERACIONAL Ementa Revisão de Álgebra Linear. Modelos de Programação Linear. O Método Simplex. O Problema do Transporte. O Problema da Designação. Dualidade. Análise de Pós-Otimização. Programa Revisão de álgebra linear: Matrizes. Solução de sistemas de equações lineares. Espaços Vetoriais. Sistemas de inequações lineares. Convexidade. Modelos de programação linear: Modelos de Programação Linear. Solução gráfica. Teoremas fundamentais. Limitações da Programação Linear. Método Simplex: O Método Simplex. Forma padrão. Transformação de um problema geral para a forma padrão. Casos especiais. Método das duas fases. Problema do transporte: Exemplos de modelos de transporte. Obtenção da solução inicial. Obtenção da solução ótima. Casos especiais. Problema da designação: Exemplos de problemas de designação. Algoritmo da designação. Dualidade: Propriedades. Exemplos de formulação do dual. Teorema básico da dualidade. Teorema da folga complementar. Método Dual-Simplex. Interpretação econômica do problema dual. Análise de pós-otimização: Mudanças dos coeficientes de custos. Mudanças nos recursos. Mudanças nas restrições. Programação paramétrica. Referências Puccini, A.L., Pizzolato, N.D., Programação Linear, LTC, 1990 Wagner, H.M., Pesquisa Operacional, Prentice Hall do Brasil, 1986 Taha, Hamdy A., Pesquisa Operacional, 8a. Edição, São Paulo, Pearson, 2008 Lachtermarcher, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões, 4a. Edição, São Paulo, Pearson, 2009 Griffin, Christopher, Linear Programming, Sottinen, Tommi, Operations Research with GNU Linear Programming Kit, 2009 Software Livre LpSolve - lp_solve_ _ide_setup.exe 2

3 PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional (PO) consiste no estudo de métodos matemáticos, usualmente implementados por programas de computador, que podem ser utilizados para resolver problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e controle de sistemas. 3

4 PESQUISA OPERACIONAL 1) Problema de Designação: Decidir qual tarefa atribuir a cada máquina de modo a minimizar o tempo total de execução. 2) Projeto de Rede: Decidir como ligar n cidades através de uma coleção de possíveis ligações de forma a minimzar o custo total de interligação. 3) Agendamento de Pessoal: Determinar a programação da semana para o pessoal do hospital, de modo a satisfazer as necessidades diárias, minimizando o número de pessoas envolvidas. 4) Teoria da decisão: Decidir qual laptop comprar considerando o preço, o peso e as performances. Problemas complexos de tomada de decisões que são abordados através de uma abordagem de modelagem matemática (modelos matemáticos, algoritmos e implementações de computador) ( 4

5 PESQUISA OPERACIONAL 1. Modelagem, Simulação e Otimização 2. Programação Matemática 3. Processos Decisórios 4. Processos Estocásticos 5. Teoria dos Jogos 6. Análise de Demanda 7. Inteligência Computacional 5

6 PESQUISA OPERACIONAL Principais características de problemas de tomada de decisão número de tomadores de decisão (quem decide?) número de objetivos (com base em que critérios?) nível de incerteza nos parâmetros (com base em qual informação?) Vários tomadores de decisão Teoria dos Jogos Vários objetivos Programação Multi-objetivo Nível de incerteza > 0 Programação Estocástica 6

7 Principais etapas PESQUISA OPERACIONAL definir o problema construir um modelo conceber ou selecionar um método adequado desenvolver ou utilizar uma implementação eficiente analisar os resultados Um modelo é uma representação simplificada da realidade. Para definir um modelo precisamos identificar os elementos fundamentais do problema e as principais relações entre eles. 7

8 PESQUISA OPERACIONAL Programação Matemática Um problema de programação matemática tem por objetivo encontrar os valores para as variáveis de decisão que otimizam (maximizam ou minimizam) uma função objetivo respeitando um conjunto de restrições. Tipos de modelos de programação matemática: Programação linear Programação inteira Programação não linear Programação dinâmica Programação binária Outros 8

9 Programação Linear PESQUISA OPERACIONAL É uma técnica de otimização bastante utilizada na resolução de problemas que tenham seus modelos representado por expressões lineares. Pela sua simplicidade e a possibilidade de aplicação em uma considerável diversidade de problemas, tornou-se um recurso bastante difundido. Tem sido usada com sucesso na solução de problemas relativos à alocação de pessoal, mistura de materiais, distribuição, transporte, carteira de investimento. 9

10 Programação Linear PESQUISA OPERACIONAL Administração da produção: o Alocação de recursos limitados; Análise de investimentos; Logística: o Custo de transporte; o Localização de rede de distribuição; Alocação de recursos em marketing 10

11 Origens PROGRAMAÇÃO LINEAR Pesquisa Operacional: II Guerra Mundial - formulação e solução de modelos de programação linear em problemas de planejamento de operações militares Dantzig (1947): descoberta do método Simplex para a solução de problemas de programação linear, 11

12 Origens PROGRAMAÇÃO LINEAR Maximizar ou minimizar uma função linear Sujeito a um conjunto de restrições lineares (igualdades ou desigualdades) Variáveis reais que podem assumir qualquer valor max min Z c a 1... a x 11 m1 1 x 1 x... c 1 x 1 n... a 1n a 0,... x x n n x mn n x 0 b n 1 b m 12

13 Principais etapas PROGRAMAÇÃO LINEAR Definição do problema Construção do modelo - modelagem Solução do modelo Validação do modelo Implementação da solução Avaliação final 13

14 Modelagem PROGRAMAÇÃO LINEAR Variáveis de decisão Função objetivo Restrições 14

15 Exemplo 1 PROGRAMAÇÃO LINEAR Num teatro o espectador pode adquirir ingressos que dão direito a assento em cadeira ao custo de R$ 8,00, ou em poltrona ao custo de R$ 15,00. Sabendo que Ana Carolina gastou R$ 121,00 com 9 ingressos, quantos assentos de cada tipo comprou? PS.: sem função objetivo 15

16 Exemplo 1 - variante PROGRAMAÇÃO LINEAR Num teatro o espectador pode adquirir ingressos que dão direito a assento em cadeira ao custo de R$ 8,00, ou em poltrona ao custo de R$ 15,00. Considere que o conforto de cada tipo de assento pode ser mensurado: 5 para cadeira e 7 para poltrona. Sabendo que Ana Carolina pode gastar R$ 121,00 e precisa comprar 9 ingressos, quantos assentos de cada tipo comprou? 16

17 Exemplo 2 PROGRAMAÇÃO LINEAR Num centro de convenções o espectador pode adquirir ingressos que dão direito a assento em cadeira ao custo de R$ 8,00, ou em poltrona ao custo de R$ 15,00. O espectador também pode comprar assento em camarote ao valor de R$ 100,00. Sabendo que Guilherme Henrique gastou R$ 1.200,00 com 40 ingressos, quantos assentos de cada tipo comprou? PS.: sem função objetivo 17

18 Exemplo 2 - variante PROGRAMAÇÃO LINEAR Num centro de convenções o espectador pode adquirir ingressos que dão direito a assento em cadeira ao custo de R$ 8,00, ou em poltrona ao custo de R$ 15,00. O espectador também pode comprar assento em camarote ao valor de R$ 100,00. Considere que o conforto de cada tipo de assento é assim mensurado: 5 para cadeira, 7 para poltrona e 20 para camarote. Sabendo que Guilherme Henrique pode gastar até R$ 1.200,00 e deseja comprar no máximo 40 ingressos, quantos assentos de cada tipo comprou sabendo que deseja maximizar o conforto? 18