Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica."

Transcrição

1 Ano lectivo: 2008/2009; Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Cursos: Economia 1. Formule o problema Dual do seguinte problema (Primal): Minimizar Z = 40 x x 2 Sujeito a x 1 8 x x x Considere o seguinte problema: Maximizar Z = 5 x 1 6 x 2 + x 3 + x 4 Sujeito a x x 2 x 3 x 4 = 7 6 x 1 3 x 2 + x x x 1 17 x x x 4 3, x 3 e x 4 sem sinal a) Formule o problema Dual que se encontra associado a este problema. b) Verifique que o Dual do Dual é o problema dado em cima (Primal). 3. Uma empresa de software comercializa 3 programas: 1 compilador de Pascal, 1 folha de cálculo e 1 sistema de gestão da base de dados, que vende ao público por 200, 250 e 300 euros, respectivamente. Para efectuar as demonstrações aos clientes, a empresa tem disponíveis 2 computadores (modelos A e B). Devido a outros compromissos da empresa, os computadores só podem ser usados em demonstrações durante períodos semanais que não excedam as 30 horas, no caso do modelo A e 40 horas no que se refere ao modelo B. Os tempos de demonstração de cada programa em cada um dos computadores são apresentados na tabela que se segue. Modelo A Modelo B Compilador de Pascal 3 h 2 h Folha de Cálculo 1 h 2 h Sistema de Gestão de Base de Dados 3 h 3 h A procura de qualquer um dos programas é muito elevada, assim como a qualidade geral dos mesmos. Por esta razão, podemos assumir que há sempre um cliente que compra um programa acabado de demonstrar. a) Formule matematicamente o problema de maximização da receita semanal da empresa. b) Construa o seu Dual e resolva-o graficamente. c) Seria vantajoso aumentar as disponibilidades dos computadores A e/ou B? Justifique. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº3 1

2 4. Relativamente aos exercícios 22 e 23 da folha 2: a) Formule o problema Dual correspondente a cada um desses problemas. b) Determine, em cada caso, a solução óptima do Dual sem utilizar o Método Simplex e o respectivo valor da função objectivo. Interprete economicamente as soluções indicadas. 5. Suponha que uma empresa lhe apresenta o seguinte problema, em que a função objectivo está expressa em milhares de euros: Maximizar Z=x 1 +2x 2 s.a: 2x 1 +x 2 2 x 1,x 2 0. a) Um dos administradores da empresa afirma que é possível obter um lucro de Sem resolver o problema dado, diga por que razão isso é impossível. b) Devido a alterações de mercado e de reestruturação da empresa, houve alterações na formulação do problema. O mesmo administrador teima agora em afirmar que a empresa pode atingir um lucro de euros. Volte a contrariá-lo, sabendo que o problema é agora o seguinte: Maximizar Z=5x 1 +4x 2 +3x 3 s.a: 2x 1 +3x 2 +x 3 5 4x 1 +x 2 +2x 3 11 x 1,x 2, x 3 0. Nota: justifique a sua resposta sem resolver este problema. 6. O quadro seguinte refere-se a um problema de maximização: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x z j c j A que condições devem obedecer,,, e para que sejam verdadeiras as seguintes afirmações: a) A solução é óptima. b) A solução não é admissível para o Primal e também não é admissível para o Dual. c) A solução Primal é não limitada. d) A solução é admissível para o Dual e não admissível para o Primal, tal que ao se aplicar o Dual Simplex a variável que sai da base é x 2 e a que entra é x Dado o problema de Programação Linear, Maximizar Z = 5x x x 3 Sujeito a: 3x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + 5x 2 + 4x 3 60 x 1, x 2, x 3 0 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº3 2

3 sabe-se que a sua solução óptima é x*=(0,0,15,10) e que as variáveis básicas do quadro óptimo são x 4 e x 3, por esta ordem. Sem utilizar o Método Simplex, determine a solução óptima do problema Dual correspondente. 8. Minimizar Z = 4x 1 + 6x 2 Sujeito a: 2x 1 + x 2 1 2x 1 + 2x 2 4 x 1 + 2x 2 3 A sua solução óptima é dada por x 1 *=x 2 *=1. Obtenha o quadro óptimo do problema Dual, sem aplicar a este problema o Método Simplex e sabendo que, no quadro óptimo, as variáveis básicas são y 2 e y 3, por esta ordem. 9. Use o Método Simplex para resolver o seguinte problema: Minimizar Z = x 1 + x 2 + x 3 Sujeito a 2 x x x 3 8 x 1 + x x x 3 12 x 1, x 2, x Obtenha a solução do seguinte problema com o Método Simplex. Minimizar Z = 2 x x x 3 Sujeito a x 1 + x 2 + x 3 3 x x 2 3 x x x 2 + x 3 5 x 1, x 2, x Obtenha a solução do seguinte problema com o Método Dual Simplex. Maximizar Z = 21 x 1 4 x 2 9 x 3 Sujeito a 7 x 1 + x 2 + x x 1 + x 2 3 x 3 10 x 1, x 2, x Obtenha a solução do seguinte problema com o Método Dual Simplex. Minimizar Z = 4 x x 2 Sujeito a x 1 + x x x 2 40 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº3 3

4 13. Determine a solução do seguinte problema com o Método Simplex. Minimizar Z = 10 x x 2 Sujeito a 50 x x x x Use o Método Simplex para resolver o seguinte problema. Maximizar Z = 4 x 1 2 x 2 Sujeito a 2 x 1 + x x 1 x (Trabalho de avaliação nº2 de 2003/04) Min Z = x 1-2x 2 s.a: x 1 +4x 2-5x 3 4 -x 2 +x 3-2 x 1 +x 2 = 5 -x 3 10 x 1 0, x 2 0, x 3 livre O problema Dual correspondente é: (A) Max W = 4y 1-2y 2 +5y 3-10y 4 s.a: y 1 +y 3 1 4y 1 -y 2 +y 3-2 5y 1 -y 2 -y 4 = 0 y 1 0, y 2 0, y 3 livre, y 4 0 (B) Max W = 4y 1-2y 2 +5y 3 +10y 4 s.a: y 1 +y 3 1 4y 1 -y 2 +y y 1 +y 2 -y 4 = 0 y 1 0, y 2 0, y 3 livre, y 4 0 (C) Max W = 4y 1-2y 2 +5y 3 +10y 4 s.a: y 1 +y 3 1 4y 1 -y 2 +y y 1 +y 2 -y 4 = 0 y 1 0, y 2 0, y 3 livre, y 4 0 (D) Max W = 4y 1-2y 2 +5y 3 +10y 4 s.a: y 1 +y 3 1 4y 1 -y 2 +y y 1 +y 2 -y 4 = 1 y 1 0, y 2 0, y 3 livre, y 4 0 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº3 4

5 16. (Trabalho de avaliação nº2 de 2003/04) O Departamento de Apoio à Decisão de uma determinada empresa formulou um problema na seguinte forma: (P) Min Z=x 1 +2x 2 +3x 3 (em milhares de ) s.a: Ax b x 0 Após uns dias, é conhecida uma solução admissível do problema Dual correspondente, cujo valor (da respectiva f.o.) é igual a 24. Entretanto, na reunião semanal com a Administração da empresa, o director do referido departamento pode afirmar que: (A) O valor da solução óptima Primal será igual a (B) O valor da solução óptima Primal será inferior ou igual a (C) O valor da solução óptima Primal será superior ou igual a (D) O valor da solução óptima Primal será inferior ou igual a (Trabalho de avaliação nº2 de 2003/04) (P) Max Z=x 1 +x 2 (em ) s.a: x 1 +2x 2 2 (recurso 1) 2x 1 +x 2 2 (recurso 2) x 1,x 2 0 Qual das seguintes afirmações está correcta? (A) Por cada unidade que a disponibilidade do recurso 1 aumentar, a f.o. Primal aumenta 1/3. (B) Se a disponibilidade do recurso 1 aumentar uma unidade, a f.o. Primal aumenta 1/3 e, se o coeficiente de x 1 na f.o. aumentar uma unidade, a f.o. Dual aumenta 2/3. (C) Por cada unidade que o coeficiente de x 1 na f.o. aumentar, a f.o. Dual aumenta 2/3. (D) Por cada unidade que a disponibilidade do recurso 1 aumentar, a f.o. Primal aumenta 1/3 e, por cada unidade que o coeficiente de x 1 na f.o. aumentar, a f.o. Dual aumenta 2/ (Trabalho de avaliação nº2 de 2003/04) Considere o problema em Programação Linear: (P) Max Z = -3x 1 -x 2-2x 3 s.a: x 1 +x 2 +x 3 2 2x 1 +2x 2 +2x 3 3-2x 1 -x 2 -x 3 4 x 2 +x 3 5 x 1 +x 2 6 x i 0, i=1, 2, 3 Resolvendo este problema, pode concluir que: INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 5

6 (A) A solução óptima do Primal é ilimitada e o problema Dual é impossível. (B) A solução óptima do Dual é ilimitada e o problema Primal é impossível. (C) Ambos os problemas (Primal e Dual) têm solução óptima ilimitada. (D) Ambos os problemas (Primal e Dual) são impossíveis. 19. (Exame de Época Normal 2003/04) O seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma dada empresa, em que se quer maximizar o lucro (expresso em ) (P) Max Z = 10x 1-3x 2 ( ) s.a: 3x 1 +x 2 = 3 4x 1 +3x 2 6. a) Formule o problema Dual de (P). b) É conhecida uma solução admissível do problema dual associado a (P): (y 1,y 2 )=(9,- 4). Indique, justificando, o valor lógico da afirmação de um administrador da empresa: É possível atingir um lucro de (Exame de Época de Recurso 2003/04) O seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma dada empresa, em que se pretende minimizar um custo de produção (expresso em ): (P) Min Z = 5x 1 +4x 2 ( ) s.a: x 1 +x 2 4 x 1 2. a) Formule o problema Dual de (P). b) É conhecida uma solução admissível do problema dual associado a (P): (y 1,y 2 )=(4,0). Indique, justificando, o valor lógico da afirmação de um administrador da empresa: É possível obter um custo de produção de (2º mini-teste 2004/05) A seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma empresa em que se pretende minimizar os custos de produção, expressos em milhões de euros, sujeito a duas restrições: (P) Minimizar Z = x 1 + x 2 (milhões de ) Sujeito a: 2x 1 + x 2 4 3x 1 + 6x 2 8 É conhecida uma solução admissível do problema Dual associado a (P): (y 1, y 2 )=(0, 1/6). Indique, justificando e sem resolver (P) ou (D), o valor lógico da seguinte afirmação: É possível obter um custo de produção mínimo de 1 milhão de euros. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 6

7 22. (2º mini-teste 2004/05) Uma empresa pretende maximizar a sua receita (em ), obtida com a venda de três artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x 1, x 2 e x 3 ). Para produzir estes artigos são necessários dois recursos (1 e 2) cujas disponibilidades são, respectivamente, 25 e 20 unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: (P) Max Z = 3x 1 +x 2 +4x 3 ( ) s.a: 6x 1 +3x 2 +5x 3 25 (recurso 1) 3x 1 +4x 2 +5x 3 20 (recurso 2) x 1, x 2, x 3 0. Sendo o quadro óptimo: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x /5 2/5 3 x 1 1-1/3 0 1/3-1/3 5/3 z j c j /5 3/5 17 Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: a) Suponha que a empresa pode adquirir apenas uma unidade adicional de um e um só recurso (1 ou 2). O transporte dessa unidade adicional custará à empresa 0,5, independentemente do tipo de recurso. Indique qual o recurso cuja disponibilidade a empresa tem vantagem em aumentar uma unidade. Justifique a sua resposta. b) Por que razão no plano óptimo não é produzido o artigo 2? Justifique a sua resposta. 23. (Frequência 2004/05) A seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma empresa em que se pretende minimizar os custos de produção, expressos em milhões de euros: (P) Min Z = 3x 1+9x 2 (milhões de ) s.a: 3x 1+x 2 4 x 1, x 2 0. Um dos administradores da empresa afirma que é possível obter um custo de produção de apenas 3 milhões de euros. Sem resolver (P), justifique por que razão isso é impossível. 24. (Exame Normal 2004/05) A seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma empresa em que se pretende minimizar os custos de produção, expressos em milhões de euros: (P) Min Z = 2x 1+3x 2 (milhões de ) s.a: x 1 1 2x 2 = 8 x 1 0, x 2 livre. Um dos administradores da empresa afirma que é possível obter um custo de produção de apenas 13 milhões de euros. Sem resolver (P), justifique por que razão isso é impossível. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 7

8 25. (Mini-Teste nº3 2005/2006 EC) Max Z = 2x 1 4x 2 4x 3 Sujeito a: x 1 x 2 x 3 6 x1 +x 2 + x 3 8 x 1, x 2, x 3 0. E o quadro Simplex inicial: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x z j c j Aplicando o Algoritmo Simplex Dual, indique a opção correcta: [ ] x*=(6,0,0,0,2) e y*=(2,0,0,2,2) [ ] x*=(0,6,0,0,2) e y*=(4,0,-2,0,0) [ ] x*=(6,0,0,0,2) e y*=(0,2,2,2,0) [ ] x*=(0,6,0,0,2) e y*=(-2,0,0,4,0) [ ] Nenhuma das anteriores 26. (Mini-Teste nº3 2005/2006 EC) Formule o dual do seguinte problema em Programação Linear: Min Z 1x +2x 2 + 3x 3 = 1 Sujeito a: x 1 +4x 2 8x 3 12x 4 7 3x 2 + 6x 3 9x 4 = 14 x 1 +x 2 + x 3 + x 4 21 x 1 livre, x 2 0, x 3 0 e x 4 livre. 27. (Mini-Teste nº3 EC) Max z=1.x (milhões de ) s.a: Ax 1 (recursos) x 0, em que A = Sem aplicar o Algoritmo Simplex ao problema dado nem ao seu dual, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações: [ ] Pelo Lema 1 (T.D. fraca), o valor óptimo do problema dado é, quanto muito, 3 milhões de ; [ ] A existência de solução óptima finita para o problema dado implica que o seu dual tem solução óptima ilimitada; [ ] É vantajoso aumentar em uma unidade a disponibilidade de qualquer recurso. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 8

9 28. (Mini-Teste nº3 2005/2006 ME+MI+MA+EPGI+EI) Max Z = 2x 1 + x 2 Sujeito a: x 2 10 x 1 + x 2 15 x 1 2 x Sabendo que a solução óptima do problema tem x 1 *= 3 40 e x2 *= 3 5, determine usando o Teorema dos Desvios Complementares a solução óptima do problema dual. 29. (Exame Época Especial 2005/2006) A seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma empresa em que se pretende maximizar o lucro de produção, expresso em milhares de : Max Z = 2x 1 2x 2 (milhares de ) Sujeito a: x 1 +x 2 1 x 1 +x 2 4 x 1 x 2 1. Um dos administradores da empresa afirma que é possível obter um lucro de 10 mil. Sem resolver (P), justifique por que razão é impossível obter tal lucro: recorra ao Teorema da Dualidade Fraca e, na obtenção de uma solução admissível de (D), use o Algoritmo Simplex. 30. (Mini-Teste nº2 2006/2007 Gestão) 1. Uma empresa pretende minimizar os seus custos (em milhões de ). Este problema expressa-se da seguinte forma: Min Z = 2x 1 3x 2 +2x 3 (milhões de ) Sujeito a: x 1 +x 3 1 +x 2-1 x 1 0, x 2 0 e x 3 livre. Um trabalhador dessa empresa, não muito inteligente (entrou com cunha!), afirma que é possível atingir um custo mínimo de 3 milhões de. Sem resolver o problema apresentado, prove que isso é impossível. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 9

Investigação Operacional

Investigação Operacional Ano lectivo: 0/06 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Algoritmo Simplex Cursos: Gestão e Economia. Considere o seguinte conjunto

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº4 Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº4 Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Ano lectivo: 2008/2009 Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº4 Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Cursos: Gestão e Economia 1.

Leia mais

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade CAPÍTULO 4 1. Introdução Uma dos conceitos mais importantes em programação linear é o de dualidade. Qualquer problema de PL tem associado um outro problema de PL, chamado o Dual. Neste contexto, o problema

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Ano lectivo: /6 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Cursos: Gestão e Economia. Uma fábrica

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC INVESTIGÇÃO OPERCIONL TESTE CURSOS: EMP, EEM e EME 2005/2006 Data: 4 de Novembro de 2005 Duração: 19:0 às 21:0 Instruções:

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. IV Modelo Dual António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. IV - Modelo Dual - Exercícios IV. Modelo Problema Dual 1. Apresente o

Leia mais

Investigação Operacional 2004/05 2º Mini-teste Extra. 9 de Dezembro, 11:00h 12:30h

Investigação Operacional 2004/05 2º Mini-teste Extra. 9 de Dezembro, 11:00h 12:30h Investigação Operacional 00/0 º Mini-teste Extra 9 de Dezembro, :00h :0h Sem consulta, sem máquina de calcular Justifique todas as respostas Departamento de Engenharia Civil Secção de Planeamento do Território

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística

PESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística PESQUISA OPERACIONAL Fabiano F. T. dos Santos Instituto de Matemática e Estatística Dualidade em Programação Linear Todo problema de programação linear, que chamaremos de primal, traz consigo um segundo

Leia mais

Dualidade e Análise de Sensibilidade

Dualidade e Análise de Sensibilidade Dualidade e Análise de Sensibilidade 33. Considere o seguinte problema de programação linear: Min Z = 4x 1 + 3x 2 + 6x 3 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 4 3x 1 + x 2 + 3x 3 3 x 1, x 2, x 3 0 a) Escreva o dual associado

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL I

PESQUISA OPERACIONAL I PESQUISA OPERACIONAL I Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza edwin@engenharia-puro.com.br www.engenharia-puro.com.br/edwin/po-i.html Dualidade Introdução Uma das mais importantes descobertas no início do

Leia mais

II. Programação Linear (PL)

II. Programação Linear (PL) II. Programação Linear (PL) Dualidade revisão e interpretação econômica Seja o pl max Z x x x x 4 x, x 5x x 0 8 000-00 Prof.ª Gladys Castillo Formulação do Problema de PL em termos de Atividades. Exemplo

Leia mais

A Dualidade em Programação Linear

A Dualidade em Programação Linear Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 14 A Dualidade em Programação Linear Para melhor ilustrar este conceito vamos estudar dois problemas intimamente relacionadas: o problema da dona

Leia mais

X - D U A L I D A D E

X - D U A L I D A D E X - D U A L I D A D E 1 - Introdução. Regras de transformação "Primal - Dual" Consideremos os dois problemas P1 e P2 de Programação Linear seguintes: P1 : n Maximizar F = Σ ck. Xk k = 1 n Σ aik. Xk bi

Leia mais

Optimização em Redes e Não Linear

Optimização em Redes e Não Linear Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro Optimização em Redes e Não Linear Ano Lectivo 005/006, o semestre Folha - Optimização em Redes - Árvores de Suporte. Suponha que uma dada companhia

Leia mais

Professor: Rodrigo A. Scarpel

Professor: Rodrigo A. Scarpel Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Programa do curso: Semana : Apresentação da disciplina Introdução à Programação Linear Resolução de problemas de PL pelo Método Gráfico

Leia mais

Frequência / Exame de 1. a Época

Frequência / Exame de 1. a Época ISCTE - Instituto Universitário de Lisboa Licenciaturas: Gestão, Finanças e Contabilidade, Gestão e Engenharia Industrial, Marketing e Economia Frequência / Exame de 1. a Época OPTIMIZAÇÃO / MATEMÁTICA

Leia mais

Programação Matemática Lista 3

Programação Matemática Lista 3 Programação Matemática Lista 3. Coloque na forma padrão os seguintes problemas de programação linear: a) Maximizar X 7 X + 8 X 3 +X 4 X + X X 3 + X 4 4 X + X 3 9 X + X 3 + X 4 6 X 0, X 0, X 3 0, X 4 0

Leia mais

Programa de Unidade Curricular

Programa de Unidade Curricular Programa de Unidade Curricular Faculdade Ciências Empresariais Licenciatura Ciências Económicas e Empresariais Unidade Curricular Investigação Operacional Semestre: 5 Nº ECTS: 6,0 Regente José Manuel Brito

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Métodos de Programação Linear: Gráfica, (Mestrado) Engenharia Industrial http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Representação Gráfica Considere o

Leia mais

Sistemas de Equações lineares

Sistemas de Equações lineares LEIC FEUP /4 Sistemas- Sistemas de Equações lineares SEL- Dado o sistema coeficientes + + + +, resolva-o invertendo a matriz dos SEL- SEL- Considere o seguinte sistema de equações lineares: + + + a + a

Leia mais

O Problema de Transportes

O Problema de Transportes Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 8 O Problema de Transportes O problema geral de transportes consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem que está disponível

Leia mais

X 1 X 2 Y

X 1 X 2 Y Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática ESTATÍSTICA APLICADA À GESTÃO Ficha de exercícios 3 Regressão Múltipla 2015/2016 1. Considere os seguintes dados: X 1 X 2 Y 8 0.7 1.8 1.8 6 6.4

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC INVESTIGÇÃO OPERCIONL Eame - a Chamada CURSOS: EMP,EEM e EME / Data: de Janeiro de Duração: 8: às : Instruções:. Leia

Leia mais

Programação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

Programação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Programação Linear (2ª parte) Informática de Gestão 61020 Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Conteúdos Representação e resolução gráfica dos problemas de programação linear Problema de minimização Problema

Leia mais

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E A N Á L I S E P Ó S - O P T I M A L I D A D E Recordemos o exercício apresentado para ilustrar a aplicação do Algoritmo Simplex Revisto: Consideremos o

Leia mais

Método do Big M. Análise de Sensibilidade

Método do Big M. Análise de Sensibilidade A 5 =A 4 +C 5 B 5 =B 3 +C 5 C 5 =C 4 /2 E 5 =E 4 +C 5 Método do Big M.5.5 4 -.5.5 6 -.5.5 2 -G.5.5 2 i 2/- 4/- 4/2=2 max = 2 Nuno Moreira - 22/23 x 2 R 3 5 G=2 R 2 R 5 x 3 Análise de Sensibilidade Nuno

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX ( ) DEFINIÇÕES REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO. Prof. Edson Rovina Página 16

PESQUISA OPERACIONAL 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX ( ) DEFINIÇÕES REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO. Prof. Edson Rovina Página 16 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX Página 16 Após o problema ter sido modelado, pode-se resolvê-lo de forma algébrica. A solução algébrica é dada pelo método simplex elaborado por Dantzig. Antes da

Leia mais

FORMULÁRIO E ANEXO NO VERSO!

FORMULÁRIO E ANEXO NO VERSO! . INTRODUÇÃO À INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exame de Época Normal 6 de Janeiro de 2010 Duração: 3 h ATENÇÃO : QUALQUER FRAUDE DETECTADA NESTE EXAME IMPLICARÁ A REPROVAÇÃO NO CORRENTE ANO LECTIVO NESTA DISCIPLINA

Leia mais

Investigação Operacional 2005/06 Ficha 6 Teoria da Dualidade e Problema de Transportes

Investigação Operacional 2005/06 Ficha 6 Teoria da Dualidade e Problema de Transportes Investigação Operacional 2005/06 Ficha 6 Teoria da Dualidade e Problema de Transportes Departamento de Engenharia Civil Secção de Planeamento do Território e Ambiente 1. Problema da Pedreira III A empresa

Leia mais

Representação de poliedros

Representação de poliedros Representação de poliedros Marina Andretta ICMC-USP 8 de novembro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 -

Leia mais

Vânio Correia Domingos Massala

Vânio Correia Domingos Massala Optimização e Decisão 06/0/008 Método do Simplex Vânio Correia - 5567 Domingos Massala - 58849 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Generalidades do Método do Simplex Procedimento algébrico iterativo para resolver

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. VII Interpretação económica do modelo de PL António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. VII - Interpretação económica do modelo de

Leia mais

TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Introdução. Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil

TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Introdução. Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Introdução Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Ementa Revisão de Álgebra Linear. Modelos de Programação Linear. O Método Simplex. O Problema

Leia mais

2. Problemas de Transportes e Afectação

2. Problemas de Transportes e Afectação 2. Problemas de Transportes e Afectação 2.1 A empresa de calçado Sapatex SA tem duas fábricas (F1 e F2) em território nacional e outros tantos centros de distribuição (C1 e C2). O departamento de gestão

Leia mais

x 2 (75;25) (50;40) x 1 Sendo a resposta (50;40).

x 2 (75;25) (50;40) x 1 Sendo a resposta (50;40). Universidade de Brasília Departamento de Economia Disciplina: Economia Quantitativa II Professor: Carlos Alberto Período: 2/2013 Quarta Prova Questões 1. Um banco dispõe de R$ 100 milhões para outorgar

Leia mais

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Simplex Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Leia mais

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Aula 2 Definição de Problemas de Investigação Operacional Construção de um modelo matemático de PL. Programação Matemática(PM) e Programação Linear(PL). Exemplos clássicos de PL. 2 Problemas de Investigação

Leia mais

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Simplex Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 3 c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear abordagem algébrica max sujeito a: n

Leia mais

Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade

Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade 24-25 Junho 2014 Metodologias de apoio à decisão nas Ciências Agrárias Eemplo: Formulação Um agricultor pretende cultivar 80 ha de terra

Leia mais

Gestão. Investigação Operacional. Teste / Exame 3.º ano / 1.º Semestre 2009 / 2010

Gestão. Investigação Operacional. Teste / Exame 3.º ano / 1.º Semestre 2009 / 2010 Gestão Investigação Operacional Teste / Exame 3.º ano / 1.º Semestre 2009 / 2010 Data: Segunda-feira, 4 de Janeiro de 2010 Duração: 1h30m + 30m./ 2h30 m + 30m. Nome: Instruções: 1 Responda a todas as questões

Leia mais

Programação Linear. Rosa Canelas 2010

Programação Linear. Rosa Canelas 2010 Programação Linear Rosa Canelas 2010 Problemas de Optimização São problemas em que se procura a melhor solução (a que dá menor prejuízo, maior lucro, a que é mais eficiente, etc.) Alguns destes problemas

Leia mais

Dualidade - Definições

Dualidade - Definições Dualidade - Definições Associado a cada problema de programação linear (P) existe um problema (D), denominado problema dual. Relação importante (interpretações econômicas) Para cada dual de um dado PPL

Leia mais

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear e Método Simplex Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 1 c 1998 Programação Linear e Método Simplex 1 Slide 2 Toda a teoria deve ser feita para poder

Leia mais

4- Dualidade em Programação Linear

4- Dualidade em Programação Linear 4- Dualidade em Programação Linear 4.1- Introdução Considere o problema clássico da dieta: (problema primal): Quer-se consumir quantidades de determinados alimentos de tal forma a satisfazer as necessidades

Leia mais

Resolução de PL usando o método Simplex

Resolução de PL usando o método Simplex V., V.Lobo, EN / ISEGI, 28 Resolução de PL usando o método Simplex Método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 947 Muito utilizado Facilmente implementado como

Leia mais

Formulação de problemas de Programação Linear

Formulação de problemas de Programação Linear Formulação de problemas de Programação Linear. O director de recursos humanos de uma empresa de construção civil pretende planificar os recursos (operários) necessários para concluir uma obra que tem actualmente

Leia mais

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos RESOLUÇÂO DO PROBLEMA Nº 19 Determinado problema de Programação Linear depois de formulado permitiu obter as seguintes expressões: Max L = 4x 1-2x 2 + 2x 3 -x 4 s.a. R 1: x 1 - x 2 + 2x 3 +x 4 10 R 2:

Leia mais

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008 .,.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método Simplex Resolução de PL usando o método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 97 Muito utilizado Facilmente implementado como programa

Leia mais

Programação Matemática /2011

Programação Matemática /2011 Programação Matemática - 2010/2011 Ficha de exercícios n o 1 Exercício 1 Resolva o seguinte problema de optimização por metas: min Z = s + 1 ; s 2 ; s 3 + s+ 3 s.a x 1 + 2x 2 +s 1 s + 1 = 20 4x 1 x 2 +s

Leia mais

Problemas de Fluxos em Redes

Problemas de Fluxos em Redes Investigação Operacional Problemas de Fluxos em Redes Slide Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de fluxos em redes Rede: Conjunto de pontos (vértices) ligados por linhas ou

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Investigação Operacional Licenciatura em Gestão 3.º Ano Ano Lectivo 2013/14 Programação Linear Texto elaborado por: Maria João Cortinhal (Coordenadora) Anabela Costa Maria João Lopes Ana Catarina Nunes

Leia mais

Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula. Universidade Salgado de Oliveira UNIVERSO BH

Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula. Universidade Salgado de Oliveira UNIVERSO BH Universidade Salgado de Oliveira UNIVERSO BH Engenharia de Produção Análise de Sistemas/Sistemas de Informação Pesquisa Operacional em Sistemas I Os conceitos e desenvolvimentos apresentados neste arquivo

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Aula 3 Definição de Problemas de Optimização (Prática) Construção de um modelo matemático de PL. Programação Matemática(PM) e Programação Linear(PL). Exemplos clássicos de PL. 2 Problema 3.1 Uma empresa

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. ROTEIRO Esta aula tem por base o Capítulo 2 do livro de Taha (2008): Introdução O modelo de PL de duas variáveis Propriedades

Leia mais

Exemplo: Maximização de lucros em uma chocolateria que produz os seguintes produtos: (1) Chocolate Pyramide (2) Chocolate Pyramide Nuit

Exemplo: Maximização de lucros em uma chocolateria que produz os seguintes produtos: (1) Chocolate Pyramide (2) Chocolate Pyramide Nuit Universidade Tecnológica Federal do Paraná Professor Murilo V. G. da Silva Notas de aula Estrutura de Dados 2 (Aula 09) Conteúdos da Aula: [DPV06 7.1, 7.2, 7.3] [Observação: Estas notas de aula são apenas

Leia mais

PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A

PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A Prof.ª: Maria João Mendes Vieira ESC 11MatA 2012/2013 PROGRAMAÇÃO LINEAR A programação linear é uma "ferramenta" matemática que permite encontrar a solução ótima

Leia mais

Prova escrita de conhecimentos específicos de MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS

Prova escrita de conhecimentos específicos de MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS Provas Especialmente Adequadas Destinadas a Avaliar a Capacidade para a Frequência dos Cursos Superiores do Instituto Politécnico de Leiria dos Maiores de 3 Anos - 0 Prova escrita de conhecimentos específicos

Leia mais

Exercícios de Transportes Enunciados

Exercícios de Transportes Enunciados Capítulo 3 Exercícios de Transportes Enunciados Enunciados 49 Problema 1 Três reservatórios, com capacidades diárias de 15, 20 e 25 milhões de litros de água, abastecem 4 cidades com consumos diários de

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC MTEMÁTIC PLICD TESTE B CURSOS: EII e EIG / Data: 7 de Janeiro de Duração: : às 7: Instruções:. Leia atentamente o teste/eame

Leia mais

Otimização Aplicada à Engenharia de Processos

Otimização Aplicada à Engenharia de Processos Otimização Aplicada à Engenharia de Processos Aula 4: Programação Linear Felipe Campelo http://www.cpdee.ufmg.br/~fcampelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Belo Horizonte Março de 2013

Leia mais

Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP

Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP Método Simplex Dual Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br Introdução Algoritmo

Leia mais

PROGRAMAÇÃO LINEAR. Tipo de problemas: cálculo do plano óptimo de distribuição de mercadorias; minimiação de desperdícios no corte de materiais;

PROGRAMAÇÃO LINEAR. Tipo de problemas: cálculo do plano óptimo de distribuição de mercadorias; minimiação de desperdícios no corte de materiais; PROGRAMAÇÃO LINEAR Atribuição de recursos limitados a actividades concorrentes de modo a atingir-se um objectivo. Tipo de problemas: estrutura ideal das fabricações atendendo ao equipamento, mão de obra,

Leia mais

Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29

Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29 Análise e Síntese de Algoritmos Programação Linear CLRS, Cap. 29 Conteto Algoritmos em Grafos (CLRS, Cap. 22-26)... Fluos máimos em grafos (CLRS, Cap. 26) Programação Linear (CLRS, Cap. 29) Programação

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Casos Especiais do Método Simplex e Gráfica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG setembro - 2015 1 Casos Especiais do Método Simplex Degeneração Múltiplas soluções ótimas

Leia mais

Exercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL. 1 0 Semestre de 2009/2010 Resolução Numérica de Equações Não-Lineares

Exercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL. 1 0 Semestre de 2009/2010 Resolução Numérica de Equações Não-Lineares Exercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica 1 0 Semestre de 2009/2010 Resolução Numérica de Equações Não-Lineares 1. Considere a equação sin(x) e x = 0. a) Prove que

Leia mais

αx + 2y + (α + 1)z + 2αw = β 1. [40 pontos] Discuta o sistema em função dos parâmetros α, β e γ.

αx + 2y + (α + 1)z + 2αw = β 1. [40 pontos] Discuta o sistema em função dos parâmetros α, β e γ. Católica Lisbon School of Business and Economics UCP MATEMÁTICA I MINI-TESTE 1 - versão A Duração: 90 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos. Qualquer dúvida ou questão

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 5: O Método Simplex. 2 Algoritmo. O que é um algoritmo? Qualquer procedimento iterativo e finito de solução é um algoritmo. Um algoritmo é um processo que se repete (itera)

Leia mais

* O que originou a designação Operational Research no Reino Unido, A origem da Investigação Operacional (IO)?

* O que originou a designação Operational Research no Reino Unido, A origem da Investigação Operacional (IO)? A origem da Investigação Operacional (IO)? A IO surgiu no final da II Guerra Mundial quando os Aliados se viram confrontados com problemas (relativamente aos recursos logísticos e às operações* das forças

Leia mais

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr.

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr. Programação Linear São problemas complexos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades.

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. MÉTODO SIMPLEX A ideia geral é Em vez de enumerar todas as soluções básicas (pontos extremos) do problema de PL,

Leia mais

EXERCÍCOS DES TESTES/EXAMES DE ANOS ANTERIORES (LEGI-IST-JRF)

EXERCÍCOS DES TESTES/EXAMES DE ANOS ANTERIORES (LEGI-IST-JRF) EXERCÍCOS DES TESTES/EXAMES DE ANOS ANTERIORES (LEGI-IST-JRF) 1. Nero, o Imperador romano, num momento de inspiração resolveu promover um jantar para eliminar os seus melhores inimigos. Após consultar

Leia mais

Pesquisa Operacional aula 3 Modelagem PL. Profa. Alessandra Martins Coelho

Pesquisa Operacional aula 3 Modelagem PL. Profa. Alessandra Martins Coelho Pesquisa Operacional aula 3 Modelagem PL Profa. Alessandra Martins Coelho agosto/2013 Exercício Considerando que x j representa as variáveis de decisão, classificar os problemas a seguir em uma das categorias:

Leia mais

Problemas de Transportes e de Afectação

Problemas de Transportes e de Afectação CAPÍTULO 6 Problemas de Transportes e de Afectação 1. Problema de Transporte Este problema, que é um dos particulares de PL, consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem disponível, em

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número

Leia mais

Recursos críticos disponíveis: Madeira 300 metros Horas de trabalho 110 horas

Recursos críticos disponíveis: Madeira 300 metros Horas de trabalho 110 horas I. Programação Linear (PL) 1. Introdução A Programação Linear é, no campo mais vasto da Programação Matemática, uma das variantes de aplicação generalizada em apoio da Decisão. O termo "Programação" deve

Leia mais

Questões para Prova Integrada Institucional Curso: Administração de Empresas Semestre: 2osem/3osem Disciplina: Matemática Aplicada à Administração

Questões para Prova Integrada Institucional Curso: Administração de Empresas Semestre: 2osem/3osem Disciplina: Matemática Aplicada à Administração Questões para Prova Integrada Institucional Curso: Administração de Empresas Semestre: 2osem/3osem Disciplina: Matemática Aplicada à Administração FÓRMULAS: q = a.p + b (oferta e demanda) R T = p v.q (p

Leia mais

Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Tomar Área Interdepartamental de Matemática

Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Tomar Área Interdepartamental de Matemática Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Tomar Área Interdepartamental de Matemática Análise Numérica Licenciaturas em Engenharia Ambiente,Civil e Química I - Equações Não Lineares.

Leia mais

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT).

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT). Prof. Geraldo Nunes Silva (Revisado por Socorro Rangel) Estas notas de aula são Baseadas no livro: Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, a ed., 9 Agradeço a Professora

Leia mais

Capítulo III: Sistemas de equações. III.1 - Condicionamento de sistemas lineares

Capítulo III: Sistemas de equações. III.1 - Condicionamento de sistemas lineares EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Capítulo III: Sistemas de equações III1 - Condicionamento de sistemas lineares 1 Seja 1 0 0 10 6 e considere o sistema Ax = b, com b = 1 10 6 T, que tem por solução

Leia mais

Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Análise Matemática I 2003/04

Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Análise Matemática I 2003/04 Ficha Prática nº Parte II. Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão Análise Matemática I 003/04 Operações com funções. Composição de funções. Função Inversa. ) O gráfico

Leia mais

Métodos Numéricos. MEI - Logística e distribuição Optimização não linear com restrições de igualdade 2004/2005

Métodos Numéricos. MEI - Logística e distribuição Optimização não linear com restrições de igualdade 2004/2005 Métodos Numéricos MEI - Logística e distribuição Optimização não linear com restrições de igualdade 2004/2005 Métodos Numéricos - MEI 1 Apresentação - Docentes Aulas teóricas: A. Ismael F. Vaz - aivaz@dps.uminho.pt

Leia mais

Resolução de problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana

Resolução de problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana Ana Maria A.C. Rocha Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho arocha@dps.uminho.pt http://www.norg.uminho.pt/arocha

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Licenciatura em Estatística e Gestão de Informação Cotação: II.3,III.2,IV 2 valores, as restantes 1 valor cada. ATENÇÃO: Cada pergunta de escolha múltipla errada desconta 0.4 valores

Leia mais

1. Registou-se o número de assoalhadas de 100 apartamentos vendidos num bairro residencial

1. Registou-se o número de assoalhadas de 100 apartamentos vendidos num bairro residencial Escola Superior de Tecnologia de Viseu Fundamentos de Estatística 2006/2007 Ficha nº 1 1. Registou-se o número de assoalhadas de 100 apartamentos vendidos num bairro residencial 0; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 1;

Leia mais

Programação Linear. (3ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

Programação Linear. (3ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Programação Linear (3ª parte) Informática de Gestão 61020 Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Conteúdos Excel Solver Instalação do Solver Resolução de problemas de programação linear Problema de minimização

Leia mais

MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL

MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL Problemas de PL nos quais todas as restrições são ( ) com lados direitos não negativos oferecem uma solução básica inicial viável conveniente, na qual todas as

Leia mais

Universidade Federal de Itajubá

Universidade Federal de Itajubá Universidade Federal de Itajubá Pesquisa Operacional Aula 01 Informações iniciais 05/06/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1 Contato José Arnaldo Barra Montevechi e-mail: montevechi@unifei.edu.br www.iepg.unifei.edu.br/arnaldo

Leia mais

FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS E EMPRESARIAIS. Matemática I 1 a Frequência: 27 de Outubro de 2009

FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS E EMPRESARIAIS. Matemática I 1 a Frequência: 27 de Outubro de 2009 FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS E EMPRESARIAIS Matemática I 1 a Frequência: 27 de Outubro de 2009 A frequência consiste em duas partes, tem uma duração de 2h30m e está cotado para 20 valores, é efectuado

Leia mais

FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS

FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Na figura está representado um paralelepípedo ABCDEFGH.

Leia mais

ic Mestrado Integrado em Bioengenharia

ic Mestrado Integrado em Bioengenharia ic Mestrado Integrado em Bioengenharia MATEMÁTICA I 01-11- 1º Teste de Avaliação Álgebra Linear e Geometria Analítica Justifique convenientemente todos os cálculos que efetuar. O teste tem a duração de

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. TPC nº 10 (entregar em )

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. TPC nº 10 (entregar em ) Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº 0 (entregar em 6-0-0). Seja g a função domínio [ 3,3] definida por: g( ).. Verifique se g

Leia mais

Pesquisa Operacional aplicada ao Planejamento e Controle da Produção e de Materiais Programação Linear

Pesquisa Operacional aplicada ao Planejamento e Controle da Produção e de Materiais Programação Linear Pesquisa Operacional aplicada ao Planejamento e Controle da Produção e de Materiais Programação Linear Introdução à Pesquisa Operacional Origens militares Segunda guerra mundial Aplicada na alocação de

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática ESTATÍSTICA Ano lectivo: 2007/2008 Curso: Ciências do Desporto Folha de exercícios nº4: Distribuições de probabilidade. Introdução à Inferência

Leia mais

Escola Secundária com 3º CEB de Lousada

Escola Secundária com 3º CEB de Lousada Escola Secundária com º CE de Lousada Ficha de Trabalho de Matemática do 8º no N.º7 ssunto: Ficha de Preparação para o Teste Intermédio (Parte ) bril 011 1. Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira:

Leia mais

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra. Licenciatura em Matemática. e B =

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra. Licenciatura em Matemática. e B = Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Optimização Numérica Licenciatura em Matemática Ano lectivo 2006/2007 Folha 1 1. Considere as matrizes A = [ 1 1 1 2 ] e B = [ 1 3 1 2 (a) Verifique

Leia mais

1. Construir o gráfico da função Resposta: 2. Construir o gráfico da função y = 2x Resposta: 3. Construir o gráfico da função Y = -2x Resposta:

1. Construir o gráfico da função Resposta: 2. Construir o gráfico da função y = 2x Resposta: 3. Construir o gráfico da função Y = -2x Resposta: ENGENHARIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA / VALE VT TDE Lista - VT 05 09/04/2015 (Turma NOITE) - QUESTÕES OBJETIVAS CONJUNTOS TRABALHO DE PESQUISA - VALE VT ENTREGAR AO PROFESSOR em 22/04/2015 (4ª feira) Aluno:

Leia mais

IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R :

IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R : IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R : C O N C E I T O S F U N D A M E N T A I S Consideremos um problema de Programação Linear apresentado na sua forma standard: Maximizar F = c1. X1 + c2. X2 + c3.

Leia mais

FICHA DE TRABALHO N.º 1 MATEMÁTICA A - 10.º ANO INTRODUÇÃO À LÓGICA BIVALENTE

FICHA DE TRABALHO N.º 1 MATEMÁTICA A - 10.º ANO INTRODUÇÃO À LÓGICA BIVALENTE FICHA DE TRABALHO N.º 1 MATEMÁTICA A - 10.º ANO INTRODUÇÃO À LÓGICA BIVALENTE Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Sejam p e q duas proposições

Leia mais

Benemar Alencar de Souza

Benemar Alencar de Souza Benemar Alencar de Souza Métodos de Otimização Aplicados Questões introdutórias O que é otimização? i Por que otimização é importante? Como tratar a otimização i como um problema? Quais objetivos são usuais?

Leia mais

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística II - Licenciatura em Gestão Época de Recurso - Parte prática (14 valores) 24/01/2011.

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística II - Licenciatura em Gestão Época de Recurso - Parte prática (14 valores) 24/01/2011. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística II - Licenciatura em Gestão Época de Recurso - Parte prática (14 valores) 24/01/2011 Nome: Nº Espaço reservado para a classificação (não escrever aqui)

Leia mais