Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica.

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1 Ano lectivo: 2008/2009; Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Cursos: Economia 1. Formule o problema Dual do seguinte problema (Primal): Minimizar Z = 40 x x 2 Sujeito a x 1 8 x x x Considere o seguinte problema: Maximizar Z = 5 x 1 6 x 2 + x 3 + x 4 Sujeito a x x 2 x 3 x 4 = 7 6 x 1 3 x 2 + x x x 1 17 x x x 4 3, x 3 e x 4 sem sinal a) Formule o problema Dual que se encontra associado a este problema. b) Verifique que o Dual do Dual é o problema dado em cima (Primal). 3. Uma empresa de software comercializa 3 programas: 1 compilador de Pascal, 1 folha de cálculo e 1 sistema de gestão da base de dados, que vende ao público por 200, 250 e 300 euros, respectivamente. Para efectuar as demonstrações aos clientes, a empresa tem disponíveis 2 computadores (modelos A e B). Devido a outros compromissos da empresa, os computadores só podem ser usados em demonstrações durante períodos semanais que não excedam as 30 horas, no caso do modelo A e 40 horas no que se refere ao modelo B. Os tempos de demonstração de cada programa em cada um dos computadores são apresentados na tabela que se segue. Modelo A Modelo B Compilador de Pascal 3 h 2 h Folha de Cálculo 1 h 2 h Sistema de Gestão de Base de Dados 3 h 3 h A procura de qualquer um dos programas é muito elevada, assim como a qualidade geral dos mesmos. Por esta razão, podemos assumir que há sempre um cliente que compra um programa acabado de demonstrar. a) Formule matematicamente o problema de maximização da receita semanal da empresa. b) Construa o seu Dual e resolva-o graficamente. c) Seria vantajoso aumentar as disponibilidades dos computadores A e/ou B? Justifique. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº3 1

2 4. Relativamente aos exercícios 22 e 23 da folha 2: a) Formule o problema Dual correspondente a cada um desses problemas. b) Determine, em cada caso, a solução óptima do Dual sem utilizar o Método Simplex e o respectivo valor da função objectivo. Interprete economicamente as soluções indicadas. 5. Suponha que uma empresa lhe apresenta o seguinte problema, em que a função objectivo está expressa em milhares de euros: Maximizar Z=x 1 +2x 2 s.a: 2x 1 +x 2 2 x 1,x 2 0. a) Um dos administradores da empresa afirma que é possível obter um lucro de Sem resolver o problema dado, diga por que razão isso é impossível. b) Devido a alterações de mercado e de reestruturação da empresa, houve alterações na formulação do problema. O mesmo administrador teima agora em afirmar que a empresa pode atingir um lucro de euros. Volte a contrariá-lo, sabendo que o problema é agora o seguinte: Maximizar Z=5x 1 +4x 2 +3x 3 s.a: 2x 1 +3x 2 +x 3 5 4x 1 +x 2 +2x 3 11 x 1,x 2, x 3 0. Nota: justifique a sua resposta sem resolver este problema. 6. O quadro seguinte refere-se a um problema de maximização: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x z j c j A que condições devem obedecer,,, e para que sejam verdadeiras as seguintes afirmações: a) A solução é óptima. b) A solução não é admissível para o Primal e também não é admissível para o Dual. c) A solução Primal é não limitada. d) A solução é admissível para o Dual e não admissível para o Primal, tal que ao se aplicar o Dual Simplex a variável que sai da base é x 2 e a que entra é x Dado o problema de Programação Linear, Maximizar Z = 5x x x 3 Sujeito a: 3x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + 5x 2 + 4x 3 60 x 1, x 2, x 3 0 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº3 2

3 sabe-se que a sua solução óptima é x*=(0,0,15,10) e que as variáveis básicas do quadro óptimo são x 4 e x 3, por esta ordem. Sem utilizar o Método Simplex, determine a solução óptima do problema Dual correspondente. 8. Minimizar Z = 4x 1 + 6x 2 Sujeito a: 2x 1 + x 2 1 2x 1 + 2x 2 4 x 1 + 2x 2 3 A sua solução óptima é dada por x 1 *=x 2 *=1. Obtenha o quadro óptimo do problema Dual, sem aplicar a este problema o Método Simplex e sabendo que, no quadro óptimo, as variáveis básicas são y 2 e y 3, por esta ordem. 9. Use o Método Simplex para resolver o seguinte problema: Minimizar Z = x 1 + x 2 + x 3 Sujeito a 2 x x x 3 8 x 1 + x x x 3 12 x 1, x 2, x Obtenha a solução do seguinte problema com o Método Simplex. Minimizar Z = 2 x x x 3 Sujeito a x 1 + x 2 + x 3 3 x x 2 3 x x x 2 + x 3 5 x 1, x 2, x Obtenha a solução do seguinte problema com o Método Dual Simplex. Maximizar Z = 21 x 1 4 x 2 9 x 3 Sujeito a 7 x 1 + x 2 + x x 1 + x 2 3 x 3 10 x 1, x 2, x Obtenha a solução do seguinte problema com o Método Dual Simplex. Minimizar Z = 4 x x 2 Sujeito a x 1 + x x x 2 40 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº3 3

4 13. Determine a solução do seguinte problema com o Método Simplex. Minimizar Z = 10 x x 2 Sujeito a 50 x x x x Use o Método Simplex para resolver o seguinte problema. Maximizar Z = 4 x 1 2 x 2 Sujeito a 2 x 1 + x x 1 x (Trabalho de avaliação nº2 de 2003/04) Min Z = x 1-2x 2 s.a: x 1 +4x 2-5x 3 4 -x 2 +x 3-2 x 1 +x 2 = 5 -x 3 10 x 1 0, x 2 0, x 3 livre O problema Dual correspondente é: (A) Max W = 4y 1-2y 2 +5y 3-10y 4 s.a: y 1 +y 3 1 4y 1 -y 2 +y 3-2 5y 1 -y 2 -y 4 = 0 y 1 0, y 2 0, y 3 livre, y 4 0 (B) Max W = 4y 1-2y 2 +5y 3 +10y 4 s.a: y 1 +y 3 1 4y 1 -y 2 +y y 1 +y 2 -y 4 = 0 y 1 0, y 2 0, y 3 livre, y 4 0 (C) Max W = 4y 1-2y 2 +5y 3 +10y 4 s.a: y 1 +y 3 1 4y 1 -y 2 +y y 1 +y 2 -y 4 = 0 y 1 0, y 2 0, y 3 livre, y 4 0 (D) Max W = 4y 1-2y 2 +5y 3 +10y 4 s.a: y 1 +y 3 1 4y 1 -y 2 +y y 1 +y 2 -y 4 = 1 y 1 0, y 2 0, y 3 livre, y 4 0 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº3 4

5 16. (Trabalho de avaliação nº2 de 2003/04) O Departamento de Apoio à Decisão de uma determinada empresa formulou um problema na seguinte forma: (P) Min Z=x 1 +2x 2 +3x 3 (em milhares de ) s.a: Ax b x 0 Após uns dias, é conhecida uma solução admissível do problema Dual correspondente, cujo valor (da respectiva f.o.) é igual a 24. Entretanto, na reunião semanal com a Administração da empresa, o director do referido departamento pode afirmar que: (A) O valor da solução óptima Primal será igual a (B) O valor da solução óptima Primal será inferior ou igual a (C) O valor da solução óptima Primal será superior ou igual a (D) O valor da solução óptima Primal será inferior ou igual a (Trabalho de avaliação nº2 de 2003/04) (P) Max Z=x 1 +x 2 (em ) s.a: x 1 +2x 2 2 (recurso 1) 2x 1 +x 2 2 (recurso 2) x 1,x 2 0 Qual das seguintes afirmações está correcta? (A) Por cada unidade que a disponibilidade do recurso 1 aumentar, a f.o. Primal aumenta 1/3. (B) Se a disponibilidade do recurso 1 aumentar uma unidade, a f.o. Primal aumenta 1/3 e, se o coeficiente de x 1 na f.o. aumentar uma unidade, a f.o. Dual aumenta 2/3. (C) Por cada unidade que o coeficiente de x 1 na f.o. aumentar, a f.o. Dual aumenta 2/3. (D) Por cada unidade que a disponibilidade do recurso 1 aumentar, a f.o. Primal aumenta 1/3 e, por cada unidade que o coeficiente de x 1 na f.o. aumentar, a f.o. Dual aumenta 2/ (Trabalho de avaliação nº2 de 2003/04) Considere o problema em Programação Linear: (P) Max Z = -3x 1 -x 2-2x 3 s.a: x 1 +x 2 +x 3 2 2x 1 +2x 2 +2x 3 3-2x 1 -x 2 -x 3 4 x 2 +x 3 5 x 1 +x 2 6 x i 0, i=1, 2, 3 Resolvendo este problema, pode concluir que: INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 5

6 (A) A solução óptima do Primal é ilimitada e o problema Dual é impossível. (B) A solução óptima do Dual é ilimitada e o problema Primal é impossível. (C) Ambos os problemas (Primal e Dual) têm solução óptima ilimitada. (D) Ambos os problemas (Primal e Dual) são impossíveis. 19. (Exame de Época Normal 2003/04) O seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma dada empresa, em que se quer maximizar o lucro (expresso em ) (P) Max Z = 10x 1-3x 2 ( ) s.a: 3x 1 +x 2 = 3 4x 1 +3x 2 6. a) Formule o problema Dual de (P). b) É conhecida uma solução admissível do problema dual associado a (P): (y 1,y 2 )=(9,- 4). Indique, justificando, o valor lógico da afirmação de um administrador da empresa: É possível atingir um lucro de (Exame de Época de Recurso 2003/04) O seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma dada empresa, em que se pretende minimizar um custo de produção (expresso em ): (P) Min Z = 5x 1 +4x 2 ( ) s.a: x 1 +x 2 4 x 1 2. a) Formule o problema Dual de (P). b) É conhecida uma solução admissível do problema dual associado a (P): (y 1,y 2 )=(4,0). Indique, justificando, o valor lógico da afirmação de um administrador da empresa: É possível obter um custo de produção de (2º mini-teste 2004/05) A seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma empresa em que se pretende minimizar os custos de produção, expressos em milhões de euros, sujeito a duas restrições: (P) Minimizar Z = x 1 + x 2 (milhões de ) Sujeito a: 2x 1 + x 2 4 3x 1 + 6x 2 8 É conhecida uma solução admissível do problema Dual associado a (P): (y 1, y 2 )=(0, 1/6). Indique, justificando e sem resolver (P) ou (D), o valor lógico da seguinte afirmação: É possível obter um custo de produção mínimo de 1 milhão de euros. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 6

7 22. (2º mini-teste 2004/05) Uma empresa pretende maximizar a sua receita (em ), obtida com a venda de três artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x 1, x 2 e x 3 ). Para produzir estes artigos são necessários dois recursos (1 e 2) cujas disponibilidades são, respectivamente, 25 e 20 unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: (P) Max Z = 3x 1 +x 2 +4x 3 ( ) s.a: 6x 1 +3x 2 +5x 3 25 (recurso 1) 3x 1 +4x 2 +5x 3 20 (recurso 2) x 1, x 2, x 3 0. Sendo o quadro óptimo: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x /5 2/5 3 x 1 1-1/3 0 1/3-1/3 5/3 z j c j /5 3/5 17 Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: a) Suponha que a empresa pode adquirir apenas uma unidade adicional de um e um só recurso (1 ou 2). O transporte dessa unidade adicional custará à empresa 0,5, independentemente do tipo de recurso. Indique qual o recurso cuja disponibilidade a empresa tem vantagem em aumentar uma unidade. Justifique a sua resposta. b) Por que razão no plano óptimo não é produzido o artigo 2? Justifique a sua resposta. 23. (Frequência 2004/05) A seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma empresa em que se pretende minimizar os custos de produção, expressos em milhões de euros: (P) Min Z = 3x 1+9x 2 (milhões de ) s.a: 3x 1+x 2 4 x 1, x 2 0. Um dos administradores da empresa afirma que é possível obter um custo de produção de apenas 3 milhões de euros. Sem resolver (P), justifique por que razão isso é impossível. 24. (Exame Normal 2004/05) A seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma empresa em que se pretende minimizar os custos de produção, expressos em milhões de euros: (P) Min Z = 2x 1+3x 2 (milhões de ) s.a: x 1 1 2x 2 = 8 x 1 0, x 2 livre. Um dos administradores da empresa afirma que é possível obter um custo de produção de apenas 13 milhões de euros. Sem resolver (P), justifique por que razão isso é impossível. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 7

8 25. (Mini-Teste nº3 2005/2006 EC) Max Z = 2x 1 4x 2 4x 3 Sujeito a: x 1 x 2 x 3 6 x1 +x 2 + x 3 8 x 1, x 2, x 3 0. E o quadro Simplex inicial: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x z j c j Aplicando o Algoritmo Simplex Dual, indique a opção correcta: [ ] x*=(6,0,0,0,2) e y*=(2,0,0,2,2) [ ] x*=(0,6,0,0,2) e y*=(4,0,-2,0,0) [ ] x*=(6,0,0,0,2) e y*=(0,2,2,2,0) [ ] x*=(0,6,0,0,2) e y*=(-2,0,0,4,0) [ ] Nenhuma das anteriores 26. (Mini-Teste nº3 2005/2006 EC) Formule o dual do seguinte problema em Programação Linear: Min Z 1x +2x 2 + 3x 3 = 1 Sujeito a: x 1 +4x 2 8x 3 12x 4 7 3x 2 + 6x 3 9x 4 = 14 x 1 +x 2 + x 3 + x 4 21 x 1 livre, x 2 0, x 3 0 e x 4 livre. 27. (Mini-Teste nº3 EC) Max z=1.x (milhões de ) s.a: Ax 1 (recursos) x 0, em que A = Sem aplicar o Algoritmo Simplex ao problema dado nem ao seu dual, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações: [ ] Pelo Lema 1 (T.D. fraca), o valor óptimo do problema dado é, quanto muito, 3 milhões de ; [ ] A existência de solução óptima finita para o problema dado implica que o seu dual tem solução óptima ilimitada; [ ] É vantajoso aumentar em uma unidade a disponibilidade de qualquer recurso. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 8

9 28. (Mini-Teste nº3 2005/2006 ME+MI+MA+EPGI+EI) Max Z = 2x 1 + x 2 Sujeito a: x 2 10 x 1 + x 2 15 x 1 2 x Sabendo que a solução óptima do problema tem x 1 *= 3 40 e x2 *= 3 5, determine usando o Teorema dos Desvios Complementares a solução óptima do problema dual. 29. (Exame Época Especial 2005/2006) A seguinte formulação em Programação Linear modela um problema de uma empresa em que se pretende maximizar o lucro de produção, expresso em milhares de : Max Z = 2x 1 2x 2 (milhares de ) Sujeito a: x 1 +x 2 1 x 1 +x 2 4 x 1 x 2 1. Um dos administradores da empresa afirma que é possível obter um lucro de 10 mil. Sem resolver (P), justifique por que razão é impossível obter tal lucro: recorra ao Teorema da Dualidade Fraca e, na obtenção de uma solução admissível de (D), use o Algoritmo Simplex. 30. (Mini-Teste nº2 2006/2007 Gestão) 1. Uma empresa pretende minimizar os seus custos (em milhões de ). Este problema expressa-se da seguinte forma: Min Z = 2x 1 3x 2 +2x 3 (milhões de ) Sujeito a: x 1 +x 3 1 +x 2-1 x 1 0, x 2 0 e x 3 livre. Um trabalhador dessa empresa, não muito inteligente (entrou com cunha!), afirma que é possível atingir um custo mínimo de 3 milhões de. Sem resolver o problema apresentado, prove que isso é impossível. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2006/2007 Ficha de exercícios nº3 9

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