Aula 08: Modelagem Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo

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1 Aula 08: Modelagem Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo BCC464/PCC /2 Departamento de Computação UFOP

2 Previously... Aulas anteriores: Modelagem (básico) Método gráfico Algoritmo Simplex (Parte 2) Dualidade Análise de sensibilidade... e um pouco de prática (implementação) 2 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

3 Aula de Hoje 1 Dicas de Modelagem 2 Exemplo 1: Fábrica de brinquedos 3 Exemplo 2: Transporte 4 Aula Prática 3 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

5 Passo-a-passo para modelar um problema: 1 Elabore um esquema do problema. 2 Encontre e escreva uma solução qualquer para o problema. 3 Olhando para a solução, defina as variáveis de decisão. 4 Observando as variáveis de decisão, defina a função objetivo, ou seja, o que deve ser maximizado ou minimizado. 5 Finalmente, defina as restrições do problema. 4 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

7 Exemplo 1: Fábrica de brinquedos Fonte: [1] Luís Herique Rodrigues et al. (2014), Pesquisa Operacional - Programação Linear Passo a Passo, Editora Unisinos. Uma pequena oficina de brinquedos produz dois tipos de brinquedos: caminhão de madeira e boneca de pano. O lucro do caminhão é de R$ 10,00 por unidade e da boneca de pano é de R$ 8,00 por unidade. São necessárias seis pessoas para fazer um lote de dez caminhões por dia e quatro pessoas para fazer um lote de 14 bonecas por dia. Há 18 pessoas disponíveis para produzir os itens, podendo ser alocadas em qualquer um dos dois, em qualquer etapa. Devido à demanda existente é necessário fazer ao menos um lote de caminhões e um lote de bonecas por dia. Formule um modelo de Programação Linear que maximize a lucratividade diária. 6 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

8 Passo 1: Esquema Lucro: R$ 100,00 por lote (10 caminhões) Lucro: R$ 112,00 por lote (14 bonecas) igura 3 Esquema simplificado do problema 1 Oficina de brinquedos. Figura: Esquema (imagem extraída de Rodrigues et. al [1]) Nessa Figura é possível observar que, conforme tomamos a decisão de fazer mais u menos lotes de caminhões ou bonecas, precisaremos alocar mais ou menos pessoas 7 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

9 Passo 2: Solução Qual seria uma solução para o problema? Produzir 1 lote de caminhões e 1 lote de bonecas? Utilizaríamos neste caso 10 pessoas (6 + 4) Lucraríamos R$ 212,00 (R$ 100,00 + R$ 112,00) Solução parece ok... não utilizamos mais de 18 pessoas e atendemos à demanda mínima de fazer ao menos um lote de caminhões e um lote de bonecas. Solução viável! 8 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

10 Passo 3: Variáveis Solução: 1 lote de caminhões e 1 lote de bonecas! Qual decisão foi tomada? Número de lotes de caminhões: x 1 Número de lotes de bonecas: x 2 9 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

11 Passo 4: Função objetivo O que estamos minimizando/maximizando? Maximizando o lucro! Ou seja: max 100x x 2 10 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

12 Passo 5: Restrições Quais são as restrições? 1 Há 18 pessoas disponíveis: 6x 1 + 4x Devemos produzir no mínimo 1 lote de caminhões: x Devemos produzir no mínimo 1 lote de bonecas: x / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

13 Modelo Logo, devemos resolver o modelo de programação linear a seguir: max 100x x 2 s.a. 6x 1 + 4x 2 18 x 1 1 x / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

15 Exemplo 2: Transporte Onde o custo é: custo de transporte da fábrica i para o mercado j multiplicado pela quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado para o mercado j. Fonte: [1] Luís Herique Rodrigues et al. (2014), Pesquisa Operacional - Programação Linear Passo a Passo, Editora Unisinos. Passo 5 Identificando classes de restrições Você possui três fábricas localizadas em regiões geográficas distintas, e precisa saberao quanto observar deveo produzir quadro que e transportar apresenta para os dados quatro do diferentes problema, mercados identificam-se a um duas classes de restrições, destacadas a seguir: custo mínimo. As informações do custo de transporte unitário entre as fábricas e os mercados estão no quadro a seguir. Quadro 9 Classes de restrições do problema 3 transporte Custo de transporte Fábricas Demanda mínima Mercados Capacidade Produtiva A $ 0,90/un $ 1,00/un $ 1,80/un $ 1,05/un un B $ 2,10/un $ 0,80/un $ 0,70/un $ 1,15/un un C $ 1,10/un $ 1,00/un $ 1,20/un $ 1,50/un un un un un un Demanda mínima: Para cada um dos mercados deve ser expedido uma quantidade 14 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

16 Passo 1: Esquema Deve-se definir quantas produtos de cada fábrica devem ser enviados a cada mercado, considerando capacidade e demanda mínima... Figura 6 Esquema do Problema 3 Transporte. Figura: Esquema (imagem extraída de Rodrigues et. al [1]) Passo 2 Definindo uma solução para o problema 15 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

17 Ao definirmos quantas unidades devem ser enviadas de cada fábrica para cada 16 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem mercado, deparamo-nos com a própria variável de decisão, que pode ser expressa da Passo 2: Solução Figura 6 Esquema do Problema 3 Transporte. Passo 2 Definindo uma solução para o problema Uma solução para o problema deve indicar quantas unidades de produto devemuma serproposta enviadas de de solução cada para fábrica o problema para cada deve mercado, indicar quantas atendendo unidades tantode produto às capacidades devem ser produtivas enviadas de quanto cada fábrica às demandas para cada mínimas mercado, atendendo de cada tanto às capacidades produtivas máximas quanto às demandas mínimas de cada mercado. Uma solução mercado. possível para o problema é evidenciada no Quadro 8. Eis uma solução possível (extraída de [1]): Quadro 8 Solução para o problema 3 transporte Unidades enviadas Para o mercado A Da Fábrica... B C Passo 3 Definindo variáveis de decisão

18 Passo 3: Variáveis Estamos decidindo quanto enviar de cada fábrica para cada mercado... Seja F o conjunto de fábricas Seja M o conjunto de mercados Variáveis: x i,j : quantidade a enviar da fábrica i F para o mercado j M. 17 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

19 Passo 4: Função objetivo Devemos minimizar o custo de transporte... Seja c i,j o custo de enviar uma unidade do produto produzido na fábrica i F para o mercado j M Função objetivo: min c i,j x i,j i F j M 18 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

20 Ao observar o quadro que apresenta os dados do problema, identificam-se duas classes de restrições, destacadas a seguir: Passo 5: Restrições Quadro 9 Classes de restrições do problema 3 transporte Custo de transporte Mercados Capacidade Produtiva A $ 0,90/un $ 1,00/un $ 1,80/un $ 1,05/un un Fábricas B $ 2,10/un $ 0,80/un $ 0,70/un $ 1,15/un un C $ 1,10/un $ 1,00/un $ 1,20/un $ 1,50/un un Demanda mínima un un un un Seja p i a capacidade produtiva da fábrica i F i F : x i,j p i Demanda mínima: Para cada um dos mercados deve ser expedido uma quantidade j M Seja d j a demanda mínima do mercado j M j M : x i,j d j i F 19 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

21 Exemplo 2: Transporte Eis o modelo de programação linear: min s.a. c i,j x i,j i F j M x i,j p i j M x i,j d j i F x i,j 0 i F j M i F, j M 20 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

23 Exercício Questão 01 (6,0 pontos) Exercício 1 Uma Uma empresa empresa mineradora mineradora deve deve exportar exportar toneladas toneladas de minério de de minério d especificações a seguir: ferro atendendo as especificações a seguir: Fe Al2O3 P PPC He Teor mínimo 44,5 0,27 0,035 2,05 38 Teor máximo 49,5 0,37 0,043 2,65 50 A mineradora dispõe de de um um conjunto de pilhas de pilhas de minérios, de minérios, cuja cuja compos custo composição, são dados disponibilidade a seguir: e custo são dados no próximo slide. Fe Al2O3... P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 0,52 0,084 4, t 10,5 Pilha 2 39,92 0,18 0,029 0, t 12,5 Pilha 3 47,19 0,5 0,05 2, t 12 Pilha 4 49,36 0,22 0,039 1, t 10 Pilha 5 43,94 0,46 0,032 2, t 11,5 Pilha 6 48,97 0,54 0,057 4, t / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

24 custo são dados a seguir: Fe Al2O3 P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 0,52 0,084 4, t 10,5 Pilha 2 39,92 0,18 0,029 0, t 12,5 Pilha 3 47,19 0,5 0,05 2, t 12 Pilha 4 49,36 0,22 0,039 1, t 10 Pilha 5 43,94 0,46 0,032 2, t 11,5 Pilha 6 48,97 0,54 0,057 4, t 11 Pilha 7 47,46 0,2 0,047 5, t 10,8 Pilha 8 46,52 0,32 0,039 3, t 11,2 Pilha 9 56,09 0,95 0,059 4, t 10,4 Pilha ,26 0,031 2, t 12 Pilha ,09 0,22 0,04 4, t 10,3 Pilha 12 49,77 0,2 0,047 4, t 11,9 Pilha 13 53,03 0,24 0,047 4, t 12,3 Pilha 14 52,96 0,29 0,052 4, t 11,1 Pilha 15 42,09 0,17 0,031 1, t 12,1 1 Apresente um programa linear para encontrar uma mistura dos minérios disponíveis que atenda à demanda minimizando o custo total. 2 BCC464 Implemente / PCC174 esta formulação (utilizando Data: o17/04/2018 solver gurobi). 23 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 08: Modelagem

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