O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT).

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1 Prof. Geraldo Nunes Silva (Revisado por Socorro Rangel) Estas notas de aula são Baseadas no livro: Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, a ed., 9 Agradeço a Professora Gladys Castillo do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro por ter permitido a utilização de alguns slides preparados pelo um grupo de pessoas de seu departamento O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT). Obtenção de uma SBF inicial. Método do canto N-W; Método do mínimo da matriz de custos; Método de Vogel. Obtenção da solução ótima. Simplex especializado.

2 Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Uns dos principais produtos da firma Lactosal é o leite. Os pacotes de leites são empacotados em fábricas e depois são distribuídos de caminhão para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se: OTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE. Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas (produção) e procuras, em cargas de caminhão/dia, são os seguintes: cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas Custo por carga de caminhão Armazéns Fábricas Oferta 0 0 Procura

3 Fábricas Quadro do Problema de Transporte Custo por carga de camião Armazéns Oferta 0 0 Procura Destino Origem Oferta x x x x x x x x 0 x x x x 0 Procura = Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total Algoritmo para a resolução do PT. Obtenção de uma SBF inicial A SBF verifica o critério de otimalidade? Não Sim FIM!!! a solução é ótima Obter uma SBF "melhor"

4 Algoritmo para a resolução do PT. Como o problema de transporte é apenas um tipo especial de problema de programação linear, ele poderia ser resolvido aplicando o método simplex exatamente como vimos anteriormente Para tanto, teríamos que acrescentar variáveis artificiais e usando o método big M, por exemplo, proceder as iterações do método simplex. Entretanto, é possível explorar esta estrutura especial para obtermos um método muito mais eficiente o qual é chamado Método Simplex para o Problema do Transporte Cabe observar que outros tipos de estruturas especiais podem ser exploradas de forma a obter algoritmos eficientes (Por exemplo o Problema da Designação) Passo : Obtenção de uma SBF Inicial Qualquer SBF do problema de transporte tem no máximo m+n- variáveis básicas Qualquer restrição de oferta é igual à soma das restrições de demanda menos a soma das outras restrições de oferta e, cada restrição de demanda também é igual a soma das restrições de oferta menos a soma das outras restições de demanda. Assim vamos contruir uma SBF inicial selecionando m+n variáveis, uma de cada vez e vamos atribuir valores a essas variáveis. Diversos métodos foram propostos para obteção de uma SBF inicial, vejamos a seguir alguns deles.

5 Passo : Obtenção de uma SBF Inicial Método do Canto Noroeste A variável básica escolhida é, em cada quadro, a variável situada no canto superior esquerdo (daqui o nome do canto do NW (NorthWest). A primeira variável básica escolhida será sempre x, depois que tenha sido traçada a coluna ou a linha, será escolhida como variável básica x ou x respectivamente, e assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas. Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o fato de não considerar os custos na identificação da SBF inicial. Exemplo Protótipo. Método do Canto Noroeste º. x =min (, )= º. x =min (, )= º. x =min (5, )= 5 º. x =min (, )= 5º. x =min (,0 )= º. x =min (, )= SBF inicial: X 0 = (,, 0, 0, 0, 5,, 0, 0, 0,, ) ; z 0 = 5

6 Passo : Obtenção de uma SBF Inicial Cuidado: Para formar uma base, as (m+n-) células do quadro do transporte (variáveis) escolhidas não podem formar um ciclo, pois as colunas da matriz de restrições associadas a essas variáveis devem ser linearmente independentes. Ver por exemplo BAZARAA, M.J. e JARVIS, J.J. - Linear Programming and Network Flows, J. Wiley & Sons, N.Y., 9 (pg. -). Exemplos de Soluções básicas. Passo : Obtenção de uma SBF Inicial Método do Mínimo da Matriz dos Custos. A variável básica escolhida é a variável que corresponde ao menor custo (em caso de empate a escolha é arbitrária). A primeira variável básica escolhida será sempre a de menor custo, depois será escolhida como variável básica a de menor custo no quadro resultante relativo ao que foi traçado, e assim sucessivamente, até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas. Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução ótima que o método anterior, já que são considerados os custos na identificação da SBF inicial.

7 Exemplo Protótipo.Método do Mínimo dos Custos º: min (c ij )= c = 0 x =min (,0)= º: min (c ij ) =c = x = min (, )= º: min (c i ) = c =c = x = min (, ) = º: min (c ij ) =c = x = min (, ) = 5º: min (c ij )= c = x = min (, ) = º: min (c ij ) =c = x =min (, ) = 0 0 SBF inicial: X 0 = ( 0,, 0, 0, 0,,,,,0, 0,) ; z = Passo : Obtenção de uma SBA Inicial. Método de Vogel A variável básica escolhida é, em cada quadro, a variável que corresponde ao menor custo da linha ou coluna associada à maior das diferenças entre os dois menores custos de cada linha e cada coluna(em caso de empate a escolha é arbitrária). Este método identifica uma SBF inicial, em geral, melhor do que as obtidas pelos métodos anteriores.

8 Exemplo Protótipo.Método de Vogel. Quadro º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente. º: Selecionar a maior das diferenças: max (diferenças) =, coluna. º: Selecionar o menor dos custos para esta coluna: min (c ij : j=)= c = x = min (, 0 ) = mínimo máximo Iteração : x = Exemplo Protótipo. Método de Vogel. Quadro º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados º: Selecionar a maior das diferenças: max (diferenças) = e corresponde à linha. º: Selecionar o menor dos custos para esta linha: min (c ij : i=)= c = 0 x = min (, ) = mínimo máximo Iteração : x =

9 Exemplo Protótipo. Método de Vogel. Quadro º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados º: Selecionar a maior das diferenças : max (diferenças) = e corresponde à coluna. mínimo 0 5 º: Selecionar o menor dos custos para esta coluna: min (c ij : j=) = c = x = min (, ) = máximo Iteração : x = Exemplo Protótipo. Método de Vogel Quadro º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados: todas são iguais a, pelo que pode ser escolhida qualquer delas. º: Selecionar a coluna e o menor dos seus custos : min (c ij : j=) = c = x = min (,5 ) = mínimo 5 Iteração : x = 5 9

10 Exemplo Protótipo. Método de Vogel Quadro 5 As células restantes podem ser preenchidas imediatamente: x = x = 5 0 SBF inicial: X 0 = (, 5, 0, 0, 0,,, 0,,0, 0,) ; z = Passo : Obtenção de uma SBF Inicial. Exemplo Protótipo mais fácil Método SBF inicial f.o. "pior" SBF Canto do NW Mínimo de custos X 0 = (,, 0, 0, 0, 5,, 0, 0, 0,, ) X 0 = ( 0, 5,, 0, 0,,, 0,, 0, 0, ) z 0 = z 0 = menos fácil Voguel X 0 = (, 5, 0, 0, 0,,, 0,, 0, 0, ) z 0 = "melhor" SBF 0

11 Passo : Obtenção da solução ótima Método de Dantzig. Critério de otimalidade Determinar a solução dual complementar u i,v j, ( i=,,m, j=,,n ), por resolução do Sistema de Dantzig: u i +v j = c ij ( i, j ) I B A solução dual é factível: u i +v j -c ij 0, ( i, j ) I B? Não Encontrar uma SBF melhor Sim FIM a solução é ótima!!! Obtenção da solução ótima.método de Dantzig. Passo : Critério de otimalidade. O primeiro passo, que consiste em testar a otimalidade da SBF atual pode ser executado recorrendo à Dualidade. Para isso é necessário determinar a correspondente solução dual. Devido à simplicidade da estrutura da matrix de restrições do Problema do Transporte, é fácil determinar a solução dual.

12 Fábricas Procura u livre u livre u livre v livre v livre v livre v livre Min z Formulação do Problema Dual de Transporte. Custo por carga de camião Armazéns 0 Diagrama de Tucker Problema primal x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Oferta 0 0 Problema dual Max w = = = 0 = = = = Formulação do Problema Dual de Transporte. Fábricas Custo por carga de camião Armazéns Oferta Maximizar w = u + u + 0 u + v + v + v + v Procura 0 0 sujeito a: u +v u +v u +v u +v u +v u +v u +v u +v u +v 0 u +v u +v u +v u i, v j livres ( i=,,; j=,,, )

13 Exemplo Protótipo. Sistema de Dantzig Para a SBF inicial obtida pelo Método do Canto N-W X 0 = (,, 0, 0, 0, 5,, 0, 0, 0,, ) tem-se: De acordo com a propriedade das folgas complementares, a cada variável básica do problema primal se encontra associada uma restrição ativa no problema dual (variável de folga igual a zero). Sistema de Dantzig para a SBF atual x = u +v = x = u +v = x = 5 u +v = x = u +v = x = u +v = x = u +v = Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade º. Determinar a solução dual. u =0 Dado que uma das (m+n) restrições do problema primal é redundante, este sistema de equações é indeterminado de grau, pelo que a sua resolução é efetuada atribuindo um valor arbitrário a qualquer das variáveis duais e calculando a partir desta as restantes ( é habitual fazer u =0 ou v n =0) u +v = u +v = u +v = u +v = u +v = v = v = u = v = u = u +v = v =0

14 Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade º. Determinar a solução dual. Esta solução para as variáveis duais pode ser obtida diretamente no quadro de transporte correspondente à SBF associada. Em síntese, fixando u =0, desloca-se em linha através das células correspondentes às variáveis básicas, para obter os v j. Uma vez obtidos estes, desloca-se em coluna através das células correspondentes às variáveis básicas para obter os u i. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade. º. Determinar a solução dual. ( ) u + v = u + = ( 5 ) u + v = u + = ( ) u + v = 0 + v = ( ) u + v = 0 + v = u =0 u = u = ( ) u + v = + v = v = v = v = v =0 5 0 ( ) u + v = + v = 0

15 Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade Como são satisfeitas as restrições duais de igualdade do Sistema de Dantzig que correspondem às variáveis primais básicas, resta apenas verificar se as restantes restrições duais de desigualdade correspondentes às variáveis primais não básicas, são igualmente satisfeitas, o que significa que a solução dual é factível e consequentemente a solução primal associada é ótima. Isto é equivalente a verificar que todos os custos reduzidos para as variáveis não básicas sejam não positivos. A verificação de que u i +v j c ij, ( i, j ) I B, é equivalente a c ij -(u i +v j )>=0. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas. u =0 u = u = v = v = v = v =

16 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade º. Existe algum c ij -(u i +v j ) < 0, ( i, j ) I B? Esta solução não é ótima, pois existem valores negativos para (c ij -(u i +v j )) nas células (,) e (,), o que significa que as correspondentes restrições duais não estão satisfeitas. u =0 u = u = v = v = v = v = Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Entrada A variável a entrar na base pode ser escolhida de acordo com o critério: Em caso de empate a escolha é arbitrária. mínimo u =0 u = u = min {( c ij - u i +v j )< 0 } v = v = v = v = A variável a entrar é x

17 Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Saída º. Selecionar o percurso relativo à variável que entra atribuindo às células nele incluídas sinais de - ou +. Ao incrementar a variável básica que entra desde zero até um valor positivo 0, inicia-se um processo em cadeia" que garante que as restrições de oferta e procura continuem satisfeitas. Este processo segue um percurso no quadro a partir da célula da variável que entra, onde são identificadas quais são as células onde será preciso subtrair o valor 0, (com sinal -) e aquelas onde será preciso adicionalo (com sinal +). Tudo com o objetivo de as somas em cada linha e coluna permanecerem inalteradas. º. Selecionar a variável que sai de acordo com o critério: min {x ij percurso relativo à variável que entra : x ij tem sinal -} = 0 Em caso de empate a escolha é arbitrária. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Saída Determinar a variável que sai. º. Selecionar o percurso relativo à variável x atribuindo às células nele incluídas sinais de - ou +. º. Selecionar a variável que sai: 0 =min (, 5, ) = a variável x sai x 0 mínimo

18 Obtenção da solução ótima. Passo : Obtenção de uma nova SBF A nova SBF obtém-se adicionando e subtraindo às variáveis que formam o ciclo o valor de 0, consoante estejam afetadas com - ou +, respectivamente; as restantes variáveis mantêm os seus valores inalterados. Exemplo Protótipo.Obtenção da solução ótima. Passo : Obtenção de uma nova SBF X = (, 5, 0, 0, z = 0,,, 0,, 0, 0, ) x = + = 5 x = - = x =5 - = x = x = - = x x = + = 5 0 0

19 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Iteração, Passo : Critério de Otimalidade. º. Determinar a solução dual. ( ) u + v = u + = ( 5 ) u + v =0 u + =0 ( ) u + v = 0 + v = ( ) u + v = 0 + v = u =0 u = u =- ( ) u + v = + v = v = v = v = v = 5 0 ( ) u + v = - + v = 0 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Iteração, Passo : Critério de Otimalidade º. Calcular os custos reduzidos (( c ij - u i +v j )) para as variáveis não básicas. ( ) -u - v = - 0- = u =0 u = u =- v = v = v = v =

20 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Iteração, Passo : Critério de Otimalidade º. Existe algum c ij -u i -v j < 0, ( i, j ) I B? Esta solução é ótima, pois para todas as variáveis não básicas c ij -u i v j >=0 u =0 u = u =- v = v = v = v = Solução ótima: X =(, 5, 0, 0, 0,,, 0,, 0, 0, ); z = 0

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