Investigação Operacional

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1 Ano lectivo: 0/06 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Algoritmo Simplex Cursos: Gestão e Economia. Considere o seguinte conjunto de soluções admissíveis: { } S = (x, x ) R : x + x 0 x x 0 x + x 30 x + x 0 x, x 0 (a) Determine, indicando graficamente, as regiões de S onde as variáveis de folga são nulas. (b) Indique todas as soluções básicas admissíveis, as respectivas matrizes básicas associadas e classifiqueas quanto à degenerescência.. Considere o seguinte conjunto de soluções admissíveis: { } S = (x, x ) R : x x 3 x x + x 3 x, x 0 Relativamente a este conjunto, indique: (a) Todas as soluções básicas admissíveis e as respectivas matrizes básicas. (b) Uma solução básica degenerada. (c) Uma solução admissível não básica. (d) Três soluções básicas não admissíveis. 3. Seja S um conjunto de soluções admissíveis definido da seguinte forma: S = {(x, x ) R : x x x 4 4x + x 4α x, x 0}, α R (a) Determine os valores de α por forma que: i. S =. ii. S = {(3, 4)}. iii. S = {(x, x ) R : x x x 4 x, x 0} (b) Determine, caso seja possível, expressões para z = f(x, x ), por forma que o problema em Programação Linear max z = f(x, x ) s.a: x S, com α = i. tenha uma única solução óptima degenerada. Indique essa solução. ii. tenha uma infinidade de soluções óptimas: indique três expressões diferentes de z = f(x, x ) que dão origem a este tipo de soluções. iii. não tenha solução óptima finita. (c) Considere o problema em Programação Linear: max z = x x s.a: x S, com α = i. Resolva graficamente o problema. ii. Indique, caso existam: duas soluções básicas não admissíveis; todas as soluções básicas admissíveis e respectivas matrizes básicas, classificando-as quanto à degenerescência; uma solução não básica admissível; uma solução básica óptima; uma solução óptima não básica.

2 4. Considere o seguinte problema em Programação Linear: (a) Para que valores de m reais pode B = solução básica admissível? max z = x + 0x s.a: x + x 0 mx + x 80 x + x 0 x, x 0 0 m 0 (b) Tome m =. Determine a solução associada a B e classifique-a. constituir uma matriz associada a uma. (Exame Época Normal 004) Considere o seguinte problema linear, cuja região admissível se encontra esboçada no gráfico ao lado: x max z = x x s.a: x + x 4 x + x 6 x + x 6 x, x A 4 6 (a) Indique e classifique três soluções básicas admissíveis associadas ao vértice A. (b) Indique uma solução admissível não básica. x 6. Considere os seguintes problemas: (a) min z = x + 3x + x 3 s.a: x + x x 3 6x + 7x 9x 3 = 8x 7x + x 3 3 x, x 0, x 3 R (b) max z = min(7x 8x, x + 9x + 4x 3 ) s.a: 6x + 9x + 8x x x 3x 3 00 x, x, x 3 0 Escreva os problemas em Programação Linear e simultaneamente na forma padrão. 7. Considere o seguinte problema de PL: max z = 4x + x s.a: 3x + x 30 (recurso ) x + x 0 (recurso ) x 8 (recurso 3) x, x 0 (a) Represente graficamente o espaço das soluções. (b) Indique todas as soluções básicas admissíveis (SBA) do problema e respectivos valores da função objectivo (f.o.).

3 (c) Determine a solução óptima e o respectivo valor da f.o. através do Algoritmo Simplex. 8. Resolva o seguinte problema utilizando o Algoritmo Simplex: max z = 3x + x + 4x x 6 s.a: x + 6x + 3x x x i 0, i =,..., 6 9. Resolva o seguinte problema utilizando o Algoritmo Simplex: max z = 3x + x s.a: x 3x 3 x + x x, x 0 0. Uma empresa deseja realizar um show na televisão para publicitar os seus produtos. O show durará exactamente 30 minutos e nele actuarão um actor cómico e um grupo musical. A empresa deseja que sejam consagrados a anúncios pelo menos 4 minutos. A estação de televisão exige que o tempo dedicado aos anúncios não exceda 8 minutos, não podendo, além disso, em caso algum ser superior ao tempo atribuído ao actor cómico. Este, por sua vez, não está disposto a actuar durante mais de minutos. Ao grupo musical caberá o tempo restante. O custo de actuação do actor é de 000e/min e o do grupo musical é.000e/min. Sondagens recentes mostram que: por cada minuto de exibição do actor, 4000 espectadores sintonizam essa estação; por cada minuto de exibição do grupo musical, espera-se 000 novos espectadores; por cada minuto de anúncios.000 pessoas desligam o aparelho ou sintonizam outra estação. A empresa pretende determinar a constituição ideal do referido show, de modo a: (a) Maximizar o número de espectadores; (b) Minimizar o custo do show. Formule matematicamente ambos os problemas e resolva-os usando o Algoritmo Simplex.. Uma fábrica produz dois tipos de pneus: radiais sem câmara-de-ar e radiais com câmara-de-ar. Ambos os tipos passam pelas seguintes fases de fabrico: Moldagem, Vulcanização e Acabamento. A matriz tecnológica, as margens brutas por centena de pneus e as disponibilidades diárias em horas das secções da fábrica, são as seguintes: Secções Pneus (Operários/00 pneus) sem câmara com câmara Disponibilidades (Operários/dia) Moldagem Vulcanização 9 Acabamento 3 6 Margem bruta (e) 8 8 Pretende-se determinar o programa de produção diária, sabendo que não existem dificuldades de mercado nem compromissos assumidos. Resolva este problema através do Algoritmo Simplex. Verifique a existência de óptimos alternativos.. Considere o seguinte problema de P.L.: max z = x + x + x 3 s.a: x + x 3 x + x + x 3 8 x + x x 3 x, x, x 3 0

4 Sabe-se que no quadro óptimo do Simplex para este problema as variáveis x 3, e x são (por esta ordem) básicas e é a variável folga associada à a restrição ( e x 6 são as variáveis de folga para a a e 3 a, respectivamente). Conhece-se ainda a inversa da base óptima (B): B = (a) Sem aplicar o algoritmo Simplex, construa o quadro Simplex óptimo associado à matriz básica B. (b) Utilizando o quadro óptimo, determine as quantidades não utilizadas de cada recurso. 3. Resolva, utilizando o Método do M Grande (Penalidades), o seguinte problema: max z = x + x + x 3 s.a: x + x + x 3 = 6 x + 3x + 3 = x + x + x 3 + = x, x, x Resolva, utilizando o Algoritmo Simplex, o seguinte problema de PL : max z = x + 3x s.a: x + x 6 x + x x 3 x, x 0. Resolva, utilizando o Algoritmo Simplex, o seguinte problema: min z = 00x + 00x + 0x 3 s.a: x + x + 0x x + 8x + x x + x 00 x, x, x Resolva, utilizando o Algoritmo Simplex, o seguinte problema: max z = x + x + 3x s.a: 3x + x + 3x 3 x + x x 3 + x + x + x 3 + = x, x, x Resolva, utilizando o Método das Duas Fases, o seguinte problema: max z = 6x + x s.a: 0.x + 0.x 9 0.3x + 0.x 6 0.3x + 0.6x 8 0.x + 0.x 4 x, x 0 8. Resolva, utilizando o Método das Duas Fases ou do M Grande, o seguinte problema: max z = x x + x 3 s.a: x + x + 3x 3 9 x x = 6 x x 3 4 x, x, x 3 0

5 9. Resolva, utilizando o Método das Duas Fases ou do M Grande, o seguinte problema: max z = x + x + 3x 3 s.a: x + x + x 3 3 x + x + x 3 3x x 3 = 8 x, x, x Resolva, utilizando o Algoritmo Simplex, o seguinte problema:. Considere o Problema Linear: (a) Calcule uma solução básica admissível. min z = 3x x + x 3 + s.a: x 4x x x + x + x x x 4x x, x, x 3 0 min z = x x + x 3 s.a: x + 4x + x 3 6 x + x + 3x 3 x, x, x 3 0 (b) Obtenha a solução óptima deste problema através do Algoritmo Simplex, indicando a base óptima.. Considere o Problema Linear: em que b e b são constantes não negativas. O quadro Simplex óptimo deste problema é: min z = x + x + 3x 3 s.a: x + x + x 3 b x x 6x 3 b x, x, x 3 0 x B x x x 3 b x a b 8 0 z j c j 0 c 7 d e 0 (a) Calcule os valores de b e b que dão origem ao quadro Simplex apresentado. (b) Calcule os valores de a a e do quadro óptimo. 3. Considere o seguinte problema de Programação Linear: max z = x x + x 3 s.a: 3x + x + x 3 6 x x + x 3 x + x x 3 x, x, x 3 0 Sabe-se que no quadro óptimo do Simplex para este problema as variáveis, x e x (por esta ordem) são básicas e é a variável folga associada à a restrição ( e x 6 são as variáveis de folga para a a e 3 a, respectivamente). Sabendo que a inversa da base óptima (B) é: B = 0 0 Construa o quadro óptimo de Simplex associado a B, sem aplicar o algoritmo de Simplex.

6 4. (Frequência 004/00) Considere a seguinte formulação em Programação Linear: max z = x x s.a: 4x + x 4 x + x 3 x, x 0 (a) Encontre a solução óptima deste problema através do Algoritmo Simplex. (b) Classifique a solução encontrada em (a) quanto à degenerescência e unicidade.. (Ex. Recurso 004/00) Considere o seguinte quadro Simplex inicial de um problema de maximização com todas as restrições de : x B x x x 3 b x z j c j (a) Interprete economicamente o custo reduzido de x. (b) Fazendo x entrar para a base, justifique por que razão a variável que se torna não básica se identifica determinando o min{, 3 }. 6. (Mini-Teste n o, 00/006, EC) Considere o seguinte problema em Programação Linear: max z = x x s.a: x x b a x + x b x, x 0 em que b e b são constantes não negativas. Considere o seguinte quadro Simplex referente a uma SBA do problema, onde as variáveis x 3 e são as variáveis de folga das primeira e segunda restrições, respectivamente: x B x x x 3 b x z j c j Quadro (a) Fazendo x entrar para a base, preencha o quadro consequente: x B x x x 3 b z j c j Quadro (b) Indique a[ matriz básica ] associada[ à SBA ] do quadro : 0 B = B = B = [ 0 0 ] B = (c) Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações: O problema tem solução óptima única. [ 0 ]

7 No quadro, z 3 c 3 =, significa que é vantajoso fazer x 3 entrar para a base. A SBA associada ao quadro é degenerada. O vector dos termos independentes é b = 4 7. (Exame, a chamada, 00/0) Considere a seguinte região de admissibilidade de um PL e indique quais os pontos assinalados que correspondem a: C A H G B E F D (a) Soluções admissíveis. (b) Soluções básicas admissíveis. (c) Soluções não admissíveis. (d) Soluções básicas não admissíveis. (e) SBA degeneradas. 8. (Exame P, 00/006, ME+MI+MA+EPGI+EI+EC+E) Uma empresa pretende maximizar o seu lucro, expresso em milhares de e, através da determinação da solução óptima do seguinte problema (já na forma padrão): max z = 0x 0x s.a: 4x + x x 3 = 8 x x + = x j 0, j =,..., 4 (a) Determine a solução óptima deste problema através do Algoritmo Simplex. (b) Classifique a solução óptima obtida na alínea anterior quanto à degenerescência e unicidade. (c) Com base na solução óptima determinada em (a), complete as seguintes afirmações: i. Ao fazer entrar para a base, a variação do valor da f.o. será de mile. A solução que se obtém é (quanto à degenerescência). ii. Ao fazer x entrar para a base, esta variável poderá tomar o valor, e a variação do valor da f.o. será de mile. 9. (MT, 006/007, Economia e Gestão) Uma empresa de construção civil pretende maximizar o seu lucro, expresso em milhares de e, através da determinação da solução óptima do seguinte problema: max z = x + 4x (milhares dee) s.a: x + x 8 (área disponível) x x (procura) x, x 0 (a) Determine a solução óptima deste problema através do Algoritmo Simplex. (b) A solução óptima obtida na alínea anterior é (quanto à unicidade). (quanto à degenerescência) e (c) Com base na solução óptima determinada em (a), suponha que se pretende que: ou a variável de folga da restrição relativa à área disponível seja básica; ou a variável de folga da restrição relativa à procura seja básica. Desta forma, a variável cuja entrada forçada para a base prejudica menos o valor da f.o. será, pois a variação do valor da f.o. será de mile(quando essa variável entra para a base) ao invés de mile(quando a outra variável entra para a base). A solução que se obtém é (quanto à degenerescência) e é uma (SBA, SNBA, SBNA ou SNBNA).

8 30. (Frequência, 006/007, Gestão e Economia) Considere o seguinte Programa Linear e as soluções propostas. max z = 0x + x + x 3 s.a: x + x + x 3 x + x + x 3 x, x, x 3 0 A = (,, ); B = ( 3, 3, 3 ); C = ( 3, 3, 0); D = (0, 0, 0); E = (, 0, ); F = (, 0, 0); G = (0,, 0); H = (, 0, ). (a) Indique quais as soluções propostas que correspondem a: i. Soluções básicas admissíveis; ii. Soluções básicas não admissíveis; iii. Soluções admissíveis não básicas; iv. Soluções não admissíveis não básicas. (b) Indique a base associada às soluções básicas. (c) Uma solução óptima é: (Sugestão: Como SBA inicial utilize a que está [ associada ] à solução x = (0, 0, ), cuja inversa da base respectiva é B = [ A 4 A 3 ] = onde A 4 é a 0 coluna da variável de folga da a restrição.)

9 Soluções de alguns exercícios da Ficha :. (b) Existem 7 SBA s: x 0 0 x x ) x N = e x x B = 3 6 ; x = (0,,, 0,, 0)T 0 0 ; B = ; não degenerada x 0 0 x x ) x N = e x x B = 3 6 ; x = (0, 0, 30, 0, 0, 0)T 0 0 ; B = 0 0 ; degenerada x 0 0 x x 3) x N = e x x B = 3 4 ; x = (0, 0, 30, 0, 0, 0)T ; B = 0 0 ; degenerada. x x 0 x4 ) x N = e x x B = 6 x 3 ; x = (0, 0, 30, 0, 0, 0)T 0 0 ; B = 0 ; degenerada. 0 0 x 0 x4 ) x N = e x x B = x 3 ; x = ( 70 3, 0 3, , 0, 0, 3 )T 0 0 ; B = ; não degenerada. 0 0 x 6 0 x 0 0 x3 x 6) x N = e x x B = ; x = (,, 0,, 0, 4)T 0 ; B = ; não degenerada. 0 0 x 6 0 x x x 7) x N = e x x B = 4 3 ; x = (0, 0, 0, 0, 0, 30)T 0 0 ; B = ; não degenerada. 0 0 x Nota: Repare que as SBA s, 3 e 4 correspondem ao mesmo ponto x = (0, 0, 30, 0, 0, 0). De facto, sabemos que a cada ponto extremo (existem ) da região admissível está associada pelo menos uma SBA.. (a) Existem 3 SBNA s: x ) x N = e x B = ) x N = 3) x N = x x x 3 x e x B = e x B = x 3 x x x 3 ; x = (0, 0, 3,, 3) T. ; x = (0, 3, 0,, 6) T. ; x = (, 0,, 0, ) T.. (b) Existem SBA s: x 0 x ) x N = e x x B = x 3 ; x = (0, 3, 6,, 0) T ; B = 0 0 ; SBA não degenerada. 0 0

10 x 0 0 x ) x N = e x x B = ; x = (3, 0, 0,, 0) T ; B = 0 ; SBA degenerada. 3 0 x 0 x 3) x N = e x x B = x 3 ; x = (3, 0, 0,, 0) T ; B = 0 ; SBA degenerada. 0 0 x 0 x3 4) x N = e x x B = x ; x = (3, 0, 0,, 0) T ; B = 0 ; SBA degenerada. 0 x 0 x3 ) x N = e x x B = x ; x = (,, 0, 0, 4) T ; B = 0 0 ; SBA não degenerada. 4 Nota: Repare que as SBA s, 3 e 4 correspondem ao mesmo ponto x = (3, 0, 0,, 0) T. De facto, sabemos que a cada ponto extremo (existem 3) da região admissível está associada pelo menos uma SBA.. (c) Qualquer uma das soluções, 3 ou 4 da alínea anterior.. (d) Qualquer ponto de S, à excepção dos pontos extremos. 3. (a) i. α 4; ii. α = 4; iii. α (b) i. f(x, x ) = x + x ou f(x, x ) = 4x + x, por exemplo. 3. (b) ii. f(x, x ) = x x ou f(x, x ) = x ou f(x, x ) = 4x x. 3. (b) iii. Não é possível, pois a região admissível é limitada e, por isso, a solução óptima será sempre finita. 3. (c) i. Soluções óptimas alternativas: todos os pontos do segmento de recta (sobre a recta associada à restrição x x ) que une os pontos ( 3, 8 ) a (3, 4) são soluções óptimas, com z =. 3. (c) ii. Duas SBNA s são, por exemplo: x x x ) x N = e x x B = ; x = (0,, 0, 3, 3) T x ; )x N = e x 3 x B = x 3 ; x = (, 0,, 4, 0) T ; Existem SBA s: x 0 x ) x N = e x x B = x 3 ; x = (0, 4, 3, 0, 0) T ; B = 0 0 ; SBA degenerada. 4 0 x 0 x ) x N = e x x B = x 3 ; x = (0, 4, 3, 0, 0) T ; B = 0 ; SBA degenerada. 0 0 x x4 3) x N = e x x B = x ; x = (0, 4, 3, 0, 0) T ; B = 0 0 ; SBA degenerada. x x 0 x3 4) x N = e x x B = x ; x = (3, 4, 0, 0, ) T ; B = 0 0 ; SBA não degenerada. 4 4 x 0 x3 ) x N = e x x B = x ; x = ( 3, 8, 0,, 0)T ; B = 0 ; SBA não degenerada. 4 0

11 Nota: Repare que as SBA s, e 3 correspondem ao mesmo ponto x = (0, 4, 3, 0, 0) T. De facto, sabemos que a cada ponto extremo (existem 3) da região admissível está associada pelo menos uma SBA. Uma solução não básica admissível: qualquer ponto de S à excepção dos pontos extremos. Uma solução básica óptima: x = (3, 4, 0, 0, ) T. Uma solução óptima não básica: qualquer ponto da forma (x, x ) = λ(3, 4) + ( λ)( 3, 8 ), com λ ]0, [. 4. (a) m (b) x = (0, 40, 0, 0, 0) solução básica não admissível. 7. (b) Existem SBA s: x ) x N = e x B = ) x N = 3) x N = 4) x N = ) x N = x x x3 x3 x e x B = e x B = e x B = e x B = x 3 x x 3 x x x x x x 3 ; x = (0, 0, 30, 0, 8) T ; B = ; x = (0, 0, 0, 0, 8) T ; B = ; x = (,, 0, 0, 3) T ; B = ; x = (8, 6, 0, 6, 0) T ; B = ; x = (8, 0, 6,, 0) T ; B = ; z = 0. ; z = 0. ; z = 3. ; z = 38. ; z = (c) x = (8, 6, 0, 6, 0) T e z = x = (0, 0, 00, 0, 0, 0, 0) T e z = A solução óptima é ilimitada, i.e., não existe solução óptima; não existe um valor máximo finito para a função objectivo. 0. (a) x = (, 7, 8, 0, 4, 0, 0, 7, 0) T, em minutos, e z = espectadores. 0. (b) x = (8, 4, 8, 0, 4, 0, 0, 0, 7) T, em minutos, e z = 78000e.. x = (3, 3, 0, 0, 4) T ou x = (,, 0,, 0) T, em pacotes de centenas de pneus, pois existem soluções óptimas alternativas (verifique graficamente que estas SBA s são duas das soluções óptimas alternativas), e z = 48e.. (a) x B x x x 3 x 6 b x x z j c j (b) Sobram 0, 4 e 0 unidades dos recursos, e 3, respectivamente (sendo a i-ésima restrição respeitante ao recurso i, com i =,, 3).

12 3. Problema impossível (região admissível vazia). 4. Solução óptima ilimitada.. Problema impossível (região admissível vazia). 6. Problema impossível (região admissível vazia). 7. x = (40, 0, 0, 7, 0, 0) e z = Problema impossível (região admissível vazia). 9. Solução óptima ilimitada. 0. Solução óptima ilimitada.. (a) x = (0, 0, 3, 6 3, 0, 0).. (b) x = (0, 6, 6 33, 0, 0) e z = 30.. (a) b = 30 e b = 40.. (b) a =, b = 0, c = 3, d =, e = x B x x x 3 x 6 b 0 0 x 0 0 x z j c j (a) x = (3, 0, 8, 0) e z = (b) Não degenerada (justificar!...); única (justificar!...) 6. (a) 6. (b) B = [ 0 ] x B x x x 3 b x 0 x 0 3 z j c j (c) F, F, F e V. 7. (a) B,C,D,G,H (b) C,D,G (c) A,E,F (d) F (e) Não existem 8. (a) x = (, 0, 0, 0) é uma solução óptima (porquê?...), com z = 0 mile. 8. (b) Degenerada (justificar!...); não única (justificar!...) 8. (c) i. Zero; degenerada. 8. (c) ii. + ; zero.

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