Análise de Sensibilidade. Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO. Análise de Sensibilidade
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- Maria de Begonha Belo Henriques
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1 nálise de Sensibilidade Investigação Operacional rogramação Linear (arte II) 2/2 Nuno Moreira/milcar rantes/ui Marques/Marta Gomes Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território Licenciatura em Engenharia e rquitectura Naval ermite estudar a alteração sofrida pela solução óptima: ao alterar os coeficientes c j da função objectivo (lucro obtido por cada unidade produzida) ao alterar os termos independentes das restrições b i (limitação aos recursos disponíveis - número de horas semanais de processamento de cada máquina) ao introduzir novas restrições (e: incluir restrições não previstas no modelo inicial) ao introduzir novas variáveis (e: lançamento de um novo produto) ao alterar os coeficientes técnicos a (tempo de processamento que cada produto necessita em cada máquina - rendimento) 2/2 3 nálise de Sensibilidade nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO análise de sensibilidade permite: 2/2 Estudar a robustez da solução óptima obtida Estimar a validade da solução quando os dados foram obtidos por estimativa ou eiste incerteza quanto ao seu valor eacto ctualizar solução após correcção dos dados Estudar a viabilidade económica de aumento dos recursos disponíveis /2 Solução óptima definida pelas restrições activas ( e 2). Função objectivo: Ma L=2X +3 apresenta um declive m F =-2/3 solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m =-.25/.5=-/2 ; m 2 =-.4/.2=-2. nálise de sensibilidade ao lucro unitário do produto 2 L=2X +C 2 m F =-2/C 2 m 2 m F m -2 m F -/2 => -2-2/C 2 -/2 => C 2 4 L= o alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deiar de ser óptima 4
2 nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Uma alteração c i no coeficiente da variável X i propaga-se pelas diferentes iterações do simple. nálise de sensibilidade ao lucro unitário do produto 2 Ma L = 2 X + c 2 = 2 X + (3+ c 2 ) c 2 = 3+ c 2.25 X F = 4.4 X = 4. + = 4 X ; ; F ; ; X F F C. 4 D 2/2 -L 2 3+ c = 2 /.25 X X 3 = /.5= C =C /.25=4 D =D L + c ma = X = X = 3 / C =C D =D /2 -L + c F 4 F 6 i 6/-2.5 uadro com a solução óptima (sem alteração do coeficiente c 2 ; c 2 =3 e c 2 =) nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO X F F /.5= /.2=2 C. 4 4/.= 5 D -L 2 3+ c 2 ma = 5 2 = -.5C 2 F 5/.25= = -.2C /.4=5 C 2 =C /. X F /= D 2 =D -3C 2 -L 2 + c /2 2 ma = 6 i i 6 D 4 solução continuará a ser óptima se ao maimizar/minimizar a função objectivo as suas derivadas em função das variáveis não básicas se mantiverem negativas/positivas ou nulas 4 X C D 4 =D 4 - c 2 C c 2 c 2-2 => => -2 c c 2 c 2 c 2 4 2/2 -L -L X + c2 F c c c 2 2
3 nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO nálise de Sensibilidade Termos Independentes /2 Solução óptima definida pelas restrições activas ( e 2). Função objectivo: Ma L=2X +3 apresenta um declive m F =-2/3 solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m =-.25/.5=-/2 ; m 2 =-.4/.2=-2. nálise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos ( e 2) L=C X +C 2 m F =-C /C 2 m 2 m F m -2 m F -/2 => -2 -C /C 2 -/2 => /2C 2 C 2C 2 e C2> L= o alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deiar de ser óptima o alterar o termo independente de uma restrição, a optimabilidade da solução não é alterada, mas a solução pode deiar de ser possível. ) Se a alteração ocorrer numa restrição não activa (c/ variável de folga > ), a solução óptima mantém-se inalterada: Sempre que a alteração seja no sentido de aumentar a folga da restrição. alteração não esgote a folga dessa restrição. Caso contrário a solução deia de ser possível. 2) Se a alteração ocorrer numa restrição activa, o valor da solução (e das variáveis básicas) é sempre alterado. No entanto, a base mantém-se desde que a alteração não torne activa outra restrição anteriormente não activa. 2/2 nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO nálise de Sensibilidade Termos Independentes D 4 nálise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos ( e 2) L=c X +c 2 => c = 2+ c c 2 = 3+ c 2 4 X C D 4 =D 4 - c 4 - c 2 C 4 -L -L X + c 2 + c F c -2.6 c c +.6 c c +.6 c 2 c c c -2.6 c 2 c 4+2 c 2 => => c 2 c 4+2 c 2.5c 2 c 2c c -4 c 2 rocedimentos: ) em restrições não activas Verificar se com a alteração do termo independente (b i ) a restrição é satisfeita 2) em restrições activas ecalcular a solução (com a mesma base e restrições activas) e verificar se os novos valores satisfazem as outras restrições Verifica as restrições? Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMLEX Dual 2/2 2/2 2 3
4 nálise de Sensibilidade Termos Independentes nálise de Sensibilidade Termos Independentes /2 lteração ao termo independente b 2 da restrição activa 2 L=2 Limite à alteração de b 2 mantendo a mesma solução básica óptima (conjunto de variávei básicas) Novos valores das variáveis básicas em função da variação do termo independente b O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas etraordinárias. ual o efeito dessa variação na solução do problema? Intervalo para o número de horas de trabalho da máquina M (a base mantém-se): 2/2 25 b 43.5 Sendo L = b Intervalo para a variação do número de horas de trabalho da máquina M (a base mantém-se): -5 b 3.5 b = 4 + b Sendo L = 5.33 b 5 nálise de Sensibilidade Termos Independentes nálise de Sensibilidade reços Sombra O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas etraordinárias. ual o efeito dessa variação na solução do problema? Ma L = 2 X X F = b.4 X = 4. + = 4 X ; ; F ; ; 2/2 Solução Óptima ossível? ase = {X,, } F = = b b 25 b X +.5 = b.4 X +.2 = 4. + = 4 X = b = b = b 25 b 43.5 L = b solução é possível se as variáveis básicas forem 4 O preço sombra do recurso i (representado pela restrição i) é uma medida do valor marginal deste recurso, ou seja, a taa a que a função objectivo cresce se esse recurso sofrer um aumento unitário (desde que a base da solução óptima não se altere) O preço sombra do recurso i é medido pelo simétrico do coeficiente da variável de folga do recurso (F i ) na função objectivo quando definida em função das variáveis não básicas. reço sombra nulo significa que o recurso correspondente não está saturado, ou seja, que a restrição tem folga (restrição não activa) 2/2 6 4
5 nálise de Sensibilidade reços Sombra nálise de Sensibilidade Novas estrições É possível realizar horas etraordinárias com uma das máquinas. Em qual das máquinas as horas etraordinárias são mais rentáveis? Ma L = 2 X X F = 4.4 X = 4. + = 4 X ; ; F ; ; X Uma hora etraordinária na máquina {M,M 2,M 3 } provocará um aumento na função objectivo de {5.33,.6, } se a base da solução óptima se mantiver. esposta: as horas etraordinárias deverão ser efectuadas na máquina M porque é a que apresenta um valor marginal mais elevado. 2/2 -L X F -2 Simétrico dos preços sombra o introduzir uma nova restrição, a optimalidade da solução não é alterada, mas a solução pode deiar de ser possível. rocedimentos: Verificar se a solução óptima verifica a nova restrição 2/2 Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMLEX Dual 2/2 nálise de Sensibilidade reços Sombra Em qual das máquinas a utilização de horas etraordinárias conduz a um maior incremento do lucro (mantendo a mesma base)? (cada hora etraordinária tem um custo de.5) Ma L = 2 X X F = 4.4 X = 4. + = 4 X ; ; F ; ; nálise da máquina : esposta: apesar do preço sombra ser inferior em M 2 é possível um aumento maior da FO (para a mesma base) se utilizarmos as horas etraordinárias em M 2. b ma = 3.5 h L ma ( b ) =5.33 b -.5 b =2-.5=.25 nálise da máquina 2: b 2 ma = 24 h L ma ( b 2 ) =.6 b b 2 =4-2=2 nálise da máquina 3: b 3 ma não definido L ma ( b 3 ) = b b 3 (há prejuízo para b 3 > ) /2 nálise de Sensibilidade Novas estrições pós os produtos passarem pelas máquinas M, M2 e M3, estes devem ser inspeccionados por um operário que tem uma capacidade de inspeccionar produtos por semana. Ma L = 2 X X F = 4.4 X = 4. + = 4 X ; ; F ; ; L= Solução Óptima (L=2) X = =4 F = = = Nova estrição X + X + =+4=2 solução é impossível. É necessário resolver o problema desde o princípio ou aplicar o algoritmo Simple Dual. 2 5
6 Casos articulares de L roblema de Transportes Formulação O Sr. José, industrial agrícola produtor de tomates, realizou 3 contratos de venda num total 45 toneladas das 5 toneladas de tomate produzidas nas suas duas quintas (2t na uinta da lfarroba e 3t na uinta da eterraba). De acordo com os contratos, tem que entregar t no armazém da cadeia de supermercados ronto, 2t na fábrica de enlatados uelata e 5t na fábrica de sumos essumo. Sabendo que os custos de transporte entre cada quinta e os locais de entrega são os apresentados no quadro, qual o plano de transportes que sugere. [ /ton] 2/ Definição das variáveis: 2/2 c custo unitário de transporte de i para j quantidade a transportar de i para j F custo global do transporte Função objectivo: Min F c estrições: j i = i j = O i = j roblema com: m origens n destinos (m n) variáveis (m + n ) restrições linearmente independentes (m + n ) variáveis básicas 23 Formulação roblema de Transportes Definição das variáveis: 2/2 quantidade de tomate, em toneladas, a transportar da quinta i (,) para o cliente j (,,) [ton] F custo global de transporte da colheita [ ] Função objectivo: Min F = estrições: 2 = 2 = = 2 = 5 3 = = 2 = 5 F F = F -F esolução pelo simple c c -u -v 2 c 2 c 2 -u -v 2 Se é variável não básica então 2/2 X n c in c n -u -v n 2 c 2 c 2 -u 2 -v 22 C 22 c 22 -u 2 -v 2 Se é variável básica então c -u i -v j = 2n c 2n c 2n -u 2 -v n Factor multiplicativo m c m c m -u m -v m2 c m2 c m2 -u m -v 2 c =c -u i -v j => c então a solução é óptima mn c mn c mn -u m -v n O O 2 O m 2 n u u 2 u m v v 2 v n 24 6
7 lgoritmo dos Transportes lgoritmo dos Transportes º - Equilibrar o roblema 2/2 [ /ton] t 2t 22 5t 5t 2t 3t 5t 25 2º b) - Encontrar uma solução inicial possível 2 linhas 4 colunas Método dos Custos mínimos 2. Seleccionar a variável livre com custo unitário mais baiov 2.2 tribuir o máimo possível a essa variável 2.3 Se eistirem variáveis livres voltar ao passo Verificar o número de variáveis básicas e definir variáveis básicas nulas se necessário variáveis 2+4- = 5 variáveis básicas 2/2 22 t t 22 5t 5t 2t 3t 5t F = = lgoritmo dos Transportes lgoritmo dos Transportes 2º a) - Encontrar uma solução inicial possível 2 linhas 4 colunas Método do Canto Noroeste 2. Seleccionar a variável livre do canto superior esquerdo 2.2 tribuir o máimo possível a essa variável 2.3 Se eistirem variáveis livres voltar ao passo Verificar o número de variáveis básicas e definir variáveis básicas nulas se necessário variáveis 2+4- = 5 variáveis básicas 2/ t 2t 22 5t 5 5 5t 2t 3t 5t F = = c 26 3º Calcular u i e v j se é variável básica tal que c -u i -v j = 2. rbitrar um valor qualquer para uma das constantes do conjunto {u i ;v j } 2.2 ara uma constante u i definida, procurar uma variável básica na linha i cuja constante v j ainda não esteja definida ou para uma constante v i definida, procurar uma variável básica na coluna j cuja constante u j ainda não esteja definida 2.3 Calcular a constante ainda não definida através da epressão c -u i -v j = 2.4 Voltar ao passo 2.2 até definir todas as constantes u i e v j 2/2 22 t t t 5 5t v =2 v =25 v =24 = 2t 3t 5t u = u =-6 2
8 lgoritmo dos Transportes 4º Calcular C e verificar se a solução é óptima 4. ara as variáveis não básicas calcular c através da epressão: c =c -u i -v j 4.2 solução é óptima se ao minimizar/maimizar todos os coeficientes c forem positivos/negativos ou nulos 2/2 c = c -u -v = = -2 c = c -u -v = 22-(-6)-2 = c F = c F -u - = -(-6)- = 6 22 t v = t v = t v =24 5 5t = c < => solução não é óptima 2t 3t 5t u = u =-6 2 2/2 lgoritmo dos Transportes 3º Calcular u i e v j tal que c -u i -v j = se é variável básica 4º Calcular c =c -u i -v j e verificar se a solução é óptima 22 t v = c = c -u -v = = 2 c = c -u -v = 22-(-4)-2 = 6 c F = c F -u - = -(-4)- = 4 2 2t v = t v =22 5 5t = solução óptima 2t 3t 5t F = = u = u =-4 3 lgoritmo dos Transportes 5º Calcular nova solução 5. Seleccionar a variável não básica cujo c é o mais negativo/positivo para entrar na base 5.2 dicionar à variável que entra na base 5.3 Subtrair e adicionar às outras variáveis básicas para respeitar as restrições 5.4 Definir como o maior valor possível tal que todas as variáveis sejam positivas ou nulas 5.5 variável que definiu o valor de será a variável a sair da base 5.6 Substituir o valor de, calcular a nova solução e voltar ao 3º passo ma =5 2/2 22 t v = t v =25 + 5t v =24 5 5t = 2t 3t 5t u = u =-6 3 lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade Eistem dúvidas quanto ao custo unitário de transporte entre a uinta da eterraba e a fábrica de enlatados uelata. ara que valores desse custo a solução encontrada se mantém óptima? 2/2 22 t v = c 2t v = c +4 c =c -u -v =25--c -4= 2-c c =c -u -v =22-(-4)-2= 6 c F =c F -u - =-(-4)-= t v =22 5 5t = 2t 3t 5t u = u =-4 solução é óptima se: c 2 32
9 lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade Devido à queda de uma ponte não é possível efectuar a ligação entre a uinta da lfarroba e a fábrica da essumo. solução mantém-se? ual a nova solução? tenção: o colocar um custo unitário igual a M, a respectiva variável deve ser nula na solução óptima (método do ig M para anular variáveis) caso contrário não eiste solução possível 2/2 22 t v = t v = +M c =c -u -v =25---M= 24-M < c =c -u -v = 22-(-M)-2 = M-6 c F =c F -u - =-(-M)- = M- 5 M 5t v =M 5 5t = 2t 3t 5t u = u = -M solução não é óptima, deve entrar para a base 33 Corrida de Carros 2/2 Casos articulares de L O ndré, o ernardo, o Carlos, o Daniel e o Eduardo formam uma equipa que vai fazer uma corrida de carros em 5 etapas em que cada um eecuta uma das etapas. Durante os treinos, os tempos obtidos por cada um em cada uma das etapas foram os representados no quadro seguinte. ual a etapa que cada um deve eecutar de forma a obter o menor tempo de corrida para a equipa? Etapa Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5 ndré 5 ernardo 2 Carlos 6 5 Daniel 6 Eduardo lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade colheita da uinta da eterraba ainda não foi realizada sendo as 3t uma estimativa. ara que valores da produção da uinta da eterraba a solução básica se mantém óptima? tenção: Os valores de u i, v j e c não se alteram pelo que a solução continuará a ser óptima enquanto a solução for possível 2/2 5- F t v = t v = t v = t 3t + 5t+ 5t+ = u = u =-4 solução possível enquanto t O 35t F = 2+(5- )22+(5+ )+2+(+ ) = ( -4 ) 34 2/2 Formulação Definição das variáveis: variável binária de afectação da etapa i (,2,3,4,5) ao elemento da equipa j (,,C,D,E) (= o elemento j eecuta a etapa i; = o elemento j não realiza a etapa i) F tempo da equipa para realizar a corrida Função objectivo: Min F = estrições: C D E 2 2 2C 2D 2E { ; } 3 3 3C 3D 3E 4 4 4C 4D 4E 5 5 5C 5D 5E = = = = = C + C 3C + 6 2C 4C 5C 2C 3C 4C 5C D 3D D 4D 5D D + 2D 3D 4D 5D E 3E 5E + + 4E 5E E = 2E 4E = = = = 2E 3E 36
10 2/2 roblema de fectação Formulação Definição das variáveis: c custo de eecução da tarefa i pelo elemento j variável binária (= tarefa i eecutada por j; = tarefa i não é eecutada por j) F custo total da afectação Função objectivo: roblema com: n tarefas Min F = c i j n elementos estrições: (n n) variáveis = esolução j i = { ; } Simple lgoritmo Transportes lgoritmo Húngaro 3
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