Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Transcrição

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2 Redes Aula 20: Modelos de Optimização de Redes (Prática) O Problema do Caminho Mais Curto. O Problema do Fluxo de Custo Mínimo. 2

3 Considere a seguinte rede Direccionada: Problema 20.1 (I) A C E B D F 3

4 Problema 20.1 (II) a) Encontre um caminho direccionado do nó A para o nó F e depois identifique três outros caminhos não-direccionados do nó A para F. b) Encontre três ciclos direccionados. A seguir, identifique um ciclo não-direccionado e um ciclo direccionado que inclua cada um dos nós. c) Identifique um conjunto de arcos que forme uma árvore de expansão. d) Use o processo indicado nas figuras dos Slides 15 e 16 da Aula 19 para desenvolver uma árvore, um arco por vez até que uma árvore de expansão tenha sido formada. A seguir repita este processo para obter uma nova árvore de expansão. Não duplique a árvore de expansão identificada no Item c). 4

5 a) Problema 20.1 (Resolução I) Caminho direccionado AD-DC-CE-EF (A D C E F) Caminho não direccionado AD-FD (A D F) CA-CE-EF (A C E F) AD-ED-EF (A D E F) 5

6 b) Ciclos direccionados AD-DC-CA DC-CE-ED DC-CE-EF-FD Problema 20.1 (Resolução II) Ciclos não direccionado CA-CE-EF-FD-DB-AB 6

7 c) Árvore de expansão CA, CE, DC, FD, DB A d) a) Problema 20.1 (Resolução III) C e) E d) B b) c) D F 7

8 Problema 20.1 (Resolução IV) d) A C d) E b) a) c) e) B D F 8

9 Problema 20.2 (I) Um dos voos da LAM está prestes a deslocar de Maputo num voo sem escalas com destino à Lichinga. Há alguma flexibilidade na escolha da rota precisa a ser tomada, dependendo das condições climatéricas. A rede que a seguir se apresenta representa as redes que estão a ser consideradas em que M e L representam Maputo e Lichinga respectivamente, e os outros nós representam as várias localizações intermédias. Os ventos ao longo de cada arco afectam muito o tempo de voo (e portanto o consumo de combustível). Baseado nos boletins meteorológicos do momento, os tempos de voo em horas para esse voo em particular, são mostrados próximo dos arcos. Pelo facto do combustível consumido ser caro, a gerência da LAM estabeleceu uma política para a escolha da rota que minimize o tempo total de voo. Determinar a rota e o custo mínimo de transporte de modo a maximizar os lucros. 9

10 Problema 20.2 (II) 4,6 A D M 4,7 4,2 B 3,2 3,3 E 3,8 L C F 10

11 4,6 A Problema 20.2 (Resolução I) D M 4,7 4,2 B 3,2 3,3 E 3,8 L C F n Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo Distância Total Envolvida N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão 1 M C 4,2 C 4,2 MC 11

12 4,6 A Problema 20.2 (Resolução II) D M 4,7 4,2 B 3,2 3,3 E 3,8 L n 2 C Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo F Distância Total Envolvida M A 4,6 C F 4,2+=7,6 N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão A 4,6 MA 12

13 4,6 A Problema 20.2 (Resolução III) D M 4,7 4,2 B 3,2 3,3 E 3,8 L n 3 C Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo F Distância Total Envolvida M B 4,7 C F 4,2+=7,6 A E 4,6+=8,0 N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão B 4,7 MB 13

14 4,6 A Problema 20.2 (Resolução IV) D M 4,7 4,2 B 3,2 3,3 E 3,8 L C F n 4 Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo Distância Total Envolvida A E 4,6+=8,0 B E 4,7+3,2=7,9 C F 4,2+=7,6 N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão F 7,6 CF 14

15 4,6 A Problema 20.2 (Resolução V) D M 4,7 4,2 B 3,2 3,3 E 3,8 L C F n Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo Distância Total Envolvida N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão A E 4,6+=8,0 5 B E 4,7+3,2=7,9 C E 4,2+=7,7 E 7,7 CE F L 7,6+3,8=11,4 15

16 4,6 A Problema 20.2 (Resolução VI) D M 4,7 4,2 B 3,2 3,3 E 3,8 L n C Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo F Distância Total Envolvida N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão A D 4,6+=8,1 6 B D 4,7+=8,3 F L 7,6+3,8=11,4 D 8,1 AD E L 7,7+=11,3 16

17 4,6 A Problema 20.2 (Resolução VII) D M 4,7 4,2 B 3,2 3,3 E 3,8 L C F n Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo Distância Total Envolvida N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão D L 8,1+=11,5 7 E L 7,7+=11,3 F L 7,6+3,8=11,4 L 11,3 EL 17

18 n Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Faculdade de Engenharia Investigação Operacional Problema 20.2 (Resolução Resolução VIII) Nó Não Solucionado Conectado mais próximo Distância Total Envolvida N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão 1 M C 4,2 C 4,2 MC M A 4,6 C F 4,2+=7,6 M B 4,7 C F 4,2+=7,6 A E 4,6+=8,0 A C 4,6+=8,0 B E 4,7+3,2=7,9 C F 4,2+=7,6 A 4,6 MA B 4,7 MB F 7,6 CF 18

19 Problema 20.2 (Resolução II) n Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo Distância Total Envolvida N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão A E 4,6+=8, B E 4,7+3,2=7,9 C E 4,2+=7,7 F L 7,6+3,8=11,4 A D 4,6+=8,1 B D 4,7+=8,3 F L 7,6+3,8=11,4 E L 7,7+=11,3 D L 8,1+=11,5 E L 7,7+=11,3 F L 7,6+3,8=11,4 E 7,7 CE D 8,1 AD L 11,3 EL O caminho óptimo é M-C-E-L com a distância mínima de 11,3 horas 19

20 Problema 20.3 Encontre o caminho mais curto através da rede, na qual os números representam distâncias verdadeiras entre os nós correspondentes, sendo o ponto O, o início e ponto T o fim. 20

21 Problema 20.3 (Resolução I) n Nós solucionados Directamente conectados a Nós Não Solucionados Nó Não Solucionado Conectado mais próximo Distância Total Envolvida N-esimo Nó Mais Distância Mínima Última Conexão 1 O A 4 A 4 OA 2,3 O C 5 C 5 OC A B 6 B 6 OB A D 4+7=11 4 B E 6+4=10 E 10 BE C E 5+6=11 A D 4+7=11 D 11 AD 5 B D 6+5=11 D 11 BD E D 10+2=12 6 D T 11+6=17 E T 10+8=18 T 17 DT Os caminhos mais curtos são O A D T ou O B D T com o valor de 17 21

22 Problema 20.4 (I) Uma empresa vai fabricar o mesmo produto novo em duas fábricas diferentes e depois o produto terá de ser enviado a dois depósitos. A Fábrica 1 é capaz de enviar uma quantidade ilimitada por comboio apenas para o Depósito 1, enquanto que a Fábrica 2 pode enviar uma quantidade ilimitada por via férrea somente ao Depósito 2. Entretanto podem ser usados camionistas independentes para transportar até 50 unidades de cada fábrica para um centro de distribuição, das quais até 50 unidades poderão ser enviadas a cada depósito. O custo de transporte por unidade para cada uma das alternativas é exposto na tabela a seguir, juntamente com as quantidades a serem produzidas nas fábricas e as quantidades necessárias nos depósitos. 22

23 De Problema 20.4 (II) Custo de Transporte por Unidade Para Centro de Distribuição Depósito 1 2 Produção Fábrica Fábrica Centro de Distribuição 2 4 Alocação a) Formule a representação em forma de rede esse problema como um problema de Fluxo de Custo Mínimo. b) Formule o modelo de Programação Linear para esse problema. 23

24 Problema 20.4 (Resolução I) [80] [-60] 7 ( ) F1 D1 2 (50) 3 (50) 4 (50) 4 (50) F2 9 ( ) D2 [70] [-90] 24

25 Problema 20.4 (Resolução II) Minimizar Z 7x 3x 2x 4x 4x 9x sujeito a : x e x F, D F, CD F, D F, CD CD, D F, CD CD, D F, D x F, CD F, D CD, D F, D x x x x F, CD CD, D F, CD CD, D CD, D F, D xf, CD, xf, CD, xcd, D, x CD, D 50, para todo o x ij 0 x x x x x

26 Trabalho para casa 6.1 (I) Sarah acaba de se formar no colégio. Como presente de formatura, seus pais ofereceram-lhe um fundo de dólares para comprar e manter um carro de três anos de idade que ela vai utilizar para se deslocar à faculdade. Como os custos operacionais e de manutenção sobem rapidamente com a idade do carro, os pais de Sarah disseram-lhe que ela será bem-vinda se conseguir transacionar o seu carro por outro de três anos de idade, uma ou mais vezes durante os próximos três verões se ela determinar que estaria a minimizar o custo líquido total. 26

27 Trabalho para casa 6.1 (II) Eles também informaram-lhe que eles vão dar-lhe um carro novo depois de quatro anos como presente de formatura da faculdade, então ela vai em definitivo trocar o seu carro após a formatura. (Estes são pais muito bons!!!) A tabela apresenta os dados pertinentes para cada vez que Sarah comprar um carro de três anos de idade. Por exemplo, se ela comercializa o seu carro depois de dois anos, o próximo carro terá o ano de propriedade 1, durante seu primeiro ano, etc. 27

28 Trabalho para casa 6.1 (III) Dados da Sarah cada vez que compra um carro de três anos Preço de Compra Custos de Operação e Manutenção por ano de propriedade Custo de venda ao fimde cada ano de propriedade $12,000 $2,000 $3,000 $4,500 $6,500 $8,500 $6,500 $4,500 $3,000 Quando Sarah deve trocar o seu carro (se houver necessidade) durante os próximos três verões para minimizar seu custo total líquido de aquisição, operação e manutenção dos carros durante seus quatro anos de faculdade? (a) Formule este problema como um problema de caminho mais curto. (b) Use o algoritmo descrito na Aula 19, Slide 19 para resolver este problema do caminho mais curto. (c) Formular e resolver um modelo em planilha de Excel para esse problema. 28

29 Trabalho para casa 6.2 (I) A Usina Fagersta actualmente obtém o seu minério de ferro de duas minas. Este minério é enviado para uma das duas instalações de armazenamento. Quando necessário, então ele é enviado para a fábrica da empresa de aço. O diagrama abaixo ilustra esta rede de distribuição, onde M1 e M2 são as duas minas, A1 e A2 são as duas instalações de armazenamento, e U é a usina siderúrgica. O diagrama mostra também os valores mensais produzidos nas minas e necessário na fábrica, bem como o custo de transporte e a quantidade máxima que pode ser enviada por mês por cada via. 29

30 Trabalho para casa 6.2 (II) a) Formule o modelo de Programação Linear para esse problema como um problema de Fluxo de Custo Mínimo.; b) Resolva o problema por meio do Solver do Excel. 30

31 Trabalho para casa 6 Entregar em manuscrito até 10 minutos depois do início da aula de terça-feira dia 9 de Outubro e enviar até as 5 horas da mesma terça-feira com o subject : TPC06. 31