Lista 3 - Exercícios sobre Modelagem Matemática

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1 1 Lista 3 - Exercícios sobre Modelagem Matemática 1) Uma empresa de Agricultura quer decidir quais e em que quantidade os alimentos soja, arroz e feijão devem ser plantados em uma determinada área de forma a maximizar a Renda Liquida do produtor rural. Gleba Produção Esperada Renda Bruta Esperada Custo de Produção Tamanho (sacas/hectare) (reais/hectare) (reais/hectare) (hectare) Soja Arroz Feijão Soja Arroz Feijão Soja Arroz Feijão Mínimo (sacas ou hectares) Máximo (hectares) 1500 sacas 80 hectares 50 hectares Pelas restrições impostas pelo proprietário da fazenda precisa-se colher no mínimo 1500 sacas de soja, pois são para produzir semente encomendada; pretende-se plantar, no mínimo, 50 hectares de feijão plantados, pois é terra de primeiro ano (terra fraca) e, no máximo, 80 hectares de terra para plantio de arroz, pois se corre o risco de perda e prefere-se, neste ano, não arriscar muito. A Produção Esperada diz respeito ao que se espera de cada gleba (porção de terra) para o cultivo de cada um dos alimentos. A Renda Liquida esperada é a diferença entre a Renda Bruta Esperada e o Custo de Produção. Construa um modelo matemático para este problema: Defina claramente as variáveis de decisão, descreva o significado da função objetivo e das restrições do modelo. x ij : quantidade de hectares na Gleba i (i = 1,2,3) destinados para o plantio do Produto j (j = 1 Soja, j = 2 Arroz e j = 3 Feijão). MAX = ( )x 11 + ( )x 12 + ( )x 13 + (350 90)x 21 + ( )x 22 + ( )x 23 + ( )x 31 + ( )x 32 + ( )x 33 32x x x x 12 + x 22 + x x 13 + x 23 + x Mínimo 1500 sacas de Soja Máximo 80 hectares de Arroz Mínimo 50 hectares de Feijão x 11 + x 12 + x Limite máximo de hectares na Gleba 1 x 21 + x 22 + x Limite máximo de hectares na Gleba 2 x 31 + x 32 + x Limite máximo de hectares na Gleba 3 x ij 0

2 2 2) Três navios serão carregados no porto de Tubarão com minério de ferro. O terminal de minério tem 4 berços onde cada um deles possui um shiploader com capacidade diferente. Devido às diferenças nas capacidades dos navios e dos shiploaders, há diferentes tempos de carregamento, dependendo das combinações entre navios e berços. A tabela a seguir apresenta os tempos de carregamento dos navios em horas para as diferentes combinações navio-berço. Berço Navio A B C Por exemplo, se o navio A for carregado no berço 1, demorará 7 horas; mas se o mesmo navio for carregado no berço 2, demorará 13 horas. Formule o problema de modo que o tempo de carregamento total dos navios seja mínimo. x ij = { 1 Se o navio i for alocado no berço j 0 caso contrário MIN = 7x x x x x x x x x x x x 34 x 11 + x 21 + x 31 1 Garante que somente um navio será alocado no Berço 1 x 12 + x 22 + x 32 1 Garante que somente um navio será alocado no Berço 2 x 13 + x 23 + x 33 1 Garante que somente um navio será alocado no Berço 3 x 14 + x 24 + x 34 1 Garante que somente um navio será alocado no Berço 4 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 O navio 1 só pode ser alocado para um único Berço O navio 2 só pode ser alocado para um único Berço O navio 3 só pode ser alocado para um único Berço x ij {0,1} 3) A FlexCar precisa decidir se produz ou compra quatro componentes que são usados em uma série de veículos. Se produzir os componentes em suas próprias instalações, ele precisará usar seis máquinas diferentes. A tabela a seguir oferece os tempos-máquina, os preços de compra e os custos de fabricação de cada um dos componentes: Máquina [h/componente] Custos de [$/componente] Componente A B C D E F Fabricação Compra 1 0,04 0,02 0,02 0,03 0,06 2,55 3,10 2 0,01 0,05 0,15 0,09 0,06 2,47 2,60 3 0,02 0,06 0,06 0,20 0,20 4,40 4,50 4 0,06 0,04 0,15 0,05 1,90 2,25

3 3 Cada uma das máquinas tem uma disponibilidade de 40 horas semanais, e a demanda é de 150 para cada componente por semana. Formule o problema como um problema de programação inteira mista 0-1. x i = { 1 Será fabricado o componente i 0 caso contrário y i = { 1 Será comprado o componente i 0 caso contrário MIN = 150 (2,55x 1 + 2,47x 2 + 4,40x 3 + 1,90x 4 + 3,10y 1 + 2,60y 2 + 4,50y 3 + 2,25y 4 ) x 1 + y 1 = 1 x 2 + y 2 = 1 x 3 + y 3 = 1 x 4 + y 4 = 1 Garante que se fabricar o componente 1 este não será comprado ou viceversa Garante que se fabricar o componente 2 este não será comprado ou viceversa Garante que se fabricar o componente 3 este não será comprado ou viceversa Garante que se fabricar o componente 4 este não será comprado ou viceversa 150 (0,04x 1 + 0x 2 + 0,02x 3 + 0,06x 4 ) 40 Disponibilidade da máquina (0,02x 1 + 0,01x 2 + 0,06x 3 + 0,04x 4 ) 40 Disponibilidade da máquina (0,02x 1 + 0,05x 2 + 0x 3 + 0,15x 4 ) 40 Disponibilidade da máquina (0x 1 + 0,15x 2 + 0,06x 3 + 0x 4 ) 40 Disponibilidade da máquina (0,03x 1 + 0,09x 2 + 0,20x 3 + 0x 4 ) 40 Disponibilidade da máquina (0,06x 1 + 0,06x 2 + 0,20x 3 + 0,05x 4 ) 40 Disponibilidade da máquina 6 x i, y i {0,1} 4) A administração municipal de uma cidade industrializada pretende instalar uma estação de tratamento para despoluir o rio que passa pela cidade. Estudos preliminares mostram que o rio apresenta quatro índices em desacordo com as recomendações da Organização Mundial de Saúde, conforme tabela a seguir: Índice Valor observado (g m 3 ) Valor recomendado (g m 3 ) A máx. B máx. C máx. D 8 25 min. Como primeiro passo foi aberta concorrência pública para construção da estação de tratamento com capacidade para 100 m 3 h (Vazão máxima do Rio). Uma das firmas participantes da concorrência concluiu que a estação de tratamento poderia utilizar até cinco processos em combinação. As unidades de processo são definidas em m 3 h. A qualidade da água, obtida nos diversos processos, está na tabela abaixo, onde os índices estão em g m 3.

4 4 Índice Processos A 10 (g m 3 ) B C D Custo do Tratamento ($ m 3 ) 5,50 6,10 7,90 7,01 4,82 A água tratada pelos diversos processos é reunida, formando um produto cuja qualidade depende linearmente dos índices obtidos nos diversos tratamentos possíveis (inclusive de uma eventual fração de água não tratada que mantém os índices originais). Para elaborar sua proposta, a firma interessada deve determinar os fluxos destinados aos diversos processos de modo a obter um produto final de acordo com o padrão da OMS e pelo menor custo possível. Estabeleça um modelo de programação linear para auxiliar nessa tarefa. 2 o ponto de medição Processo 1 Processo 2 Processo 3 Processo 4 Processo 5 1 o ponto de medição x i : quantidade de água a ser tratada pelo processo i (i = 1,.., 6) para descontaminar o Rio incluindo a fração não tratada (i = 6). MIN = 5,50x 1 + 6,10x 2 + 7,90x 3 + 7,01x 4 + 4,82x 5 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = x 1 + 8x x x x x x 1 + 6x x x x x x x 2 + 7x 3 + 9x x x x x x x x 5 + 8x Vazão máxima Índice A recomendado pela OMS Índice B recomendado pela OMS Índice C recomendado pela OMS Índice D recomendado pela OMS x i 0 5) Considere uma fábrica de pré-moldados que produz dois tipos de vigas, cujas demandas para as próximas três semanas são conhecidas, conforme a Tabela 1. Tabela 1 Demanda de vigas Demanda de vigas Período 1 Período 2 Período 3 Item Item

5 5 Os produtos utilizam os mesmos tipos de recursos, porém em quantidades diferentes. Suponha, por simplicidade, que apenas um centro de trabalho esteja disponível para a produção dos dois itens, cuja disponibilidade é de 40 horas por período e que a produção de uma unidade do item 1 consuma 15 minutos e uma unidade do item 2 consuma 20 minutos. Os custos de produção por período são conhecidos e dados pela tabela 2. Tabela 2 Custos de Produção Custos de produção Período 1 Período 2 Período 3 Item Item Admite-se que a produção possa ser antecipada e estocada para ser utilizada nos períodos seguintes. Os custos de estocagem são dados na Tabela 3 (por exemplo, uma unidade do item 1 pode ser produzida no período 2 e guardada em estoque para atender a demanda no período 3, por R$ 3,00/unidade). Tabela 3 Custos de Estocagem Custos de produção Período 1 Período 2 Período 3 Item Item 2 2,5 3,5 4,5 Deseja-se definir um plano da produção de modo que os pedidos sejam atendidos ao menor custo de produção e estocagem. Os estoques iniciais dos dois produtos são nulos e deseja-se que seus estoques ao final do horizonte de planejamentos também sejam nulos. x it : quantidade da viga do tipo i produzido no período j. I it : quantidade da viga do tipo i estocada no final do período j. MIN = 20x x x x x x I I ,5I ,5I 22 x 11 I 11 = 100 Conservação de estoque viga 1 no período 1 x 12 + I 11 I 12 = 90 Conservação de estoque viga 1 no período 2 x 13 + I 12 = 120 Conservação de estoque viga 1 no período 3 x 21 I 21 = 40 Conservação de estoque viga 2 no período 1 x 22 + I 21 I 22 = 70 Conservação de estoque viga 2 no período 2 x 23 + I 22 = 80 Conservação de estoque viga 2 no período 3 0,25x ,33x Capacidade de produção no período 1 0,25x ,33x Capacidade de produção no período 2 0,25x ,33x Capacidade de produção no período 3 x it, I it 0

6 6 6) Considere uma companhia distribuidora de bebidas que tem 2 centros de produção (Araraquara e S.J, dos Campos), 2 depósitos (Campinas e Barra Mansa) e 3 mercados consumidores principais (São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro). Suponha que os mercados sejam abastecidos somente a partir dos depósitos. Os custos unitários de se transportar uma unidade do produto de cada centro de produção para cada depósito e de cada depósito para cada mercado consumidor são dados nas Tabelas 1 e 2, respectivamente. Tabela 1 Custos unitários de transporte de centros de suprimento aos depósitos. Centros de Depósitos suprimento Campinas Barra Mansa Araraquara 1 3 S. J. Campos 1 2 Tabela 2 Custos unitários dos depósitos aos mercados consumidores. Depósitos Mercados Consumidores São Paulo Belo Horizonte Rio de Janeiro Campinas Barra Mansa Sabe-se que as demandas dos mercados consumidores são: 500 (São Paulo), 400 (Belo Horizonte) e 900 (Rio de Janeiro). Também, sabe-se que as ofertas nos centros de suprimento são: 800 (Araraquara) e 1000 (S. J. Campos). Construir um modelo matemático para minimizar os custos de transporte da companhia x ij : quantidade do produto enviada da localidade i à localidade j. MIN = 1x x x x x x x x x x 47 x 13 + x Restrição de oferta da localidade 1 x 23 + x Restrição de oferta da localidade 2 x 35 + x 45 = 500 Restrição de demanda da localidade 5 x 36 + x 46 = 400 Restrição de demanda da localidade 6 x 37 + x 47 = 900 Restrição de demanda da localidade 7 x 13 + x 23 x 35 x 36 x 37 = 0 Conservação de fluxo na localidade 3 x 14 + x 24 x 45 x 46 x 47 = 0 Conservação de fluxo na localidade 4 x ij 0

7 7 7) A preocupação com a preservação do meio ambiente tem sido cada vez importante para melhorar a qualidade de vida. Uma maneira de preservar nosso meio ambiente é cuidar para que a poluição dos recursos naturais esteja sob controle. Um desses problemas é ilustrado a seguir. Pense numa fábrica que desvia parte da água de um rio para ser utilizada em seu processo produtivo. Durante a produção, componentes químicos poluidores A e B são adicionados à água desviada, que depois retorna ao rio. A água desviada, se não tratada, polui o rio, deixando-o com níveis intoleráveis desses poluentes. O processo produtivo não acarreta mudanças no fluxo de água. A adição dos poluentes também não afeta esse volume. As concentrações de poluentes consideradas aceitáveis pela Companhia Estadual de Controle Ambiental são de a0 e b0 gramas por ML (Milhões de Litros) de água por dia para os componentes A e B, respectivamente. A vazão do rio é de V ML por dia e a fábrica precisa de pelo menos U ML de água por dia para sua produção. Existem 3 tipos de tratamento que a empresa pode utilizar para diminuir a concentração de poluentes resultantes de seu processo de produção. Esses tratamentos têm custos diferenciados ($/ML) e resultam, após o tratamento, em níveis de concentração diferentes (gramas por ML) de cada um dos poluentes, como indicado na Tabela 1 (isto é, a1 é a quantidade do componente A após o tratamento 1 de 1 ML de água poluída) Tabela 1 Eficiência e custo dos tratamentos de água. Tratamento A a 1 a 2 a 3 B b 1 b 2 b 3 Custo/ML c 1 c 2 c 3 O problema consiste em determinar a quantidade de água a ser tratada em cada tipo de tratamento, de modo que as exigências ambientais regulamentadas em lei sejam atendidas e o custo total de tratamento seja mínimo. Dica: Defina a variável de decisão x i, i=1,2,3, como a quantidade de água (em ML) por dia a ser tratada pelo tratamento 1, 2, 3, respectivamente. x i : quantidade de água a ser tratada pelo tratamento i (i = 1,.., 3). MIN = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 x 1 + x 2 + x 3 70 x 1 + x 2 + x 3 70 (a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 )/(x 1 + x 2 + x 3 ) a 0 (b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 )/(x 1 + x 2 + x 3 ) b 0 Necessidade da fabrica Vazão do rio Concentração do poluente A Concentração do poluente B x i 0

8 8 8) Um avião de transporte possui quatro compartimentos para carga a saber: compartimento frontal, compartimento central, compartimento de cauda e porão de granel. Os três primeiros compartimentos só podem receber carga em containers, enquanto o porão recebe material em granel. A Tabela 1 resume a capacidade do aparelho: Tabela 1 Dados dos compartimentos. Compartimento Peso Máximo (ton) Espaço Máximo (m 3 ) Compartimento frontal 5 35 Compartimento central 7 55 Compartimento da cauda 6 30 Porão de granel 7 30 Objetivando o equilíbrio do vôo, é indispensável que a distribuição de carga seja proporcional entre os compartimentos. Para carregar o avião, existem três tipos de containers e duas cargas em granel. Os dois tipos de carga em granel podem ser facilmente transportados conjuntamente, por isso essa carga é aceita em qualquer quantidade. Tabela 1 Dados da carga. Carga tipo Peso por container ou por m 3 (ton) Volume por Container (m 3 ) Lucro $/ton 1 (container) 0,7 0, (container) 0, (container) 0,2 0, (granel) 1,2/m (granel) 1,7/m Elaborar o problema de programação linear que otimize a distribuição da carga de forma a maximizar o lucro do vôo do cargueiro. x ij quantidade da carga do tipo i (i=1,2,3 números de containers, i=4,5 toneladas do granel i),alocada ao compartimento j (j=1 frente, j=2 centro, j=3 cauda, j=4-porão). MAX = 200(x 11 + x 12 + x 13 ) + 220(x 21 + x 22 + x 23 ) + 175(x 31 + x 32 + x 33 ) + 1,2 235 x ,7 180 x 54 x 11 + x 21 + x 31 5 Peso máximo no compartimento 1 x 12 + x 22 + x 32 7 Peso máximo no compartimento 2 x 13 + x 23 + x 33 6 Peso máximo no compartimento 3 1,4x ,7x 54 7 Peso máximo no compartimento 4 0,5x 11 + x ,25x Espaço máximo no compartimento 1 0,5x 12 + x ,25x Espaço máximo no compartimento 2 0,5x 13 + x ,25x Espaço máximo no compartimento 3 x 44 + x Espaço máximo no compartimento 4 7(x 11 + x 21 + x 31 ) 5(x 12 + x 22 + x 32 ) = 0 Equilíbrio entre compartimento 1 e 2 6(x 11 + x 21 + x 31 ) 5(x 13 + x 23 + x 33 ) = 0 Equilíbrio entre compartimento 1 e 3

9 9 7(x 11 + x 21 + x 31 ) 5(1,2x ,7x 54 ) = 0 Equilíbrio entre compartimento 1 e 4 6(x 12 + x 22 + x 32 ) 7(x 13 + x 23 + x 33 ) = 0 Equilíbrio entre compartimento 2 e 3 7(x 12 + x 22 + x 32 ) 7(1,2x ,7x 54 ) = 0 Equilíbrio entre compartimento 2 e 4 7(x 13 + x 23 + x 33 ) 7(1,2x ,7x 54 ) = 0 Equilíbrio entre compartimento 3 e 4 x ij 0 9) A siderúrgica PURO S.A. possui 3 usinas e cada uma delas requer uma quantidade mensal mínima de minério para operar. O PURO S.A. adquire minério de 4 minas diferentes. Cada uma das minas tem uma capacidade máxima de produção mensal estabelecida. Por imposições contratuais, o custo do minério é composto por um custo fixo mensal para cada mina (este valor é pago em caso de haver produção na mina), mais um custo de transporte (R$/t) que varia de acordo com a distância entre as minas e usinas, ou seja, cada par mina/usina tem um custo diferente. Os dados são mostrados a seguir: MINAS Usina 1 Usina 2 Usina 3 Capacidade máxima Custo das minas (t/mês) Fixo (R$) Mina 1 (R$/t) Mina 2 (R$/t) Mina 3 (R$/t) 6,5 10,8 12, Mina 4 (R$/t) 8,5 12,7 9, Quantidade requerida (t/mês) Construir um modelo matemático para determinar a quantidade de minério a ser comprada de cada mina e levada a cada usina de forma a minimizar o custo total de compra de minério. x ij : quantidade de minério a ser transportado da mina i para a usina j. y i = { 1 Se a mina i for usada 0 caso contrário MIN = 10x x x x x x ,5x ,8x ,4x ,5x ,7x ,8x y y y y 4 x 11 + x 12 + x y 1 x 21 + x 22 + x y 2 x 31 + x 32 + x y 3 x 41 + x 42 + x y 4 Capacidade máxima na mina 1 se for usada Capacidade máxima na mina 2 se for usada Capacidade máxima na mina 3 se for usada Capacidade máxima na mina 4 se for usada x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = Demanda da usina 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = Demanda da usina 2 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = Demanda da usina 3 x ij 0 e y i {0,1}

10 10 10) A mineradora PURO S.A. recebeu um pedido para produzir toneladas de minério que atenda às seguintes especificações: Elemento Químico Teor Mínimo Teor Máximo permitido (%) permitido (%) Fe 44,5 49,5 Al 2O 3 0,27 0,37 P 0,035 0,043 FeS 2 2,05 2,65 He Sabe-se que este pedido pode ser atendido a partir de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo são mostradas a seguir. Pilha Fe Al 2O 3 P FeS 2 He (%) (%) (%) (%) (%) Massa (ton) Custo ($/ton) 1 52,64 0,52 0,084 4,48 42, , ,92 0,18 0,029 0,65 59, , ,19 0,50 0,050 2,52 49, , ,36 0,22 0,039 1,74 48, , ,94 0,46 0,032 2,36 53, , ,97 0,54 0,057 4,34 46, , ,46 0,20 0,047 5,07 47, , ,52 0,32 0,039 3,51 49, , ,09 0,95 0,059 4,10 38, , ,00 0,26 0,031 2,51 51, , ,09 0,22 0,040 4,20 46, , ,77 0,20 0,047 4,81 45, , ,03 0,24 0,047 4,17 42, , ,96 0,29 0,052 4,81 41, , ,09 0,17 0,031 1,38 56, ,10 Devido a imposições contratuais, se a pilha for usada, no mínimo deve-se apanhar 500 toneladas desta. Qual deverá ser a estratégia da mineradora PURO S.A. para atender ao pedido de forma a minimizar os custos? x i : quantidade de minério a ser retirado da pilha i. y i = { 1 Se a pilha i for usada 0 caso contrário E consideremos as seguintes matrizes como parâmetros: Parâmetros tl j tu j Fe (j = 1) 44,5 49,5 Al 2O 3 (j = 2) 0,27 0,37 P (j = 3) 0,035 0,043 FeS 2 (j = 4) 2,05 2,65 He (j = 5) 38 50

11 11 Pilha (i) Fe (%) (j = 1) Al 2O 3 (%) (j = 2) t ij P (%) (j = 3) FeS 2 (%) (j = 4) He (%) (j = 5) 1 52,64 0,52 0,084 4,48 42, , ,92 0,18 0,029 0,65 59, , ,19 0,50 0,050 2,52 49, , ,36 0,22 0,039 1,74 48, , ,94 0,46 0,032 2,36 53, , ,97 0,54 0,057 4,34 46, , ,46 0,20 0,047 5,07 47, , ,52 0,32 0,039 3,51 49, , ,09 0,95 0,059 4,10 38, , ,00 0,26 0,031 2,51 51, , ,09 0,22 0,040 4,20 46, , ,77 0,20 0,047 4,81 45, , ,03 0,24 0,047 4,17 42, , ,96 0,29 0,052 4,81 41, , ,09 0,17 0,031 1,38 56, ,10 Qu i c i MIN = (c i + x i ) i pilhas (t ij tu j )x i 0 i pilhas (t ij tl j )x i 0 i pilhas para todo j parametros (Restrição teor máximo) para todo j parametros (Restrição teor mínimo) x i Qu i y i para todo i pilhas (Restrição de Quantidade max ) i pilhas x i = 6000 para todo j parametros (Restrição do tamanho pedido) x i 500 y i para todo i pilhas (Restrição de Quantidade min ) y i {0,1}