Breve revisão de Análise Combinatória

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1 1. Princípio fundamental da contagem Breve revisão de Análise Combinatória Considere que certo procedimento pode ocorrer de duas maneiras diferentes, quais sejam: A 1ª maneira, ocorrendo de a modos distintos; A 2ª maneira, ocorrendo de b modos distintos. Portanto, a quantidade de maneiras de ocorrer o procedimento é dada pelo produto a*b. Quando o procedimento ocorrer de três modos diferentes, o total de possibilidades será: a*b*c. Vamos ver um exemplo? Exemplo Três bicicletas (B 1, B 2 e B 3 ) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os dois primeiros lugares? 1º lugar 2º lugar Pontos (3 possibilidades) (2 possibilidades) (6 possibilidades) B B 1 B 2 B B B 1 B 3 B B 2 B 1 B B B 2 B 3 B B 3 B 1 B B B 3 B 2 Observe que: O número de possibilidades para o 1º lugar é 3; O número de possibilidades para o 2º lugar é 2; O número total de possibilidades é 3 * 2 = 6. O esquema desenvolvido no exemplo é chamado de árvore das possibilidades e facilita a resolução dos problemas de contagem.

2 2. Fatorial de um número O produto de n fatores (a começar por n) até o valor 1 é denominado fatorial de n e o indicamos por n! Portanto: n! = n * (n-1) * (n-2) *... *3*2*1 Sendo assim, temos: 0! = 1 1! = 1 2! = 2*1 = 2 3! = 3*2*1 = 6 4! = 4*3*2*1 = 24 5! = 5*4*3*2*1 = 120 Veja, a seguir, um exemplo. Exemplo Vamos simplificar o seguinte número: Realizando a simplificação, temos: Colocando em evidência n*(n-1)!, temos: 3. Arranjos simples Arranjo é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Quantos números de 2 algarismos distintos são formados com os algarismos do conjunto A = {1, 2, 3, 4}?

3 1º algarismo 2º algarismo Números formados (4 possibilidades) (3 possibilidades) (12 números) Observe que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si: Pela ordem dos elementos (13 ou 31, por exemplo); Pelos elementos componentes natureza (14 e 43, por exemplo). Os grupos obtidos são denominados arranjos simples dos 4 elementos, tomados 2 a 2, e são indicados por A 4,2. A fórmula geral do arranjo simples é a seguinte: 4. Combinações simples = = *Arranjo simples de n elementos tomados p a p. Combinação é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. Quantas comissões de duas pessoas podem ser formadas com 4 alunos (A, B, C e D) de 3 uma classe?

4 1º aluno 2º aluno Números de comissões (4 possibilidades) (3 possibilidades) (6 comissões) B AB A C AC D AD A BA B C BC D BD A CA C B CB D CD A DA D B DB C DC Observe que os grupos AB e BA representam a mesma comissão. Os alunos A e B não importam a ordem, mas formam apenas uma comissão. Isso significa que a mesma comissão foi contada duas vezes. Portanto, o total de comissão é seis 12 / 2 = 6. Os grupos assim obtidos são denominados combinações simples dos 4 elementos, tomados 2 a 2, e são indicados por. A fórmula geral da combinação simples é a seguinte: 5. Permutações simples *Combinação de n elementos tomados p a p. Permutação é o tipo de agrupamento ordenado em que em cada grupo entram todos os elementos. Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados, usando os algarismos 1, 3 e 5?

5 1º algarismo 2º algarismo 3º algarismo Números formados (3 possibilidades) (2 possibilidades) (1comissões) (6 números) Observe que a permutação simples é um caso particular de arranjo simples, isto é: 6. Permutação com elementos repetidos = n! O número de permutações possíveis com n elementos, dentre os quais certo elemento se repete vezes, é igual ao fatorial de n dividido pelo fatorial de. Veja: Considere que tenhamos n elementos, dos quais: ; ;. O número de permutações distintas de n elementos será: Quantos anagramas tem a palavra MARCIA? A palavra MARCIA tem 6 letras, sendo que 2 são iguais a A. Portanto:

6 Sendo assim, a palavra MARCIA tem 360 anagramas. Resumo Veja o que estudamos até agora: 1. Arranjos são agrupamentos em que a ordem dos elementos É importante; 2. Combinações são agrupamentos em que a ordem dos elementos NÃO é importante; 3. Permutações são arranjos de n elementos que apenas trocam de lugar entre si.