ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM PROBLEMAS DE TRANSPORTE

Transcrição

1 ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM PROBLEMAS DE TRANSPORTE Keila Nogueira,Kenedy Nogueira, Keiji Yamanaka, Edgard Lamounier ufu.br) Faculdade de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Uberlândia Uberlândia MG, Brasil Resumo - Este trabalho apresenta o uso de técnicas de algoritmos genético com a proposta de auxiliar no problema de transporte. Será implementado um estudo de caso de uma fabrica de refrigerantes, com o intuito de minimizar custos e maximizar lucros. Palavras-Chave - Algoritmos Genéticos, Otimização de Rotas. GENETIC ALGORITHMS APPLIED IN TRANSPORTATION PROBLEMS Abstract - This paper presents the use of techniques of genetic algorithms with the proposal to help the problem of transport. Will be implemented a case study of a manufacturing soft drinks in order to minimize costs and maximize profits. 1 Keywords - Genetic Algorithms, Optimization I. INTRODUÇÃO Tradicionalmente para resolução de Problemas de Otimização (maximização e minimização) são usadas técnicas como simplex, método gráfico e outros. (Hermes,24). O Problema de Transporte (PT) é talvez o mais representativo dos Problemas de Programação Linear. É um problema de grande aplicação prática, tendo sido estudado por vários investigadores. (Canavarro, 23) O problema geral de transporte consiste em determinar a forma mais eficiente, isto é, mais econômica de enviar um bem disponível em quantidades limitadas em determinados locais para outros locais onde é necessário. A resolução de um problema de transporte envolve basicamente três etapas: 1ª consiste em encontrar uma solução básica inicial; 2ª procede-se ao teste para verificar se essa solução é ótima ou não; 3ª fase consiste na passagem desta solução a outra melhor, caso exista evidentemente. Formulação do Problema: O problema clássico de transporte surge como necessidade de programar a distribuição ótima de um produto que: 1. se encontra disponível em m origens nas quantidades fixas ai> (oferta), com i=1,2,...,m. 2. é necessário em n destinos nas quantidades fixas bj> (procura), com j=1,2,...,n; 3. deve ser enviado diretamente para os destinos, esgotando as disponibilidades em cada origem e satisfazendo as necessidades em cada destino, isto é, a procura total iguala a oferta total; Tendo por objetivo a minimização do custo total envolvido no programa de distribuição desse produto, em que se supõe que os custos unitários de transporte de cada origem para cada destino, cij, são independentes das quantidades transportadas, xij. Figura 1- Problemas de Transporte. O que são problemas de Transporte? Figura 2- Esquema Problemas de Transporte.

2 Para qualquer plano de transporte admissível a soma em linha dos xij quantidade ai, e a soma dos xij igualam à quantidade de. O custo do percurso (i,j) é dado por cij X xij, pelo que o custo total do plano de transporte é dado por Origem Destino 1 c 11 x 11 2 c 21 x 21. Tabela 1- Origem X Destino n Oferta x 12 x 22 c 12 c c 1n x 1n... c 2n x 2n m c m1 c m2... c m3 Procura x m1 x m2 A formalização matemática do problema de transporte como problema de programação linear vem então: II. OBJETIVO Está proposta tem por objetivo resolver problemas de transporte usando Algoritmos Genéticos. Inicialmente serão mostradas soluções convencionais usando alguns métodos. A. Usando a solução convencional Certa empresa possui dois armazéns, A1 e A2, onde dispõe de 1 e 5 unidades de determinado produto, respectivamente, com o que abastece três mercados, M1, M2 e M3, que consomem 8, 3 e 4 unidades. Sabendo que os custos de transporte são dados no quadro. Tabela 2 Custo1 M1 M2 M3 A A A formalização do problema- minimização do custo total de transporte vem: x mn a 1 a 2 a m b1 b2... bn ai= bi B. Obtenção de uma Solução Básica Admissível (SBA) inicial Como se afirmou, qualquer SBA de um PT tem (m+n-1) variáveis básicas. A questão que se levanta é como encontrar uma dessas soluções. Uma forma pouco eficiente consiste em fixar (mn)-(m+n-1) variáveis com o valor zero e resolver o sistema em ordem às (m+n-1) restantes. Existem, contudo, métodos alternativos como, por exemplo, o do Canto do Noroeste, do Mínimo da matriz de Custos, Método de Vogel, entre outros. 1- Método do Canto do Noroeste (NW) ou Método do Canto Superior Esquerdo Este método é de aplicação muito fácil, mas tem um grande inconveniente que é o fato de não considerar a matriz de custos na identificação da SBA inicial. Assim, considerando o PT na forma de quadro apresentada atrás, a variável básica escolhida é, em cada quadro, a variável situada no canto superior esquerdo, donde a designação de método do canto do NW. No primeiro quadro, a variável a tomar como básica é sempre ; no segundo quadro a variável básica escolhida será ou, consoante tenha sido traçada a coluna 1 ou a linha 1, respectivamente, e assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas. Considere-se o exemplo anterior para obter uma SBA utilizando o método do Canto do Noroeste. Atribui-se a Tabela 3 Origem x Destino x o maior valor possível, isto é o mínimo entre a oferta da origem 1 e a procura no destino 1, = min{1,8} =8. O destino 1 vê desta forma satisfeita a procura respectiva, por isso traça-se o resto da coluna 1, e

3 ficam ainda disponíveis 1-8=2 unidades na origem 1. Tem-se um novo quadro. Quadro 4 Quadro 1 A escolha da nova variável recai agora sobre a que está no canto mais noroeste, ou seja, =min{2,3} =2, ficando a origem 1 completamente esgotada. Traça-se a linha 1 e ficam por satisfazer 3-2=1 unidades no destino 2. Repete-se o procedimento no quadro. Quadro 2 2- Método do Mínimo da Matriz de Custos Ao contrário do método anterior, o algoritmo que agora se apresenta toma em consideração a matriz de custos,, pelo que, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução ótima. Neste método, a escolha da variável a ser básica, é decidida pelo menor custo em cada quadro (em caso de empate a escolha é arbitrária). Este método pode ainda ser particularizado, como Método do Mínimo de Matriz de Custos em Linha, ou Método do Mínimo de Matriz de Custos em Coluna. Retomese novamente o exemplo anterior. O menor dos custos da matriz é pelo que = { min 5,4} =4. O destino 3, fica satisfeito, traçando-se a respectiva coluna, e ficam disponíveis 5-4=1 unidades na origem 2. Tem-se: Tem-se nova variável básica = min{5,1} =1 resultando no quadro: Quadro 5 Para escolher a nova variável básica, procura-se outra Quadro 3 Resta agora, apenas uma quadrícula (2,3), verificando-se obviamente, a igualdade entre a oferta e a procura, pelo que vez o menor custo que é =3, pelo que = min{1,3} =1, ficando assim esgotada a origem 2, e ficando ainda em falta no destino 2, 3-1=2 unidades. =4, esgotando-se assim, em simultâneo origem 2 e destino 3. A SBA inicial obtida é (m+n-1=4 variáveis básicas) e as restantes, ou seja, as não básicas iguais à zero. O valor da FO desta solução é: z = = 52 Quadro 6 A representação da solução no quadro é:

4 Resta agora =min{8,8}= 8, muito embora com um custo alto, 5, onde se tem a oferta igual à procura, pelo que ficam esgotadas as linha e coluna correspondentes. A solução que se apresenta é a seguinte: Quadro 9 Escolhe-se a maior diferença, e de novo há empate para ambas as linhas. Arbitrariamente escolhe-se a linha 1 (origem 1), cuja variável de menor custo é Quadro 7 =min{4,1} =4, ficando assim esgotado o 3º destino. Por coincidência esta solução é igual à obtida pelo Canto Superior Noroeste, com custo igual a Método de Vogel Este método tem em geral melhores resultados do que os dois métodos anteriores, uma vez que a escolha feita para variável básica, é em cada quadro o de menor custo da linha ou coluna associada à maior das diferenças entre os dois menores custos de cada linha e de cada coluna. Para aplicação deste método é útil acrescentar uma linha e uma coluna ao quadro para se escreverem as diferenças entre os dois menores custos de cada linha e de cada coluna. Quadro 1 Agora vai-se afetar à variável ={ min 8,2}=, e restam depois 6 unidades para 11 x obrigatoriamente. Quadro 8 Neste caso há empate em toas as diferenças pelo que arbitrariamente vou escolher a 2ª coluna, isto é, o 2º destino, e aí, a variável de menor custo é =min{3,5}= 3. O 2º destino fica esgotado, e na origem 2 há ainda 5-3=2 unidades. Voltam a calcular-se as diferenças para as linhas e colunas, tendo em atenção às quadrículas que já estão esgotadas. Quadro 11 Esta solução tem custo igual a 52. Note-se que é diferente das obtidas pelos outros dois métodos, mas em termos de custo é exatamente igual. III. DETALHES DA IMPLEMENTAÇÃO A proposta do trabalho é desenvolver um estudo de caso que tenha o problema de transporte, utilizando técnicas de Algoritmos Genéticos. Será usado um problema real de uma fabrica de refrigerante.

5 O sistema ter terá uma única cidade de origem (Araguari) e n cidades destinos. O custo é dado de acordo com as distâncias das cidades a ser percorrida e o peso será a quantidade de refrigerantes a serem entregues. Com isso será possível minimizar custos e maximizar lucros. Existem algumas restrições no sistema, como por exemplo, a demanda (estoque) tem que ser maior ou igual a solicitações (vendas). Abaixo será demonstrado um exemplo utilizando o método convencional. Partindo do principio que saía da fabrica dos caminhões um CAM1 do tipo caminhote e um CAM2 do tipo caminhão. Estes caminhões irão abastecer três cidades (Monte Carmelo, Coromandel e Unaí), 4, 4 e 6 pacotes respectivamente X 12 = min(2,8)= X 22 = min(2,8)=2 Araguari X 23 = min(6,6)=6 Monte Carmelo Coromandel Unaí Figura 3- Dados Os custos são dados na tabela a seguir: Mont.Carm Cor. Unaí CAM CAM Tabela 2 Custo2 Como foi visto anteriormente existem 3 métodos (Canto do Noroeste, do Mínimo da matriz de Custos, Método de Vogel). Utilizará somente 2 como exemplo. 1- Canto Noroeste CAM1 99 x 11 CAM2 139 x 21 Mont Cor Unaí Oferta 15 x 12 x x 22 x X 11 = min(6,4)=4 6 8 O valor da FO desta solução é: Z= 4*99+2*15+2*19+6*= 383. Isso equivale a R$383, reais de custo. 2- Método do Mínimo de Custo X 11 = min(6,4)=4 X 12 = min(2,4)= Mont Cor Unaí Oferta CAM1 x x 12 x 13 CAM2 139 x x 22 x

6 X 22 = min(2,8)= X 23 = min(6,6)= Como a carga completa dos dois caminhões é 14, 2 pacotes vão para ser vendidos a pronta entrega. O cromosso pode ser formado por até 9 genes, sendo que a posição do gene representa à cidade e o conteúdo a quantidade de pacotes. O cruzamento utilizado foi o Partially Mapped Crossover (PMX). A Mutação utilizado foi a Mutação Swap(por troca), entre dois pontos, ou seja, o gene do ponto 1 é trocado com o gene do ponto 2. Vamos a um exemplo: A fabrica tem que fazer entrega para 3 cidades (Monte Carmelo, Coromandel e Unaí), 4, 4 e 6 pacotes respectivamente. Com o outro método verificamos que o custo foi de R$ 383, reais. Utilizando Algoritmo Genético com 1 gerações,,1 de mutação e,3 de Cross-Over, obtemos o seguinte resultado: Z= 4*99+2*15+2*19+6*= 383. Isso equivale a R$383, reais de custo. Utilizando agora Algoritmos Genéticos Neste estudo de caso a população inicial é a quantidade de pacotes de guaraná, que podem ser aleatórios ou inicializados, ou seja, quando um caminhão sai da fabrica já sai com pedidos para serem entregues, mas, além disso, vai uma carga excedente para ser vendida a pronta entrega. Figura 5- Exemplo1 O Caminhão 1 transportou 8 pacotes, 2 para Coromandel e 6 para Unaí. Já o Caminhão 2, 6 pacotes, sendo que 4 para Monte Carmelo e 2 para Coromandel. Figura 4- Pedidos A figura 4 mostra a quantidade de pacotes que foram solicitados de acordo com os pedidos Unaí 6, Monte Carmelo 4 e Coromandel 2, totalizando 12 pacotes.

7 Clicando no botão Fabrica Araguari, tem-se a visualização da fabrica usando o Google Earth. Figura 8 Fabrica Araguari IV. CONCLUSÕES Figura 6- Rota Percorrida Neste exemplo o custo final obtido foi de R$ 349,4. Se aumentar a taxa de mutação para,2 o custo será melhor, sendo que o caminhão 1 transportará 4 pacotes para Monte Carmelo e 4 para Coromandel, já o caminhão 2 transportará 6 pacotes para Unaí. Neste caso o custo será de R$ 231,6. Chegou à conclusão que após vários testes feitos e apresentado o algoritmo genético conseguiu melhores resultados dos que os métodos convencionais. Conseguindo encontrar menores custos de transporte conseqüentemente obtendo lucros. Como trabalho futuro pretende-se utilizar mais cidades, pois a fabrica distribui refrigerantes para mais de 2 cidades. Visualizar os dados em 3D, utilizando recursos de Realidade Virtual e Aumentada e traçar as rotas utilizando Google Earth. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS C.T Canavarro, 23) (Hermes,24) /restrito/material_de_apoio_pdf Figura 7- Rota Percorrida 2