EAD 350 Pesquisa Operacional Aula 06 Parte 2 Programação Inteira Programação Binária

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1 EAD 350 Pesquisa Operacional Aula 06 Parte 2 Programação Inteira Programação Binária Profa. Adriana Backx Noronha Viana (Adapt. Material Prof. Cesar Alexandre de Souza) backx@usp.br FEA/USP

2 Aula 06 - Agenda Resolução dos Enunciados 10 e 11 Programação Linear Inteira Conceituação Como realizar no Excel Programação Binária Conceituação Como realizar no Excel Atividade 6a e 6B (programação binária)

3 Aula 06 - Objetivos Apresentar a diferença entre a Programação Linear e a Programação Linear Inteira Apresentar como modelar a Programação Linear Inteira no Solver do Excel Apresentar os conceitos da Programação Binária Apresentar como modelar a Programação Binária no Solver do Excel Exercitar a Programação Binária no Solver por meio das atividades 6a e 6b

4 Programação Linear Inteira

5 Programação Linear Inteira Como pode ser percebido na solução do Enunciado 11, a Programação Linear fornece soluções com valores contínuos (isso é, não necessariamente inteiros) Isso pode ser um problema quando é necessário que os valores sejam inteiros, como é o dessa atividade (não é possível contratar 1,3333 estagiários para o primeiro turno, por exemplo) Simplesmente arredondar os valores para cima ou para baixo não resolve o problema, pois a solução arredondada pode não ser viável (infringir alguma das restrições) ou pode não ser a ótima

6 Programação Linear Inteira Por Exemplo, arredondando os valores do exercício 11 para cima ou para baixo (considerando o valor mais próximo) temos a tabela abaixo, com Z (custo) mínimo R$ 1.552: e1 e2 e3 e4 a1 a2 a3 Z (minimizar) Var Coef C Esta não é a solução ótima possível com valores inteiros. Vamos realizar novamente o procedimento do Solver, agora impondo a solução inteira e verificar os resultados (descrito nos próximos slides, passo a passo)

7 Programação Linear Inteira no Excel No solver, a programação linear inteira é obtida acrescentando-se mais uma restrição, aplicada às células que contêm os valores das variáveis de decisão 1) Abra a planilha Atividade Aula 5 Enunciado 11.xls 2) Na aba Ex5b está a planilha com os dados do exercício 3) Abra a janela de parâmetros do Solver e clique no adicionar restrições

8 Programação Linear Inteira no Excel 4) na caixa referencia de célula marque a área correspondente às variáveis de decisão (B15 a H15) 5) Na caixa dropdown para o tipo de restrição, note que além do <=, = e >= que já conhecemos, há também duas outras opções: Int especifica números inteiros Bin especifica números binários (0 ou 1) 6) Selecione a opção Int e clique no OK 7) Note que uma restrição = número inteiro é adicionada OBS No Excel 2007 ou anteriores, a opção para números inteiros é núm, e não int

9 Programação Linear Inteira no Excel 8) Antes de executar o Solver, verifique na janela de opções se a opção ignorar restrições de números inteiros está desmarcada (clique no botão opções na janela de parâmetros do solver). Nota essa opção não é necessária no Excel ) Clique no Resolver 10) Note que no caso da programação linear inteira, não é gerado relatório de sensibilidade

10 En Resposta com Programação Linear Inteira a) Problema de Designação - Dados de Entrada Período do Dia Estagiários Analistas Manhã Analistas Tarde Analistas Noite Número mínimo de Atendentes 8h - meio dia e meio dia - 16h e2 a h - 20h e3 --- a h - meia noite e a3 6 Integral Estagiários Custo/hora Veja o resultado ótimo inteiro b) Variáveis de Decisão e Função Objetivo e1 e2 e3 e4 a1 a2 a3 Z (minimizar) Var Coef C c) restrições e1 e2 e3 e4 a1 a2 a3 LE Condição LD Qtd Atendentes 8h-12h 1 1 4,0 >= 4 Atendentes 12h-16h ,0 >= 8 Atendentes 16h-20h ,0 >= 10 Atendentes 20h-24h 1 1 6,0 >= 6 Proporção I/P 8h-12h ,0 >= 0 Proporção I/P 12h-16h ,0 >= 0 Proporção I/P 16h-20h ,0 >= 0 Proporção I/P 20h-24h ,0 >= 0

11 Programação Binária

12 Programação Binária - Conceito A programação binária é um caso especial da programação inteira Quando as variáveis de decisão em um problema só são permitidas a assumir valores 0 ou 1, tem-se o caso de programação binária. O número de aplicações para este tipo de problema é muito grande: sempre que se deseja indicar como solução um conjunto de decisões do tipo sim/não interdependentes pode-se aplicar a programação binária Uma decisão do tipo sim/não pode ser modelada por uma variável binária, fazendo-se 1=sim e 0=não

13 Quais devem ser os projetos executados, considerando-se a restrição de capital e interrelações entre as decisões (somente construir depósito em cidade em que for construída fábrica)? Programação Binária - Exemplo Uma empresa está considerando uma expansão por meio de uma nova fábrica em Los Angeles ou São Francisco (ou em ambas as cidades). Também está considerando construir armazéns, mas, somente na(s) cidade(s) em que também houver construído uma fábrica. A empresa pode investir até $ 10 milhões nesses projetos A tabela a seguir mostra o VPL (valor presente líquido), ou seja o resultado, e o investimento necessário para cada um dos projetos Decisão VPL (valor presente líquido) Investimento Construir fábrica em Los Angeles $ 9 milhões $ 6 milhões Construir fábrica em São Francisco $ 5 milhões $ 3 milhões Construir depósito em Los Angeles $ 6 milhões $ 5 milhões Construir depósito em São Francisco $ 4 milhões $ 2 milhões

14 Programação Binária - Exemplo Para modelar esse problema com a programação binária utilizaremos 4 variáveis binárias representando a decisão (0=não faz o projeto; 1 = faz o projeto) Variável Binária Decisão VPL (valor presente líquido) Investimento 0= Não Construir fábrica em Los Angeles 1= X1 Construir fábrica em Los Angeles $ 9 milhões $ 6 milhões X2 0 = Não Construir fábrica em São Francisco 1= Construir fábrica em São Francisco $ 5 milhões $ 3 milhões X3 0= Não Construir depósito em Los Angeles 1= Construir depósito em Los Angeles $ 6 milhões $ 5 milhões X4 0 = Não Construir depósito em São Francisco 1= Construir depósito em São Francisco $ 4 milhões $ 2 milhões A partir daí, elabora-se o modelo matemático: Função Objetivo: Max Z (VPL) = 9X 1 +5X 2 +6X 3 +4X 4 Restrições: Capital: 6X 1 +3X 2 +5X 3 +2X 4 <= 10 Depósito somente onde há fábricas: X 3 <= X 1 -X 1 +X 3 <=0 X 4 <= X 2 -X 2 +X 4 <=0 Variáveis X 1, X 2, X 3 e X 4 Binárias

15 Programação Binária no Excel No solver, a programação Binária também é obtida acrescentandose mais uma restrição, aplicada às células que contêm os valores das variáveis de decisão Ao invés de selecionar Int deve-se selecionar Bin para a restrição adicionada Também dever ser verificado se opção ignorar restrições de números inteiros está desmarcada na janela de opções

16 Aplicação de Variáveis Binárias De n possibilidades não mais do que k alternativas. Suponha x i = 0 ou 1 p/ i=1,...,n. A restrição x 1 + x x n < k significa que, no máximo, k alternativas de n possibilidades podem ser escolhidas Decisões dependentes. Não selecionar a alternativa k a não ser que seja selecionada antes a alternativa m. A restrição x k < x m ou x k - x m < 0 impõe esta condição.

17 Atividades da Aula (6a, 6b, 7a, 7b e 8) Resolver e depois responder atividade virtual 5

18 Atividade 6A Elabore a planilha excel com o modelo matemático e a solução em solver para o problema apresentado como exemplo: Uma empresa está considerando uma expansão por meio de uma nova fábrica em Los Angeles ou São Francisco (ou em ambas as cidades). Também está considerando construir armazéns, mas, somente na(s) cidade(s) em que também houver construído uma fábrica. A empresa pode investir até $ 10 milhões nesses projetos A tabela a seguir mostra o VPL (valor presente líquido), ou seja o resultado, e o investimento necessário para cada um dos projetos VPL (valor presente Decisão líquido) Investimento Construir fábrica em Los Angeles $ 9 milhões $ 6 milhões Construir fábrica em São Francisco $ 5 milhões $ 3 milhões Construir depósito em Los Angeles $ 6 milhões $ 5 milhões Construir depósito em São Francisco $ 4 milhões $ 2 milhões Quais devem ser os projetos executados, considerando-se a restrição de capital e interrelações entre as decisões (somente construir depósito em cidade em que for construída fábrica)?

19 Atividade 6B Leia atentamente a descrição da situação empresarial abaixo, elabore o modelo matemático para o problema e resolva utilizando o solver. Um agente de compra e venda de terrenos pretende vender três terrenos e recebeu ofertas para cada um deles de quatro incorporadores diferentes. Devido ao capital necessário, essas ofertas foram feitas de maneira que nenhum incorporador compraria mais do que um terreno. Cada terreno só pode ser vendido para um único incorporador (!). As ofertas em R$ mil estão apresentadas na tabela abaixo. Incorporador Terreno A B C Dica: pense inicialmente quantas decisões sim/não estão implícitas nessa tabela e como representar as inter-relações entre elas O problema guarda semelhança ao problemas de transporte da Aula 4

20 Atividade 7a Instalar, a custo mínimo, câmeras de segurança cobrindo todas as ruas c1 Rua A c2 Rua B c3 Rua I Rua K Rua G Rua F c4 Rua C c5 Rua H Rua J c6 Rua E c7 Rua D c8

21 Atividade 7b O condomínio tem verba para instalar apenas 3 câmeras. Quais devemos instalar? c1 Rua A c2 Rua B c3 Rua I Rua K Rua G Rua F c4 Rua C c5 Rua H Rua J c6 Rua E c7 Rua D c8 As câmeras ainda são variáveis (C i = 0 ou C i = 1), mas a quantidade que podemos adquirir é uma nova restrição (3 câmeras) As Ruas passam a ser variáveis também! (R i = 0 ou R i = 1). A configuração (quais câmeras enxergam quais ruas) continua sendo representada por restrições. Qual a nova função objetivo Z? Como incorporar as variáveis R i nas restrições de configuração? (Dica: Assim como na ativ. 6A, há uma precedência decisão dependente - que deve ser respeitada)

22 Atividade 8 c1 Rua G c6 O condomínio tem verba para instalar apenas 3 câmeras. Na tabela temos quantas casas existem em cada rua. Quais devemos instalar? Rua A Rua F Rua E c2 Rua I c4 Rua H c7 Rua B Rua C Rua D Rua K Rua J c8 c3 c5 Rua Qtd. Casas A 10 B 11 C 13 D 9 E 6 F 18 G 20 H 5 I 6 J 8 K 8 Elabore o novo modelo matemático e planilha Excel para essa variação do problema 7b