Programação Linear/Inteira

Transcrição

1 Unidade de Matemática e Tecnologia - RC/UFG Programação Linear/Inteira Prof. Thiago Alves de Queiroz Aula 6 Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 1 / 45

2 Otimização Discreta A característica de otimização discreta (ou combinatória) é que algumas variáveis pertencem a um conjunto discreto; Geralmente é um subconjunto dos inteiros; Algumas aplicações surgem em áreas de: energia, transporte, telecomunicações, biologia molecular, medicina, aviação, finanças, planejamento da produção, etc.; Um problema com variáveis inteiras e reais é denominado problema de programação (linear) inteira mista - PIM quando tem a forma: Maximizar { z = cx + dy Ax + Dy b sujeito a : x R n +, y Z p +. (1) Em que as matrizes A m m e D m p e os vetores c 1 n, d 1 p e b m 1 são os parâmetros do problema. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 2 / 45

3 Otimização Discreta Quando todas as variáveis são inteiras, tem-se um problema de programação (linear) inteira - PI: Maximizar { z = cx Ax b sujeito a : x Z n +. (2) Se todas as variáveis assumem valores 0 ou 1, tem-se um problema de programação 0-1 ou binária - PB: Maximizar { z = cx Ax b sujeito a : x B n. (3) Em que B n representa o espaço dos vetores com n componentes binárias; Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 3 / 45

4 Otimização Discreta Um outro tipo é o problema de otimização combinatória - OC, definido como: É dado um conjunto finito N = 1,..., n; É dado um conjunto de peso c j para cada j N; É dado uma família F de subconjuntos factíveis de N; O objetivo { é achar o subconjunto de peso mínimo de F: } min j S c j, tal que S F. Problemas de OC podem ser escritos como problemas de PI ou PB; Problemas de programação inteira e combinatória são resolvidos por: Métodos ótimos (exatos): que fornecem a solução ótima; Algoritmos aproximados: que garantem a distância máxima entre o valor da solução subótima e o valor ótimo; Métodos heurísticos: que fornecem, em geral, uma solução subótima sem conhecimento de sua qualidade. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 4 / 45

5 Exemplo de PIM Problema de Programação Inteira Mista: maximizar z = 10x 1 + 6x 2 9x 1 + 5x 2 45 sujeito a : 4x 1 + 5x 2 5 x 1 R+, 1 x 2 Z+. 1 (4) A solução ótima é: (x 1, x 2 ) = (3 1 3, 3), com z = Figura: Conjunto de solução factíveis do exemplo acima. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 5 / 45

6 Exemplo de PI Problema de Programação Inteira: maximizar z = 10x 1 + 6x 2 9x 1 + 5x 2 45 sujeito a : 4x 1 + 5x 2 5 x 1 Z+, 1 x 2 Z+. 1 (5) A solução ótima é: (x 1, x 2 ) = (5, 0), com z = 50. Figura: Conjunto de solução factíveis do exemplo acima. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 6 / 45

7 Exemplo de PB Problema de Programação Binária: maximizar z = 2x 1 + 3x 2 6x 1 + 8x 2 10 sujeito a : 4x 1 + 5x 2 5 x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1}. (6) O conjunto de solução factíveis é dado por todas as combinações de valores (0 e 1) para as variáveis do problema; No exemplo, tem-se: X = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (0, 1)}; Note que a solução ótima ocorre para (x 1, x 2 ) = (0, 1), com valor z = 3. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 7 / 45

8 Relaxação Linear Considere o problema de programação inteira (PI) abaixo: (PI) maximizar z = 10x 1 + 6x 2 9x 1 + 5x 2 45 sujeito a : 4x 1 + 5x 2 5 x 1 Z+, 1 x 2 Z+. 1 (7) A relaxação linear deste problema é o problema de programação linear (PL) quando a condição de integralidade é relaxada (substituída por não-negatividade ou variável livre), ou seja: (PL) maximizar z = 10x 1 + 6x 2 9x 1 + 5x 2 45 sujeito a : 4x 1 + 5x 2 5 x 1 0, x 2 0. (8) O problema PL é chamado de relaxação linear do problema PI. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 8 / 45

9 Relaxação Linear A solução ótima do PI foi dada por x = (x 1, x 2 ) = (5, 0), com z = 50; Observe o conjunto de soluções factíveis do problema PL, com solução: x = (3 1 13, ), com z = ; Figura: Conjunto de solução factíveis da relaxação linear PL. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 9 / 45

10 Relaxação Linear Note que a diferença é satisfatória, com diferença percentual (erro) de = 0, 029 ou 2, 9%; Uma técnica utilizada consiste em arredondar a solução do PL; Considere a solução do PL arredondada, isto é, x = (3 1 13, ) (3, 3), com z = 48; A diferença percentual (erro) com relação a solução ótima do PI é: = 0, 04 ou 4, 0%, que é bem pior do que no caso anterior; Logo, a estratégia de arredondamento da solução ótima do problema relaxado de PL pode não ser satisfatória; Além disso, há o risco da solução arredondada não satisfazer as restrições do problema de PI original. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 10 / 45

11 Relaxação Linear A relaxação linear é um conceito-chave para métodos de resolução de PI e PIM; Considere X PI, X PIM, X PL os conjuntos soluções factíveis de PI, PIM e PL, respectivamente; Como Z n + R N +, segue que: X PI X PL e X PIM X PL ; Com isso, o valor z da solução ótima de PL é um limitante superior para o valor de z da solução ótima de PI e PIM, dado problemas de maximização; Em problemas de minimização, o valor z da solução ótima de PL é um limitante inferior para o valor de z da solução ótima de PI e PIM; A relaxação linear em problemas de programação binária ocorre trocando x {0, 1} por 0 x 1. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 11 / 45

12 Modelagem com Variáveis Binárias Um grande número de problemas em otimização discreta envolve a ocorrência ou não de um evento; Ou seja, a decisão entre duas alternativas, sendo modelada por uma{ variável binária x: 1, se o evento ocorre x = 0, se o evento nao ocorre Alguns casos com esse tipo de decisão e como representá-los matematicamente são vistos adiante; Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 12 / 45

13 Implicações se-então A ocorrência de um evento implica a ocorrência de outro evento; Considere a situação em que, se o produto 1 é fabricado, então o produto 2 também deve ser fabricado: x 1 = quantidade produzida do item 1 x 2 = quantidade produzida do item 2 Seja{ y uma variável binária tal que: 1, se x1 > 0 y = 0, caso contrario A situação é expressa pela desigualdade: x 1 My, em que M é um limitante superior da produção do item 1; Deseja-se expressar que: y = 1 implica x 2 > 0, ou seja: x 2 my, em que m é um limitante inferior para a quantidade de produção do item 2; Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 13 / 45

14 Implicações se-então Outra situação envolve: impor que a desigualdade f (x 1, x 2,..., x n ) > 0 implica que a desigualdade g(x 1, x 2,..., x n ) 0 é verdadeira; Então, considere uma variável binária y e um número muito grande M, tal que: f M e g M, para todo valor de x 1, x 2,..., x n ; A implicação é expressa pelas restrições: g(x 1, x 2,..., x n ) My f (x 1, x 2,..., x n ) M(1 y). Note que: se f > 0, então y = 0, que resulta em g 0, ou seja, g 0. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 14 / 45

15 Exemplo Suponha que quatro itens podem ser produzidos em uma máquina k. Se o item 1 é produzido em k, então os outros itens, 2, 3 e 4, não podem ser processados em k. Represente esta situação. 1. Defina { as variáveis: 1, se o item i e processado na maquina k x ik = 0, caso contrario 2. Veja a relação de implicação: Se x 1k = 1, então x 2k = x 3k = x 4k = 0; Pelo fato das variáveis serem binárias, segue-se que: se x 1k > 0, então x 2k + x 3k + x 4k 0, ou x 2k x 3k x 4k 0; Observando a situação anterior, veja que se pode chamar: f (x 1k ) = x 1k > 0, que implica em: g(x 2k, x 3k, x 4k ) = x 2k x 3k x 4k 0. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 15 / 45

16 Exemplo Com isso, definindo a variável binária y e seja M um número muito grande, segue: x 2k + x 3k + x 4k My x 1k M(1 y); Note que se pode usar M = 3, pois este é o valor máximo assumido pela soma x 2k + x 3k + x 4k ; Então: x 2k + x 3k + x 4k 3y x 1k 3(1 y). Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 16 / 45

17 Restrição (des)ativada Seja a desigualdade: f (x 1, x 2,..., x n ) 0; Quer-se ativar ou desativar esta desigualdade de acordo com o valor de uma variável binária; Então, defina a variável binária y, tal que y = 1 implica que a desigualdade está ativada. Isso pode ser escrito como: f (x 1, x 2,..., x n ) M(1 y), em que M é um número muito grande; Note que, se y = 0, então a restrição é desativada, isto é, f (x 1, x 2,..., x n ) pode assumir qualquer valor até seu limite superior M. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 17 / 45

18 Restrições disjuntivas Considere as desigualdades: f (x 1, x 2,..., x n ) 0 (1) g(x 1, x 2,..., x n ) 0 (2); Deseja-se que somente uma das desigualdades esteja ativada; Então, deve-se definir uma variável binária y tal que: y = 1, então somente (1) é ativada; y = 0, então somente (2) é ativada. Por fim, seja um número muito grande M de forma que representa-se esta situação por: f (x 1, x 2,..., x n ) M(1 y) g(x 1, x 2,..., x n ) My. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 18 / 45

19 Exemplo Considere as restrições 4x 1 + 2x 2 80 e 2x 1 + 5x 2 100, com x 1, x 2 0; O acréscimo de um número muito grande M no lado direito das restrições faz com a restrição desativada seja transladada paralelamente no quadrante superior direito do plano; Assim, a reta 4x 1 + 2x 2 = 80 é transladada até 4x 1 + 2x 2 = 200; A reta 2x 1 + 5x 2 = 100 é transladada até 2x 1 + 5x 2 = 200; Qual o menor valor de M? Represente a disjunção entre as desigualdades. 1. Para descobrir o menor valor de M, compare o lado direito das desigualdades originais com as desigualdades transladadas; Segue da desigualdade 1 que a diferença no lado direito é 120 e da segunda desigualdade é 100. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 19 / 45

20 Exemplo Deve-se pegar o valor que satisfaz ambas as restrições, no sentido de transladar, ou seja, M = max{120, 100}, que resulta em M = 120; Um valor pequeno para M (o mais justo) é desejável para acelerar os métodos de resolução de problemas de programação inteira; 2. Para representar a disjunção, considere uma variável binária y e o valor de M (definido no passo anterior); Então, a representação matemática da disjunção é dada por: 4x 1 + 2x (1 y) 2x 1 + 5x y; Exemplos de restrições ativadas ou desativadas e restrições disjuntivas ocorrem em problemas de programação de tarefas em máquinas. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 20 / 45

21 Representação de função linear por partes São importantes porque podem representar o custo de expansão ou aproximar uma função não-linear; Considere a função f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) apresentada abaixo: Figura: Função linear por partes. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 21 / 45

22 Representação de função linear por partes As funções f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x) são lineares, sendo especificadas pelos pontos: (0,0); (2, 10); (6, 14) e (10,22); Qualquer x, tal que 0 x 10 pode ser escrito como: x = 0λ 1 + 2λ 2 + 6λ λ 4, com a restrição: λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 = 1, com λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 0. Segue que: f (x) = 0λ λ λ λ 4, com a restrição: λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 = 1, com λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 0, se no máximo dois valores λ i e λ i+1, i = 1, 2, 3 forem positivos; Essa condição pode ser modelada por meio de variáveis binárias: yi = 1, se a i x a i+1 ; y i = 0, caso contrário. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 22 / 45

23 Representação de função linear por partes Para o caso em particular, considere: a 1 = 0, a 2 = 2, a 3 = 6, a 4 = 10; Também as restrições: λ 1 y 1, λ 2 y 1 + y 2, λ 3 y 2 + y 3, λ 4 y 3, y 1 + y 2 + y 3 = 1. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 23 / 45

24 Relações lógicas Variáveis binárias são usadas para relações lógicas; Suponha que existam cinco tipos de investimento financeiro e seja x j a variável binária de decisão tal que: { 1, se o investimento j ocorre x j = 0, caso contrario Algumas situações que podem aparecer: No máximo três investimentos são selecionados: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 3 Exatamente um investimento é selecionado: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 O investimento 1 ou o investimento 2 é selecionado: x 1 + x 2 1 Se o investimento 2 é selecionado, então o investimento 1 também é selecionado. x 2 x 1 Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 24 / 45

25 Relações lógicas Algumas situações que podem aparecer: Se os investimentos 2, 3 e 4 são selecionados, então o investimento 1 é selecionado: x 1 + x 2 + x 3 3x 1, ou de forma equivalente: x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 1 Ambas as representações acima são equivalentes na programação inteira, mas não são equivalentes na programação linear (variáveis reais). Sejam os conjuntos: X B = soluções binárias que satisfazem uma ou outra restrição, X 1 = {x 2 + x 3 + x 4 3x 1, 0 x i 1, i = 1, 2, 3, 4}, X 2 = {x 2 x 1, x 3 x 1, x 4 x 1, 0 x i 1, i = 1, 2, 3, 4}. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 25 / 45

26 Relações lógicas Note que os X B X 2 X 1 ; Por exemplo, os valores x 2 = 1 2, x 3 = x 4 = 1 4 e x 1 = 1 3 satisfazem X 1, mas não satisfazem X 2 ; O método mais usado para resolver programação inteira é o branch-and-bound e faz uso da programação linear; Neste caso, quanto menor o conjunto de soluções factíveis da programação linear, estima-se que menor é o esforço computacional para achar a solução ótima inteira; Portanto, o conjunto X 2 é preferido em relação a X 1. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 26 / 45

27 Representação de valores discretos Considere um problema em que uma variável x só pode assumir um valores do conjunto discreto {4, 6, 8, 12, 20, 24}; Para representar essa condição, defina variáveis binárias y i, i = 1,..., 6; Adicione as seguintes restrições: x = 4y 1 + 6y 2 + 8y y y y 6, y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 1. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 27 / 45

28 Formulação de problemas clássicos Adiante será apresentado modelos de programação inteira para diversos problemas clássicos e importantes; Vale destacar que existem linguagens algébricas como GAMS, AMPL, MPL, AIMMS, OPL, MOSEL, LINGO: Permitem o usuário escrever modelos genéricos de otimização linear e discreta; Tais modelos usam um formato parecido com a notação algébrica. Outra ferramenta computacional muito usada é a planilha Excel, que contém um resolvedor para lidar com problemas relativamente pequenos; O Excel não gera um modelo genérico como as linguagens algébricas. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 28 / 45

29 Problemas da Mochila Envolvem a escolha de itens a serem colocados em uma ou mais mochilas de forma a maximizar o objetivo; Algumas versões: Mochila 0-1: selecionar n projetos, dado um capital b para investimento. O projeto j tem custo a j e um retorno esperado p j. Deseja-se selecionar os projetos que maximizem o retorno total esperado sem ultrapassar o limite de capital; Mochila inteira: similar a mochila 0-1, porém se pode investir diversas vezes no mesmo projeto; Múltiplas mochilas: existem n itens que devem ser colocados e m mochilas de capacidade distintas b i. Cada item tem lucratividade p j e peso w j. Deseja-se selecionar m subconjuntos distintos de itens, tal que cada subconjunto ocupe uma capacidade de no máximo b i e o lucro total seja maximizado. Empacotamento em mochilas: deseja-se determinar o número mínimo de mochilas de mesma capacidade b que empacotem n itens de peso w j. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 29 / 45

30 Problemas da Mochila Exemplo. Uma empresa deseja investir um capital de b = 100 milhões, considerando 8 projetos disponíveis. O lucro esperado de cada projeto está na matriz p, e o custo necessário para a execução do projeto na matriz a. Determine o modelo que permita selecionar um subconjunto de projetos que maximize o lucro total respeitando o limite de capital. p = [p j ] = [ ] a = [a j ] = [ ] (i) Definir { as variáveis de decisão: 1, se o projeto j e escolhido x j = 0, caso contrario Para os projetos j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; (ii) A função objetivo busca maximizar o lucro total; Maximizar z = 8 j=1 p jx j ; Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 30 / 45

31 Resolução... Maximizar z = 41x x x x x x 6 + 9x x 8 ; (iii) Existe uma restrição com relação ao limite de capital disponível; 8 j=1 a jx j b; Capital b = 100: 47x x x x x x 6 + 5x x 8 100; (iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis; x j {0, 1}, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Maximizar z = 41x x x x x x 6 + 9x x 8 47x x x x x x 6 + sujeito a : +5x x x j {0, 1}, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (9) Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 31 / 45

32 Problemas de Corte Em diversos processos industriais, itens são produzidos a partir do corte de peças maiores; Essas peças podem ter uma, duas ou três dimensões relevantes como o: comprimento: barras de aço, bobinas de papel, rolos de filme; comprimento e largura: placas de madeira, tecido, chapas de aço; comprimento, largura e altura: blocos de matéria-prima para colchões; Alguns casos: Corte unidimensional: consiste em cortar barras disponíveis de tamanho L, para a produção de m tipos de itens com tamanhos l 1, l 2,..., l m e demandas b 1, b 2,..., l m. Deseja-se minimizar o número de barras usadas para o corte; Corte bidimensional: envolve apenas uma placa que deve ser cortada em um número de peças retangulares menores de modo a maximizar a utilização da placa. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 32 / 45

33 Problemas de Corte Exemplo. Uma empresa deseja cortar tubos de tamanho L = 11 em m = 4 itens menores com comprimento: l 1 = 2, l 2 = 3, l 3 = 4, l 4 = 5 e, respectivas demandas: b 1 = 3, b 2 = 3, b 3 = 2, b 4 = 2. Determine o modelo que minimiza o número de tubos usados no corte, sabendo que existem 5 tubos disponíveis. Deve-se cortar pelo menos a demanda requisitada de cada item e respeitar o comprimento total da tubo durante o corte. (i) Definir { as variáveis de decisão: 1, se a tubo i e cortado y i = 0, caso contrario x ij = número de vezes que o item j é cortado no tubo i; Para as barras i = 1, 2, 3, 4, 5 e os itens j = 1, 2, 3, 4; (ii) A função objetivo busca minimizar o número de barras cortadas; Minimizar z = 5 i=1 y i; Minimizar z = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 ; Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 33 / 45

34 Resolução... (iii) Existem restrições que dizem que a demanda de cada item deve ser atendida; 5 i=1 x ij b j, j = 1, 2, 3, 4; Item j=1: x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 3; Item j=2: x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 3; Item j=3: x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 2; Item j=4: x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 2; (iii) Existem restrições que dizem que se a barra i for cortada, então se deve respeitar seu comprimento L = 11; 4 j=1 l jx ij Ly i, i = 1, 2, 3, 4, 5; Barra i=1: 2x x x x 14 11y 1 ; Barra i=2: 2x x x x 24 11y 2 ; Barra i=3: 2x x x x 34 11y 3 ; Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 34 / 45

35 Resolução... Barra i=4: 2x x x x 44 11y 4 ; Barra i=5: 2x x x x 54 11y 5 ; (iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis; x ij Z +, i = 1, 2, 3, 4, 5; j = 1, 2, 3, 4; y i {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4, 5. Minimizar z = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 3 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 3 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 2 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x x x x x 14 11y 1 sujeito a : 2x x x x 24 11y 2 2x x x x 34 11y 3 2x x x x 44 11y 4 2x x x x 54 11y 5 x ij Z +, i = 1, 2, 3, 4, 5; j = 1, 2, 3, 4 y i {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4, 5. (10) Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 35 / 45

36 Problemas de Designação Envolve a designação (ou atribuição) de tarefas a agentes; Alguns exemplos: Designação: envolve n tarefas e n agentes, tal que cada tarefa é executada por um único agente e cada agente executa uma única tarefa. A execução da tarefa j pelo agente i tem um custo c ij. Deseja-se determinar tarefas a agentes de modo a minimizar o custo total; Designação generalizada: tem-se m agentes e n tarefas,com m < n; cada tarefa deve ser executa por um único agente, e um agente pode executar mais de uma tarefa. A execução da tarefa j pelo agente i requer uma quantidade a ij de recurso do agente i, com custo c ij. O agente i tem capacidade de recurso b i e deseja-se minimizar o custo de designar tarefas a agentes. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 36 / 45

37 Problemas de Designação Exemplo. Uma empresa possui 3 agentes e 5 tarefas com os seguintes parâmetros: matriz C contém os custos de designar o agente i a tarefa j; e, a matriz A contém quantidade de horas que o agente i precisa para a execução da tarefa j. A capacidade total de horas de cada agente está na matriz b. Determine o modelo que minimiza o custo de designação de tarefas a agentes, de forma que tarefa seja executada por exatamente um agente e que a capacidade de horas de cada agente não seja excedida C = [c ij ] = A = [a ij ] = b = [b i ] = [ ] Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 37 / 45

38 Resolução... (i) Definir { as variáveis de decisão: 1, se a tarefa j e designada ao agente i x ij = 0, caso contrario Para os agentes i = 1, 2, 3 e as tarefas j = 1, 2, 3, 4, 5; (ii) A função objetivo busca minimizar o custo total de designação de tarefas a agentes; Minimizar z = 3 i=1 5 j=1 c ijx ij. Minimizar z = 15x x x x x x x x x x x x x x x 35 ; (iii) Existem restrições que dizem que cada tarefa deve ser executada por um único agente; 3 i=1 x ij = 1, j = 1, 2, 3, 4, 5; Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 38 / 45

39 Resolução... Tarefa j=1: x 11 + x 21 + x 31 = 1; Tarefa j=2: x 12 + x 22 + x 32 = 1; Tarefa j=3: x 13 + x 23 + x 33 = 1; Tarefa j=4: x 14 + x 24 + x 34 = 1; Tarefa j=5: x 15 + x 25 + x 35 = 1; (iii) Existem restrições que dizem que a capacidade de horas do agente i não pode ser excedida; 5 j=1 a ijx ij b i, i = 1, 2, 3; Agente i=1: 31x x x x x ; Agente i=2: 23x x x x x ; Agente i=3: 20x x x x x ; (iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis; x ij {0, 1}, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 39 / 45

40 Resolução Minimizar z = 15x x x x x x x x x x x x x x x 35 x 11 + x 21 + x 31 = 1 x 12 + x 22 + x 32 = 1 x 13 + x 23 + x 33 = 1 x 14 + x 24 + x 34 = 1 sujeito a : x 15 + x 25 + x 35 = 1 31x x x x x x x x x x x x x x x x ij {0, 1}, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5. (11) Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 40 / 45

41 Problemas de cobertura, partição e empacotamento Possuem uma estrutura semelhante e envolvem a seleção de uma coleção de subconjuntos S j, j = 1,..., n de um conjunto S; Esta seleção deve formar uma cobertura, uma partição ou um empacotamento com relação a S; Considere o seguinte conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5} e o seguintes subconjuntos de S: S 1 = {1, 2}, S 2 = {1, 3, 5}, S 3 = {2, 4, 5}, S 4 = {3}, S 5 = {1}, S 6 = {4, 5}; Uma cobertura requer que a união dos subconjuntos seja igual a S, por exemplo, S 1 S 3 S 4 = S; Um empacotamento envolve uma união de subconjuntos distintos, por exemplo, S 4 S 5 S 6, pois S 4 S 5 S 6 = ; Uma partição é uma cobertura e um empacotamento com relação a S, por exemplo, S 1, S 4, S 6, pois S 1 S 4 S 6 = S e S 4 S 5 S 6 =. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 41 / 45

42 Problemas de cobertura, partição e empacotamento A figura abaixo ilustra o exemplo anterior: Figura: Problemas de cobertura, empacotamento e partição. De modo geral, um custo ou valor c j está associado à S j, e os problemas de otimização combinatória podem ser associados. Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 42 / 45

43 Problemas de cobertura Selecione uma coleção de subconjuntos que cobrem S de custo mínimo; Um exemplo aparece na localização de facilidades de emergência, tais como ambulâncias e estações de bombeiros; O modelo genérico para o problema de cobertura de conjuntos pode ser descrito como: Minimizar z { = c T x Ax 1 sujeito a : x B n. (12) Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 43 / 45

44 Problemas de empacotamento Selecione uma coleção de subconjuntos disjuntos em S de valor máximo; Um exemplo aparece em leilões combinatoriais: Uma empresa de logística deseja contratar transportadoras para enviar mercadorias entre cidades. A empresa promove um leilão para vender trechos. Permitem-se lances em combinações de trechos; Por exemplo: uma transportadora faz um lance de 80 mil para o trecho A-B e outra transportadora faz um lance de 30 mil para o trecho C-A. Uma terceira empresa faz um lance de 100 mil para o conjunto de trechos A-B e C-A. Obviamente o último lance é o vencedor e a empresa economiza 10 mil em relação à contratação dos trechos individuais. Deseja-se maximizar este economia na contratação. O modelo genérico para o problema de partição é: Maximizar { z = c T x Ax 1 sujeito a : x B n. (13) Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 44 / 45

45 Problemas de partição Selecione uma coleção de subconjuntos que cobrem S e são disjuntos de custo mínimo; Um exemplo aparece em problemas de programação de aeronaves: Para uma dada programação diária de voos, a empresa deve alocar a tripulação para cada voo e minimizar os custos. O modelo genérico para o problema de partição é: Minimizar z { = c T x Ax = 1 sujeito a : x B n. (14) Thiago Queiroz (IMTec) Aula 6 Aula 6 45 / 45