Introdução à Otimização: modelagem

Transcrição

1 Introdução à Otimização: modelagem Prof. Marcone J. F. Souza Prof. Túlio A. M. Toffolo Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto Introdução à otimização 1

2 Pesquisa Operacional Aplicada à Mineração Prof. Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto Prof. Túlio Ângelo Machado Toffolo Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2

3 Roteiro Problema de Transporte Problema de Alocação de Ordens de Serviço Problema de Dimensionamento de Lotes Problema das p-medianas não Capacitado Problema das p-medianas Capacitado Problema dos p-centros Problema de Alocação Dinâmica de Caminhões 3

4 PROBLEMA DE TRANSPORTE 4

5 Problema de Transporte Há um conjunto de minas produtoras de minério Há um conjunto de usinas que processam os minérios provenientes das minas Há um custo de transporte de minério de uma mina para uma usina Cada mina tem uma capacidade de produção mensal Cada usina tem uma demanda mensal Cada mina tem um custo fixo se for usada Determinar a estratégia ótima de transporte 5

6 Problema de Transporte Usinas Mina Cap (t/mês) Custo ($) ,5 10,8 12, ,5 12,7 9, Demanda (t/mês)

7 Problema de Transporte cap 1 f 1 c 11 dem 1 cap 2 f 2 c 12 c 13 dem 2 cap 3 f 3 cap 4 dem 3 f 4 Minas Usinas 7

8 Problema de Transporte Dados de entrada: Minas = Conjunto de minas Usinas = Conjunto de usinas cap i = capacidade de produção, em toneladas/mês, da mina i dem j = quantidade de minério demandado pela usina j, em ton/mês f i = custo fixo de uso da mina i, em $ c ij = custo de transporte de minério proveniente da mina i para abastecer a usina j, em $/tonelada/mês 8

9 Problema de Transporte Variáveis de decisão: x ij = Quantidade de minério, em toneladas/mês, a ser transportado da mina i para abastecer a usina j y i = 1 se a mina i for usada e 0, caso contrário 9

10 Problema de Transporte Como oferta (minas) > demanda (usinas): Toda a demanda será atendida Função objetivo: minimizar o custo de transporte mais o custo fixo pelo uso das minas usadas min + ij ij i Minas j Usinas i Minas c x f i y i 10

11 Problema de Transporte A capacidade de produção das minas deve ser respeitada x ij j Usinas cap i i Minas Toda a demanda é atendida (oferta > demanda) x ij i Minas = dem j j Usinas 11

12 Problema de Transporte Uma mina só pode ser usada se houver produção y i cap x ij j Usinas i i Minas Não negatividade e integralidade y i {0,1 } i Minas x ij 0 i Minas, j Usinas 12

13 Problema de Transporte Relativamente ao problema anterior, supor que se houver transporte de minério de uma mina i para uma usina j, então a quantidade x ij transportada não pode ser inferior a transpmin. z x ij transpmin z ij ij xij i Minas, j Usinas cap i i Minas, j Usinas z ij {0,1} i Minas, j Usinas 13

14 Problema de Transporte Se oferta (minas) < demanda (usinas): i Minas j Usinas i Minas min c ij x ij + f i Todas as minas serão utilizadas x ij j Usinas = cap i i Minas Toda a produção é consumida x ij i Minas dem j j Usinas Nem toda a demanda é atendida x ij 0 i Minas, j Usinas 14

15 ALOCAÇÃO DE ORDENS DE SERVIÇO 15

16 Alocação de Ordens de Serviço Deseja-se executar um conjunto de ordens de serviço (Servicos) em um conjunto de dias (Dias). Cada ordem de serviço i Servicos demanda d i horas de serviço e a ela está associada uma prioridade p i [1, 5], sendo que quanto maior o valor de p i, maior a prioridade. Conhecendo-se a quantidade cap j disponível de horas de serviço por dia, determinar a alocação diária de ordens de serviço cujo somatório das prioridades seja máxima. 16

17 Alocação de Ordens de Serviço Serviços Duração Prioridade Dias s1 2 4 Seg Ter Qua s s3 5 1 s4 4 4 s5 6 1 s6 3 2 s s8 8 3 s9 7 4 s

18 Alocação de Ordens de Serviço Dados de entrada: d i = duração do serviço i p i = prioridade do serviço i cap j = número de horas de serviço disponíveis no dia j Variáveis: x ij = 1 se o serviço j for executado no dia i ou zero caso contrário 18

19 Alocação de Ordens de Serviço max i Servicos j Dias p i x ij x ij 1 i Servicos j Dias d i x ij cap j j Dias i Serviços Um serviço i, se executado, deve ser realizado em um único dia; Em um dado dia j os servicos executados têm que respeitar a disponibilidade de horas x ij {0,1} i Servicos, j Dias As variáveis envolvidas são binárias (0 ou 1) 19

20 Alocação de Ordens de Serviço Reescreva a função objetivo para que as ordens de serviço de maior prioridade sejam realizadas nos dias iniciais do horizonte de planejamento.

21 PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES 21

22 Dimensionamento de Lotes Empresas precisam produzir diversos tipos de produtos solicitados por diferentes clientes Produtos devem estar prontos em datas previamente agendadas A capacidade de produção é limitada (máquinas, mãode-obra, etc) Necessário se faz planejar a produção Decidir o quê produzir, quanto produzir, isto é, dimensionar os lotes de produção, e quando produzir (em cada período do horizonte de planejamento) 22

23 Dimensionamento de Lotes A necessidade de antecipação da fabricação de produtos (estocados de um período para outro) acarreta custos de estocagem e algumas dificuldades operacionais No planejamento da produção deseja-se determinar o tamanho dos lotes de produção para atender a demanda na data solicitada, de modo que a soma dos custos de produção e estocagem seja mínima. 23

24 Dimensionamento de Lotes Imagine o atendimento a uma encomenda para entregar um produto ao longo de um período de tempo. São dados, para cada mês: Demanda Custo de produção Custo de estocagem Considere que o estoque inicial seja de 3 unidades Elabore um modelo de PLI que minimize o custo total de produção e estocagem. 24

25 Dimensionamento de Lotes Mês Cap. Produção (unid) Demanda (unid.) Custo de estocagem (R$) Custo de prod. (R$)

26 Dimensionamento de Lotes Dados de entrada: meses = conjunto dos meses de produção cprod t = custo de produção no mês t cest t = custo de estoque no mês t demanda t = demanda no mês t cap t = capacidade de produção no mês t estinicial = estoque inicial 26

27 Dimensionamento de Lotes Variáveis de decisão: x t = quantidade do produto a ser produzida no mês t e t = quantidade do produto a ser estocada no mês t 27

28 Dimensionamento de Lotes Função objetivo: minimizar os custos de produção e de estocagem min ( cprod + ) t xt cesttet t Meses 28

29 Dimensionamento de Lotes Conservação de fluxo no final do mês 1: e 1 = estinicial + x1 demanda1 Conservação de fluxo em ao final de cada mês t > 1: e t = et 1 + xt demanda t t Meses t > 1 29

30 Dimensionamento de Lotes Respeito à capacidade de produção em cada mês: x t cap t t Meses 30

31 Dimensionamento de Lotes min e t Meses ( cprod t x t + cest t e ) t 1 = estinicial + x1 demanda1 Conservação de fluxo no final do mês 1: e t = e t 1 + x t demanda t t Meses t >1 Conservação de fluxo em ao final de cada mês t > 1: x t cap t t Meses Capacidade de produção e t 0, x t 0 t Meses Não-negatividade 31

32 DIMENSIONAMENTO DE LOTES COM VÁRIOS PRODUTOS 32

33 Dimensionamento de Lotes (n produtos) Considere uma empresa que fabrica n produtos e deseja programar sua produção nos próximos T períodos de tempo. É conhecida a demanda de cada produto em cada período do horizonte de planejamento. Em cada período, os recursos necessários para a produção são limitados e renováveis, isto é, uma quantidade de recursos está sempre disponível (mão-de-obra, horas-de-máquina, etc.). Há a possibilidade de estocagem de produtos de um período para outro 33

34 Dimensionamento de Lotes (n produtos) Dados de entrada: demanda it : demanda do item i no período t cap t : disponibilidade de recursos no período t consumo i : quantidade de recursos necessários para a produção de uma unidade do item i cprod it : custo de produzir uma unidade de i no período t cest it : custo de estocar uma unidade de i no período t Estoques iniciais e i0 são dados 34

35 Dimensionamento de Lotes (n produtos) Variáveis de decisão: x it : número de itens do tipo i produzidos no período t e it : número de itens do tipo i em estoque no final do período t 35

36 Dimensionamento de Lotes min i Itens t Meses ( cprod it x it + cest it e ) it e it = e i,t 1 + x it demanda it i Itens, t Meses t >1 n consumo i x it cap t t Meses i=1 Conservação de fluxo em ao final de cada mês t > 1: Restrições de capacidade e it Ζ +, x it Ζ + i Itens, t Meses Integralidade das variáveis 36

37 PROBLEMA DAS P-MEDIANAS 37

38 Problema das p-medianas Problema de localização de facilidades: dado um número n de clientes (pontos de demanda), encontrar os p pontos de suprimento que minimizem o custo de cada ponto de demanda a seu respectivo ponto de suprimento. Aplicações na localização de fábricas, usinas, centros de distribuição, centros de saúde, etc. 38

39 Problema das p-medianas Dados de entrada: Locais: Conjunto de locais Facilidades: Conjunto de possíveis locais para instalação de facilidades p = número de facilidades a serem instaladas c ij = custo de atendimento de um local j por uma facilidade instalada em i demanda j = demanda do local j f i = custo de instalação da facilidade no local i 39

40 Problema das p-medianas capacitado Variáveis de decisão: x ij = 1 se o local j for atendido pela facilidade instalada em i e zero caso contrário. y i = 1 se a facilidade for instalada em i e zero caso contrário. 40

41 Problema das p-medianas capacitado Função objetivo: min i Facilidades c ij x ij + j Locais i Facilidades f i y i 41

42 Problema das p-medianas Cada local é atendido por uma única facilidade: x ij i Facilidades = 1 j Locais Devem ser instaladas p facilidades: yi = i Facilidades p 42

43 Problema das p-medianas Um local só pode ser atendido por uma facilidade i se ela tiver sido instalada: x ij y i Facilidades, j i Locais As variáveis de decisão (x ij e y i ) devem ser binárias: x ij {0,1} i Facilidades, j Locais y i {0,1} i Facilidades 43

44 Problema das p-medianas min i Facilidades c ij x ij + j Locais i Facilidades f i y i x ij i Facilidades = 1 j Locais y i = p i Facilidades x ij y i i Facilidades, j Locais x ij {0,1} i Facilidades, j Locais y i {0,1} i Facilidades 44

45 PROBLEMA DAS P-MEDIANAS CAPACITADO 45

46 Problema das p-medianas capacitado Dados de Entrada Adicionais: cap i = capacidade (recursos) da facilidade i demanda j = demanda de recursos do local j Função objetivo: (idêntica ao problema não capacitado) min i Facilidades c ij x ij + j Locais i Facilidades f i y i 46

47 Problema das p-medianas capacitado A demanda de um local j só pode ser atendida por uma facilidade i que comporte este atendimento: j Locais demanda j x ij cap i y i i Facilidades 47

48 Problema dos p-centros min i Facilidades c ij x ij + j Locais i Facilidades f i y i j Locais demanda j x ij cap i y i i Facilidades x ij i Facilidades = 1 j Locais y p i = i Facilidades x ij y i i Facilidades, j Locais x ij {0,1} i Facilidades, j Locais y i {0,1} i Facilidades 48

49 PROBLEMA DOS P-CENTROS 49

50 Problema dos p-centros Objetivo é o de minimizar a distância máxima entre um local j e a facilidade i a ele designada. Minimizar r, onde r é a maior distância entre uma facilidade e seu local de atendimento: d ij x ij r i Facilidades, j Locais 50

51 Problema dos p-centros min r d ij x ij r i Facilidades, j Locais x ij i Facilidades = 1 j Locais y p i = i Facilidades x ij y i i Facilidades, j Locais x ij {0,1} i Facilidades, j Locais y i {0,1} i Facilidades 51

52 Problema dos p-centros min r i Facilidades x ij i Facilidades d ij x ij x ij y i r j Locais = 1 j Locais y p i = i Facilidades i Facilidades, j Locais x ij {0,1} i Facilidades, j Locais y i {0,1} i Facilidades 52

53 PROBLEMA DA ALOCAÇÃO DINÂMICA DE CAMINHÕES 53

54 Alocação Dinâmica de Caminhões carregadeiras Caminhão 1 Frente 1 Carregadeira 1 Caminhão 2 Frente 2 Mistura Desejada Carregadeira 2 Caminhão 3 Frente 3 frentes = minerio esteril Caminhão 4 ca minhoes 54

55 Alocação Dinâmica de Caminhões Dados de entrada (1): t ij : Teor do parâmetro j na frente i (%); tl j : Teor mínimo admissível para o parâmetro j (%); tu j : Teor máximo admissível para o parâmetro j (%); tr j : Teor recomendado para o parâmetro j (%); wnm j : Peso por desvio negativo para o parâmetro j; wpm j : Peso por desvio positivo para o parâmetro j; wpp: Peso por desvio positivo de produção; wnp: Peso por desvio negativo de produção; 55

56 Alocação Dinâmica de Caminhões Dados de entrada (2): Qu i : Massa disponível na frente i (t); tempciclo i : Tempo de ciclo de caminhões para a frente i; estmin i : Se a frente i é de minério (1) ou estéril (0); Cu k : Produção máxima da carregadeira k (t/h); Cl k : Produção mínima da carregadeira k (t/h); capcam l : Capacidade do caminhão l (t); comp lk : Se o caminhão l é compatível (1) ou não (0) com a carregadeira k; rem: Relação estéril/minério. 56

57 Alocação Dinâmica de Caminhões Variáveis de decisão: x i : Ritmo de lavra para a frente i (t/h); y ik : 1 se a carregadeira k opera na frente i e 0 c.c.; usou l = 1 se o caminhão l for usado e 0 caso contrário; n li : Viagens que o caminhão l realiza à frente i; dnm j e dpm j : Desvios negativo e positivo da meta do parâmetro j (t/h); dnu l e dpu l : Desvios negativo e positivo de utilização do caminhão l; dnp e dpp: Desvios negativo e positivo de produção; 57

58 Alocação Dinâmica de Caminhões Função objetivo min ( wnm j dnm j + wpm j dpm ) j + j Parametros wnp dnp+ wnp dpp+ l Caminhoes CapCam l usou l 58

59 Problema da Mistura expandido Admite-se que haja falta (dnm j ) ou excesso (dpm j ) do parâmetro j na mistura em relação à meta de qualidade ( t ij tr ) j x i + dnm j dpm j i Frentes estmin i =1 = 0 j Parametros Os desvios dnm j e dpm j devem ser penalizados na função objetivo. 59

60 Alocação Dinâmica de Caminhões Atendimento aos limites de especificação (obrigatório): ( t ij tu ) j x i i Frentes estmin i =1 0 j Parametros ( t ij tl ) j x i i Frentes estmin i =1 0 j Parametros 60

61 Alocação Dinâmica de Caminhões A produção deve respeitar o máximo admitido: xi i Frentes estmin i = 1 pu A produção deve respeitar o mínimo admitido: xi i Frentes estmin i = 1 pl 61

62 Alocação Dinâmica de Caminhões A meta de produção deve ser buscada sempre que possível. i Frentes estmin i = 1 xi + dnp dpp = pr A relação estéril/minério deve ser atendida: x rem x i i i Frentes i Frentes estmini = 0 estmin i =

63 Alocação Dinâmica de Caminhões No máximo uma carregadeira operando em cada frente k Carregadeiras y ik 1 i Frentes y = y F1 i1 = 1 y i 2 = Cg1 y 22 =1 Cg2 F2 63

64 Alocação Dinâmica de Caminhões Cada carregadeira deve operar em no máximo uma frente. y ik 1 k Carregadeiras i Frentes y 11 = 1 Cg1 y 21 = 0 1 = 1 y k F1 y 12 = 0 Cg2 y 22 = 1 y 2 k = 1 F2 y 13 = 0 Cg3 y 23 = 0 64

65 Alocação Dinâmica de Caminhões O ritmo de lavra da frente i deve ser maior do que a produtividade mínima da carregadeira k alocada à frente x i k Carregadeiras Cl k y ik i Frentes O ritmo de lavra da frente i deve ser menor do que a produtividade máxima da carregadeira k alocada à frente x i k Carregadeiras Cu k y ik i Frentes 65

66 Alocação Dinâmica de Caminhões Cada caminhão l deve realizar viagens apenas à uma frente i que esteja alocada uma carregadeira compatível n il tempciclo i k Carregadeiras comp lk =1 60y ik i Frentes, l Caminhoes n il Ζ + i Frentes, l Caminhoes 66

67 Alocação Dinâmica de Caminhões Cada caminhão l deve operar no máximo 60 minutos i Frentes n il tempciclo i 60 l Caminhoes n = 3 e T = 10 min F1 n = 2 e T = 10 min n T i1 i1 = 50 min Ca1 n = 1 e T = 15 min F2 n = 3 e T = 5 min n T Ca2 i2 i2 = 55 min n = 1 e T = 5 min F3 n = 1 e T = 20 min

68 Alocação Dinâmica de Caminhões O ritmo de lavra da frente i deve ser igual à produção realizada pelos caminhões alocados à frente x i = l Caminhoes n il capcam l i Frentes n11 = 3 e cap1 = 50 t x1 = n1 lcapl = 330 t/h n21 = 2 e cap2 = 50 t F1 Ca1 Ca2 n = 2 e cap = 50 t 11 1 x2 = n2 lcapl = 260 t/h F2 n = 1 e t = 80 t Ca3 n = 2 e cap = 80 t

69 Alocação Dinâmica de Caminhões Um caminhão é usado se ele faz alguma viagem a alguma frente usou l i Frentes usou l 0,1 tempciclo i n il 60 { } l Caminhoes l Caminhoes 69