Programação Hidrotérmica com Restrição de Energia Hidráulica

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1 Programação Hidrotérmica com Restrição de Energia Hidráulica Prof. Antonio Simões Costa Universidade Federal de Santa Catarina A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 1 / 14

2 UHE e UTE alimentando carga: Vazão q em função de P H é conhecida; Custo de prod. da térmica, F (P T ), conhecido; Carga e pots. geradas variam com o tempo; Horizonte de duração T max, discretizado em j max intervalos de duração h j horas. j max h j = T max A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 2 / 14

3 Características do Problema: Capacidade UHE > potência da carga: P H,j P L,j, j = 1,..., j max A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 3 / 14

4 Características do Problema: Capacidade UHE > potência da carga: P H,j P L,j, j = 1,..., j max Porém, energia hidráulica < demanda no horizonte: j max j max P H,j h j P L,j h j A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 3 / 14

5 Características do Problema: Capacidade UHE > potência da carga: P H,j P L,j, j = 1,..., j max Porém, energia hidráulica < demanda no horizonte: j max j max P H,j h j P L,j h j Objetivo: usar toda a energia hidráulica disponível de modo a minimizar o custo térmico; A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 3 / 14

6 Características do Problema: Capacidade UHE > potência da carga: P H,j P L,j, j = 1,..., j max Porém, energia hidráulica < demanda no horizonte: j max j max P H,j h j P L,j h j Objetivo: usar toda a energia hidráulica disponível de modo a minimizar o custo térmico; Logo, a energia E a ser gerada pela térmica durante o horizonte de tempo é E = j max P L,j h j j max P H,j h j A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 3 / 14

7 Características do Problema: Capacidade UHE > potência da carga: P H,j P L,j, j = 1,..., j max Porém, energia hidráulica < demanda no horizonte: j max j max P H,j h j P L,j h j Objetivo: usar toda a energia hidráulica disponível de modo a minimizar o custo térmico; Logo, a energia E a ser gerada pela térmica durante o horizonte de tempo é E = j max P L,j h j j max P H,j h j Não se exige que a térmica funcione durante todo o horizonte de tempo T max. A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 3 / 14

8 Formulação do Problema: Se N T é o número de intervalos de operação da térmica, então e T T N T P T,j h j = E N T = h j T max A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 4 / 14

9 Formulação do Problema: Se N T é o número de intervalos de operação da térmica, então e T T N T P T,j h j = E N T = h j T max Problema de coordenação hidrotérmica com restrição de energia: min s.a. F T (P T ) = N T F (P T,j ) h j E N T P T,j h j = 0 A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 4 / 14

10 Solução do Problema (I) Função Lagrangeana: L(P T, α) = N T F (P T,j ) h j + α E! N T P T,j h j A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 5 / 14

11 Solução do Problema (I) Função Lagrangeana: L(P T, α) = N T F (P T,j ) h j + α Uma condição de otimalidade é: E! N T P T,j h j L P T,k = 0 ) df (P T,k ) dp T,k = α, k = 1, 2,..., N T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 5 / 14

12 Solução do Problema (I) Função Lagrangeana: L(P T, α) = N T F (P T,j ) h j + α Uma condição de otimalidade é: E! N T P T,j h j L P T,k = 0 ) df (P T,k ) dp T,k = α, k = 1, 2,..., N T α constante ) UTE deve operar a um custo incremental constante durante todo o horizonte de tempo; A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 5 / 14

13 Solução do Problema (I) Função Lagrangeana: L(P T, α) = N T F (P T,j ) h j + α Uma condição de otimalidade é: E! N T P T,j h j L P T,k = 0 ) df (P T,k ) dp T,k = α, k = 1, 2,..., N T α constante ) UTE deve operar a um custo incremental constante durante todo o horizonte de tempo; F (P T,k ) é monotônica ) a potência gerada pela UTE deve ser constante ao longo de todo o seu intervalo de funcionamento. A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 5 / 14

14 Solução do Problema (II) Seja então P T o valor ótimo constante da geração térmica: P T,1 = P T,2 = = P T,NT = P T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 6 / 14

15 Solução do Problema (II) Seja então P T o valor ótimo constante da geração térmica: P T,1 = P T,2 = = P T,NT = P T Logo, E = N T N T P T,j h j = PT h j = PT T T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 6 / 14

16 Solução do Problema (II) Seja então P T o valor ótimo constante da geração térmica: P T,1 = P T,2 = = P T,NT = P T Logo, E = N T N T P T,j h j = PT h j = PT T T Portanto T T = E P T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 6 / 14

17 Solução do Problema (II) Seja então P T o valor ótimo constante da geração térmica: P T,1 = P T,2 = = P T,NT = P T Logo, E = N T N T P T,j h j = PT h j = PT T T Portanto T T = E P T Além disso: F T (P T ) = F (P T ) N T h j = F (P T ) T T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 6 / 14

18 Solução do Problema (III) Considere que a função de custo de produção da térmica é quadrática: F (P T ) = A + B P T + C (P T ) 2 A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 7 / 14

19 Solução do Problema (III) Considere que a função de custo de produção da térmica é quadrática: F (P T ) = A + B P T + C (P T ) 2 Então, a função-custo total no horizonte de tempo torna-se: h F T (P T ) = A + B PT + C (PT ) 2i T T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 7 / 14

20 Solução do Problema (III) Considere que a função de custo de produção da térmica é quadrática: F (P T ) = A + B P T + C (P T ) 2 Então, a função-custo total no horizonte de tempo torna-se: h F T (P T ) = A + B PT + C (PT ) 2i T T ou, usando a relação entre T T e PT " : A + B PT F T (P T ) = + # C (P T )2 PT E = A E P T + B E + C E P T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 7 / 14

21 Solução do Problema (III) Considere que a função de custo de produção da térmica é quadrática: F (P T ) = A + B P T + C (P T ) 2 Então, a função-custo total no horizonte de tempo torna-se: h F T (P T ) = A + B PT + C (PT ) 2i T T ou, usando a relação entre T T e PT " : A + B PT F T (P T ) = + # C (P T )2 PT E = A E P T + B E + C E P T Temos agora um prob. de otimização irrestrito: min P T F T (P T ) = A E P T + B E + C E P T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 7 / 14

22 Solução do Problema Irrestrito Função a ser minimizada: min P T F T (P T ) = A E P T + B E + C E P T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 8 / 14

23 Solução do Problema Irrestrito Função a ser minimizada: min P T F T (P T ) = A E P T + B E + C E P T Condição de otimalidade: df T dp T = A E (P T )2 + C E = 0 A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 8 / 14

24 Solução do Problema Irrestrito Função a ser minimizada: min P T F T (P T ) = A E P T + B E + C E P T Condição de otimalidade: ou df T dp T = A E (P T )2 + C E = 0 P T = r A C A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 8 / 14

25 Solução do Problema Irrestrito Função a ser minimizada: min P T F T (P T ) = A E P T + B E + C E P T Condição de otimalidade: ou Além disso: df T dp T = A E (P T )2 + C E = 0 P T = r A C T T = E P T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 8 / 14

26 Conclusões: O despacho ótimo da térmica independe de E e corresponte ao ponto mais e ciente de operação da UTE; A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 9 / 14

27 Conclusões: O despacho ótimo da térmica independe de E e corresponte ao ponto mais e ciente de operação da UTE; Solução ótima ) térmica despachada com potência constante durante todo o seu período de funcionamento. A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 9 / 14

28 Ilustração da Solução Em princípio, a UTE pode iniciar sua operação a qualquer instante entre t = 0 e t = T max T T ; A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 10 / 14

29 Ilustração da Solução Em princípio, a UTE pode iniciar sua operação a qualquer instante entre t = 0 e t = T max T T ; Entretanto, convém que a entrada em operação seja no início do horizonte, para prevenir alterações de previsãode demanda ou disponibilidade hidrelétrica; A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 10 / 14

30 Ilustração da Solução Em princípio, a UTE pode iniciar sua operação a qualquer instante entre t = 0 e t = T max T T ; Entretanto, convém que a entrada em operação seja no início do horizonte, para prevenir alterações de previsãode demanda ou disponibilidade hidrelétrica; Alterações de previsão podem ser atendidas estendendo-se ou reduzindo-se T T. A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 10 / 14

31 Exemplo 1 Uma UHE e uma UTE devem alimentar uma carga constante de 90 MW por uma semana (168 horas). As características das unidades são dadas abaixo: UHE: q(p H ) = P H dam 3 /h, 0 P H 100 MW UTE: H(P T ) = 53, , 27 P T + 0, 0213 PT 2 MBtu/h, 12, 5 P H 50 MW Supondo que o máximo deplecionamento admissível para o reservatório é de dam 3 ao longo da semana, por quanto tempo deve gerar a UTE e qual deve ser o seu despacho? A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 11 / 14

32 Solução (I) A energia solicitada pela carga durante a semana é 90 MW 168 h = MWh A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 12 / 14

33 Solução (I) A energia solicitada pela carga durante a semana é 90 MW 168 h = MWh Se apenas a UHE for despachada para atender a carga, teremos q(90) = = 1650 dam 3 /h V Tot = = dam 3 A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 12 / 14

34 Solução (I) A energia solicitada pela carga durante a semana é 90 MW 168 h = MWh Se apenas a UHE for despachada para atender a carga, teremos Como q(90) = = 1650 dam 3 /h V Tot = = dam 3 a térmica terá que ser despachada. V Tot > dam 3 A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 12 / 14

35 Solução (II) A geração térmica ótima é P T = r A C = r 53, 25 = 50 MW 0, 0213 A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 13 / 14

36 Solução (II) A geração térmica ótima é P T = r A C = r 53, 25 = 50 MW 0, 0213 No período em que a térmica estiver em operação, a UHE deverá gerar os restantes 40 MW. A vazão neste caso será: q 1 = = 900 dam 3 /h A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 13 / 14

37 Solução (II) A geração térmica ótima é P T = r A C = r 53, 25 = 50 MW 0, 0213 No período em que a térmica estiver em operação, a UHE deverá gerar os restantes 40 MW. A vazão neste caso será: q 1 = = 900 dam 3 /h O deplecionamento correspondente será V 1 = 900 T T A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 13 / 14

38 Solução (II) A geração térmica ótima é P T = r A C = r 53, 25 = 50 MW 0, 0213 No período em que a térmica estiver em operação, a UHE deverá gerar os restantes 40 MW. A vazão neste caso será: q 1 = = 900 dam 3 /h O deplecionamento correspondente será V 1 = 900 T T Quando apenas a UHE estiver operando: q 2 = = 1650 dam 3 /h V 2 = 1650 (168 T T ) A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 13 / 14

39 Solução (III) Para que seja cumprida a meta de volume: V 1 + V A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 14 / 14

40 Solução (III) Para que seja cumprida a meta de volume: V 1 + V Portanto, supondo que se deseja utilizar todo o volume disponível: V 1 + V 2 = 900 T T (168 T T ) = A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 14 / 14

41 Solução (III) Para que seja cumprida a meta de volume: V 1 + V Portanto, supondo que se deseja utilizar todo o volume disponível: V 1 + V 2 = 900 T T (168 T T ) = que fornece T T = 36, 27 h A. Simões Costa (GSP - Labspot) Programação H-T com Restrição de Energia 14 / 14

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