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1 Suponha que um caixeiro viajante tenha de visitar n cidades diferentes, iniciando e encerrando sua viagem na primeira cidade. Suponha, também, que não importa a ordem com que as cidades são visitadas e que de cada uma delas pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total. Se P = NP, então deve existir um algoritmo capaz de ordenar todas as rotas possíveis pelo critério da rapidez, ou seja, do tempo mínimo de cada rota que torna mínima a viagem total por n cidades, e fazer isso consiste em resolver uma equação linear. Digamos que o caixeiro viajante esteja à procura das rotas mais curtas do conjunto de todas as rotas possíveis de n cidades pelas

2 quais deve passar e, por fim, retornar à mesma cidade de onde saiu. No caso em que n = 5, temos: Aqui a rota 1 faz referência a rota 2; a rota 2 faz referência a rota 1; a rota 1 faz referência a rota 5, que faz referência a rota 4, que, por sua vez, faz referência a rota 1. A partir desta informação, o caixeiro viajante irá extrair uma hierarquia de valores do sistema com base na rota mais curta para percorrer n = 5 cidades, onde cada uma das 5 cidades possui um grau de importância de acordo com o menor tempo que o caixeiro viajante leva para percorrer em cada um delas em relação a todas elas.

3 Rota Aponta Apontada 1 2, 5 2, 4 2 1, , 2 A importância de cada rota, ou seja, a sua hierarquia, é dada pela soma de todas as rotas possíveis de n que apontam para ela, divididas pelo número de apontamentos dela. Cada rota empresta, em partes iguais, a sua importância na hierarquia para as rotas as quais ela aponta. Então para cada uma das 5 cidades nós temos: n = x, x... x Onde temos as seguintes equações:

4 + x + x O que o caixeiro viajante deve fazer então é resolver este sistema de equações lineares. Mas este sistema de equações possui uma única solução? Se sim, então ele é indecidível, pois todas as rotas seriam iguais e não haveria uma rota que tornaria mínima a viagem total, onde a solução é única, e o valor de todas as variáveis é igual a 0, onde teríamos: + x = 0

5 O que importa aqui é que o caixeiro viajante não está preocupado com o número de cidades de n, mas sim com a sua ordem ou hierarquia das rotas mais curtas que tornam mínima a viagem total por n cidades. Então para isso o caixeiro viajante acrescenta uma equação para a soma de todas as rotas mais importantes n = x, x... x = 1 Onde fica claro que, de todas as rotas possíveis, as que interessam ao caixeiro viajante são aquelas que, somadas, geram a menor rota possível para a viagem total. E de acordo com as equações das 5 rotas de n cidades é possível saber que, as rotas x x e x possuem o mesmo valor, isto é, a mesma distância; portanto, a rota que torna mínima a viagem total do caixeiro viajante só poderia ser a rota x ou a rota x, e como podemos ver na

6 estrutura formal das equações envolvendo n = 5, entre a rota x e a rota x, a rota mais curta que torna mínima a viagem total é a rota x, de valor: Esta rota aponta para dois caminhos e é apontada somente por um único caminho, sendo, portanto, a rota que torna mínima a viagem total. Portanto, em n = 5, a rota que torna mínima a viagem total é a seguinte: A conclusão que se chega é a de que o problema P= NP? é consistente quando condicionado à teoria dos conjuntos ZFC, tal como provou Da Costa e Dória. Sendo passível de uma resolução relativamente simples que determina com precisão matemática a rota que

7 torna mínima a viagem total. O que o caixeiro viajante faz aqui é basicamente o mesmo que faz o algoritmo do Google para escolher entre n links da internet, aquele que tem a maior importância, com base no número de referência a este ou aquele link, fazendo-o aparecer na primeira página do Google. No fim das contas, a matemática usada pelo caixeiro viajante é exatamente a mesma matemática utilizada pelo Google para indexar na primeira página o link mais importante pelo qual a pessoa está à procura. Enquanto o internauta procura pela informação mais relevante, que, segundo o algoritmo do Google, é aquela com o maior número de referências; o caixeiro viajante faz exatamente o mesmo, só que neste caso o ponto mais importante não é o número de referências à cidade, mas sim a rota mais curta entre uma e outra.

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