O método gráfico resolve PLs com 2 variáveis. 3 variáveis se você for um ninja da geometria descritiva!

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1 Resolução de PLs O método gráfico resolve PLs com 2 variáveis 3 variáveis se você for um ninja da geometria descritiva! Precisamos de métodos para resolver PLs com qualquer número de variáveis 1

2 Pesquisa Operacional I Sistemas de equações lineares Prof.: Eduardo Uchoa 2

3 Representação algébrica Um sistema de n variáveis e m equações pode ser representado como: S a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b : a x + a x + + a x = b n n 2 m1 1 m2 2 mn n m 3

4 Representação matricial Definindo-se as seguintes matrizes, a11 a12 a1 n x1 b1 a21 a22 a 2n x 2 b 2 A = x = b = a a a x b m1 m2 mn n m o sistema S pode ser representado pelo produto: Ax = b 4

5 Representação matricial A a a a a a a A = a a a n x x x = b = x b b b 1 1 Matriz dos coeficientes n 2 2 m1 m2 mn n m a11a 1n a12 x a 1 1 n b 1 x1 b1 a a 2n x 2 b 21 a22 a 2n Vetor dex 2 2 b 2 = x = bvariáveis = x = b = ama 1 am2 mn x amn n b xn bm m Vetor dos termos independentes ou constantes do lado direito 5

6 Sistemas de equações lineares Classificados quanto ao conjunto solução em: 1) Sistema determinado Uma única solução 2) Sistema indeterminado Infinitas soluções 3) Sistema inconsistente Nenhuma solução 6

7 Sistemas de equações lineares m x m Caso 1: Sistema determinado D = det A 0 Posto(A) = m A é uma matriz inversível, ou seja, A -1 existe A solução do sistema pode ser representada por: x = A -1 b 7

8 Sistemas de equações lineares m x m Exemplo x 2 2 x1 - x2 = 0 2 S 2x1 x2 = 0 : 2x1 + 3x2 = x x 2 = x 1 8

9 Sistemas de equações lineares m x m Caso 2: Sistema indeterminado Posto(A) < m Existem equações Linearmente Dependentes (LD) que podem ser eliminadas 9

10 Sistemas de equações lineares m x m Exemplo x 2 S 2x1 + 3x2 = 6 : 4x1 + 6x2 = x x 2 = 6 4 x x 2 = x 1 10

11 Sistemas de equações lineares m x m Caso 3: Sistema inconsistente 11

12 Sistemas de equações lineares m x m Exemplo x 2 x 1 + x 2 = x 1 + x 2 = 2 S x : x + x = 2 + x = x 1 12

13 Resolução de sistemas lineares Operações elementares São transformações aplicadas a um sistema sem que seu conjunto-solução seja modificado. São estas: 1. Troca de ordem de equações 2. Multiplicação de uma equação por um escalar não-nulo 3. Soma da multiplicação de uma equação à outra 13

14 Resolução de sistemas lineares Eliminação de Gauss-Jordan Método que busca a construção de uma matriz de coeficientes unitária por meio da aplicação de operações elementares Também serve para: Encontrar a inversa de uma matriz quadrada (se existir) Calcular o posto de uma matriz Detectar se o sistema é indeterminado 14

15 Resolução de sistemas lineares Exemplo ( ) ( ) ( ) 2x1 + x2 3x3 = 2 i i = i/2 x1 x2 + 2x3 = 7 ii ii = ii i 2x1 + 2x2 + x3 = 1 iii iii = iii 2i 15

16 Resolução de sistemas lineares Exemplo ( ) ( ) ( ) 2x1 + x2 3x3 = 2 i i i/2 x1 x2 + 2x3 = 7 ii ii = ii i 2x1 + 2x2 + x3 = 1 iii iii = iii 2i 16

17 Resolução de sistemas lineares Exemplo ( ) ( ) ( ) 2x1 + x2 3x3 = 2 i i i/2 x1 x2 + 2x3 = 7 ii ii = ii i 2x1 + 2x2 + x3 = 1 iii iii = iii 2i 1 3 x1 + x2 x3 = 1 ( i) i = i/2 2 2 x1 x2 + 2x3 = 7 ( ii) ii ii i 2x1 + 2x2 + x3 = 1 ( iii) iii = iii 2i 17

18 Resolução de sistemas lineares Exemplo 1 3 x1 + x2 x3 = 1 ( i) i = i/ x2 + x3 = 8 ( ii) ii = ii i 2 2 2x1 + 2x2 + x3 = 1 ( iii) iii iii 2i 18

19 Resolução de sistemas lineares Exemplo 1 3 x1 + x2 x3 = 1 ( i) i = i/ x2 + x3 = 8 ( ii) ii = ii i 2 2 2x1 + 2x2 + x3 = 1 ( iii) iii iii 2i 1 3 x1 + x2 x3 = 1 ( i) i = i ii/ x2 + x3 = 8 ( ii) ii ii/(-3/ 2) 2 2 x2 + 4x3 = 1 ( iii) iii = iii ii 19

20 Resolução de sistemas lineares Exemplo 1 3 x1 + x2 x3 = 1 ( i) i i ii/ x2 x3 = ( ii) ii = ii/ (-3/2) 3 3 x2 + 4x3 = 1 ( iii) iii = iii ii 20

21 Resolução de sistemas lineares Exemplo 1 3 x1 + x2 x3 = 1 ( i) i i ii/ x2 x3 = ( ii) ii = ii/ (-3/2) 3 3 x2 + 4x3 = 1 ( iii) iii = iii ii x 1 3 x x 1 5 x = x = 3 3 ( i) ( ii) i = i ii/2 ii = ii/(-3/2) + 4x = 1 iii iii iii ii ( ) 21

22 Resolução de sistemas lineares Exemplo x 1 3 x 1 5 x = 3 3 ( i) i = i + (iii/3) 7 16 x = 3 3 ( ii) ii = ii + [(7/3)(iii)] x3 = 3 3 ( iii) iii iii / (19 / 3)

23 Resolução de sistemas lineares Exemplo x x 1 3 x 1 5 x = 3 3 ( i) i = i + (iii/3) 7 16 x = 3 3 ( ii) ii = ii + [(7/3)(iii)] x3 = 3 3 ( iii) iii iii / (19 / 3) x 1 5 x = x = 3 3 ( i) ( ii) i i + (iii/3) ii = ii + [(7/3)(iii)] x = 1 iii iii = iii / (19 / 3) ( ) 23

24 Resolução de sistemas lineares Exemplo x1 = 2 i i = i + (iii/3) 7 16 x2 x3 = ( ii) ii ii + [(7/3)(iii)] 3 3 x3 = 1 ( iii) iii = iii / (19 / 3) ( ) 24

25 Resolução de sistemas lineares Exemplo x1 = 2 i i = i + (iii/3) 7 16 x2 x3 = ( ii) ii = ii + [(7/3)(iii)] 3 3 x3 = 1 ( iii) iii = iii / (19 / 3) ( ) ( ) ( ) ( ) x1 = 2 i x2 = 3 ii x3 = 1 iii i = i + (iii/3) ii = ii + [(7/3)(iii)] iii = iii / (19 / 3) 25

26 Resolução de PLs por enumeração de bases Prof.: Eduardo Uchoa 26

27 Programação linear As restrições de um PL na forma padrão definem um sistema linear Ax = b, com A m n e n m O complicador é a existência das restrições de não-negatividade x 0 27

28 Definindo bases Assuma que posto(a) = m (as equações LD podem ser detectadas e eliminadas pelo método de Gauss-Jordan) Pode-se achar soluções para Ax = b da seguinte forma: 1. Selecione m colunas LI de A (não necessariamente contíguas) 2. A matriz m m formada será chamada de B. Dizemos que B é uma base. As variáveis associadas a B são ditas básicas e definem o vetor m 1 x B. 3. As demais colunas formam uma matriz m (n-m) chamada de N, as variáveis associadas são ditas nãobásicas e definem o vetor (n-m) 1 x N. 28

29 Exemplo: Problema de Mix de Produção Corte Montagem Acabamento Lucro Unitário Madeira 1,5 h/porta 3,0 h/porta 1,0 h/porta R$ 4,00 Alumínio 4,0 h/porta 1,5 h/porta 1,0 h/porta R$ 6,00 Disponibilidade 24 h 21 h 8 h 29

30 Exemplo: Problema de Mix de Produção Corte Montagem Acabamento Lucro Unitário Madeira 1,5 h/porta 3,0 h/porta 1,0 h/porta R$ 4,00 Alumínio 4,0 h/porta 1,5 h/porta 1,0 h/porta R$ 6,00 Disponibilidade 24 h 21 h 8 h maximizar z = 4,0 x mad + 6,0 x al Sujeito a 1,5 x mad + 4,0 x al 24 Converter para a forma padrão introduzindo variáveis de folga 3,0 x mad + 1,5 x al 21 1,0 x mad + 1,0 x al 8 x mad, x al 0 30

31 Exemplo: Problema de Mix de Produção Corte Montagem Acabamento Lucro Unitário Madeira 1,5 h/porta 3,0 h/porta 1,0 h/porta R$ 4,00 Alumínio 4,0 h/porta 1,5 h/porta 1,0 h/porta R$ 6,00 Disponibilidade 24 h 21 h 8 h maximizar z = 4,0 x mad + 6,0 x al Sujeito a 1,5 x mad + 4,0 x al + x 3 = 24 3,0 x mad + 1,5 x al + x 4 = 21 1,0 x mad + 1,0 x al + x 5 = 8 x mad, x al, x 3, x 4, x

32 Representação matricial do sistema xmad 1,5 4, xal 24 A = 3, 0 1, x = x b = ,0 1, x 4 8 x 5 Ax = b xmad 1,5 4, xal 24 3, 0 1, x = ,0 1, x 4 8 x 5 32

33 Montando uma base xmad 1,5 4, xal 24 A = 3, 0 1, x = x b = ,0 1, x 4 8 x 5 Selecionar 3 variáveis. 33

34 Montando uma base A xmad 1,5 4, xal 24 = 3, 0 1, x = x b = , 0 1, x 4 8 x 5 Por exemplo, x mad, x 3 e x 5 34

35 Reescrevendo o sistema separando as variáveis básicas e não-básicas 1, , 0 0 x 24 x B = N = x = x x = b = mad al 3, ,5 1 B 3 N 21 x 4 1, ,0 0 x 5 8 1,5 1 0 xmad 4, xal Ax = b BxB + NxN = b 3, x3 + 1,5 1 = 21 x 4 1,0 0 1 x 5 1,

36 Encontrando a solução básica Fazendo x N = 0, o único valor possível para é x B = B -1.b x 1, = = = 3, = 13,5 x 1, mad 1 BxB b xb B b x3 5 1 A solução x= (x B =B -1.b, x N = 0) é chamada de solução básica do sistema Ax = b associada a base B. 36

37 Encontrando a solução básica Fazendo x N = 0, o único valor possível para é x B = B -1.b x 1, = = = 3, = 13,5 x 1, mad 1 BxB b xb B b x3 5 1 Para encontrar x B não é preciso calcular B -1. Basta resolver o sistema Bx B = b. 37

38 Soluções básicas viáveis Uma solução básica em que x = (x B, x N ) 0 é chamada de solução básica viável, ou seja, é uma solução legítima do PL Uma solução x = (x B, x N ) com alguma variável < 0 é uma solução básica não-viável do PL Propriedade: Se um PL possui uma única solução ótima, essa solução é básica viável. Propriedade: Se um PL possui múltiplas soluções ótimas, existem pelo menos 2 soluções básicas viáveis ótimas. 38

39 Todo PL pode ser resolvido por enumeração de soluções básicas Para resolvermos um PL, podemos nos limitar a olhar apenas as soluções básicas, ou seja, testar todas as soluções básicas e pegar a melhor (de acordo com a função objetivo) que seja viável. Porém o número de soluções básicas é: n n! = m m! ( n m)! Este número pode ser muito grande e, portanto, o método é ineficiente e só serve para problemas pequenos. 39

40 Geometria das soluções básicas x alumínio VARIÁVEIS BÁSICAS FOLGA CORTE, FOLGA MONTAGEM, FOLGA ACABAMENTO X MADEIRA, FOLGA MONTAGEM, FOLGA ACABAMENTO X ALUMÍNIO, FOLGA MONTAGEM, FOLGA ACABAMENTO VARIÁVEIS NÃO BÁSICAS X MADEIRA, X ALUMÍNIO FOLGA CORTE, X ALUMÍNIO FOLGA CORTE, X MADEIRA FOLGA CORTE, X MADEIRA, FOLGA ACABAMENTO FOLGA CORTE, X ALUMÍNIO, FOLGA ACABAMENTO FOLGA MONTAGEM, X ALUMÍNIO FOLGA MONTAGEM, X MADEIRA 5 10 FOLGA CORTE, FOLGA MONTAGEM, X MADEIRA FOLGA CORTE, FOLGA MONTAGEM, X ALUMÍNIO X MADEIRA, X ALUMÍNIO, FOLGA CORTE X MADEIRA, X ALUMÍNIO, FOLGA MONTAGEM X MADEIRA, X ALUMÍNIO, FOLGA ACABAMENTO FOLGA ACABAMENTO, X ALUMÍNIO FOLGA ACABAMENTO, X MADEIRA FOLGA MONTAGEM, FOLGA ACABAMENTO FOLGA CORTE, FOLGA ACABAMENTO FOLGA CORTE, FOLGA MONTAGEM x madeira 40

41 Geometria das soluções básicas viáveis As soluções básicas viáveis correspondem aos pontos extremos do espaço de soluções. 41

42 OBSERVAÇÃO Este material refere-se às notas de aula do curso TEP117 (Pesquisa Operacional I) da Universidade Federal Fluminense (UFF) e foi criado a partir das notas do Prof. Rodrigo A. Scarpel do ITA ( e não pode ser reproduzido sem autorização prévia de ambos os autores. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para atividades de ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos. 42