INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza 0 x x e x dx e dx = e = e 0 x 0 0 x e x 0 e x dx dx = Métodos Aproximados

2 Refletindo... Hoje em dia, acontece que se dedica muito tempo a estudar uma grande quantidade de métodos chamados exatos que resolvem um grupo pequeno de problemas, no lugar de dedicar ddi mais tempo a estudar métodos aproximados que embora sejam poucos em quantidade, podem ser aplicados a um grande número de problemas. Exemplo: A busca das soluções de equações polinomiais de grau gaumaior ao que quatro Não pode ser resolvido por um método exato Aparecem com frequência em problemas técnicos e científicos Aerodinâmica aplicada Refletindo... Não somente a maioria dos problemas não podem ser resolvidos por métodos exatos, senão também que existem problemas cuja solução por um método exato, é mais trabalhosa que mediante autilização de um método aproximado (Resolução de um sistema de equações lineares). É importante ressaltar, que estamos falando de Métodos Exatos e Métodos Aproximados, quando o correto é falar de Métodos Analíticos e Métodos Numéricos respectivamente, já que exato existe muito pouco na vida.

3 Modelo matemático de um circuito elétrico Corrente (i) Resistência (R) Circuito elétrico Tensão (V) Formular um modelo matemático e encontrar a solução do problema representado por esse modelo Lei de Kirchoff V = i R Solução Aproximada... Assim,élógicofalardemétodosanalíticosemétodosnuméricos,estes últimos são agrupados na disciplina matemática que se denomina Matemática numérica ou Matemática de cálculo. A Matemática Numérica se define como a teoria e a prática do cálculo eficiente e a estimação do erro da solução aproximada. Na matemática Numérica não basta solucionar o problema, senão que interessa também o tempo que é necessário ái para obter a solução e a estimação do erro da aproximação. Objetivo: A eleição do método mais adequado para a solução do problema. 6

4 Modelo matemático de um circuito elétrico Corrente (i) Resistência (R) Tensão (V) Circuito elétrico Diodo semicondutor Difícil solução analítica Modelo matemático Utilização de métodos numéricos 7 A Importância da Disciplina Resolver um problema matemático numericamente Decisões Conhecimentos de métodos numéricos O profissional terá que decidir: Pela utilização ou não de um método numérico (existem métodos numéricos para se resolver este problema?); Escolher ométodo aserutilizado, procurando aquele que é mais adequado d para o seu problema. Que vantagens cada método oferece e que limitações eles apresentam; Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importante ele saber exatamente o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como determinado método é aplicado. 8

5 Objetivo da Disciplina Apresentar diversos métodos numéricos para a resolução de diferentes problemas matemáticos, mostrando: a essência de um método numérico; a diferença em relação a soluções analíticas; as situações em que eles devem ser aplicados; as vantagens de se utilizar um método numérico; e as limitações na sua aplicação e confiabilidade na solução obtida. Apresentar ao aluno maneiras práticas de se desenvolver e utilizar métodos numéricos (aplicativos computacionais); Melhorar a familiarização e intimidade do aluno com a matemática, mostrando seu lado prático e sua utilidade no dia a dia de um engenheiro. Rever conceitos já vistos, exercitá los e utilizá los de maneira prática; 9 Metodologia e Técnicas de Ensino Aulas Expositivas; Atividades individuais e em grupo. 0

6 Avaliação Aplicação de provas durante o semestre; Trabalhos. MF = P+ P + T 0 MF 6 Aprovado MF < 6 VS MF < Reprovado Ementa Noções Básicas sobre Erros Zeros Reais de Funções Reais Resolução de Sistemas Lineares Introdução à Resolução de Sistemas Não-Lineares Interpolação Ajuste de funções Integração Numérica 6

7 Métodos analíticos Versus Métodos Aproximados Porque utilizar métodos aproximados? Vamos analisar um problema Caixeiro Viajante Conjunto de cidades Objetivo: Saindo de uma cidade origem, visitar todas as outras e retornar para a cidade origem (minimizando a distância ou tempo percorrido) Restrições: Cada cidade deve ser visitada, exatamente, uma vez. 7

8 Caixeiro Viajante Total: Caixeiro Viajante Total: * 6 8

9 Caixeiro Viajante Total: ** 7 Caixeiro Viajante Total: ***= Total:! possibilidades Com 6 cidades:!! = *! Com n cidades: (n )! 8 9

10 Caixeiro Viajante 0 cidades 8 segundos cidades 80 segundos cidades minutos cidades horas cidades, dias cidades semanas 6 cidades meses 7 cidades anos 8 cidades, séculos 9 0