CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO PESQUISA OPERACIONAL FLUXO MÁXIMO

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1 CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO PESQUISA OPERACIONAL FLUXO MÁXIMO

2 SUMÁRIO Introdução; Aplicações; Premissas; Teorema de Ford-Fulkerson; Fluxo Máximo como um Problema de Programação Linear; Exemplos; Algoritmo rodando computacionalmente; Modelagem do LINDO / WinQSB / Excel.

3 OBJETIVO Identificar em quais tipos de problemas pode-se utilizar a Técnica do Fluxo Máximo. Utilizar o Algoritmo de Ford-Fulkerson na solução de problemas de fluxo máximo.

4 Introdução Fluxo é algo que se move ao longo das ligações do grafo. Teremos então algum tipo de recurso (que pode ser veículos, carga, mensagens, documentos, ou mesmo pessoas) que escoa ao longo das arestas do grafo. Falta entender portanto, o que estamos querendo, ao construirmos um modelo de fluxo. Podemos observar que, em geral, tais modelos traduzem situações nas quais se transporta algo.

5 Introdução Assim, aparecem algumas questões a serem respondidas: 1) Qual a maior quantidade de fluxo que pode passar por um grafo? 2) Qual o menor custo associado a uma dada quantidade de fluxo? 3) Onde teríamos de intervir no problema, para podermos aumentar o trânsito de fluxo (eliminar o gargalo )?

6 Aplicações

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8 Premissas Uma rede de fluxo é um grafo, sendo o conjunto de nós e o conjunto de arestas, dotado das seguintes propriedades: Para cada aresta há um número não negativo, que indica a capacidade da mesma (ou seja, a quantidade máxima de fluxo que cada uma é capaz de carregar). Existe um único nó que será identificado como fonte (sink), a ser denotado por s; Existe um único nó que será identificado como terminal (ou sumidouro), que será chamado de t; Não há nenhuma aresta direcionada para a fonte, apenas arestas que saem dela e são direcionadas para outros nós. Não há nenhuma aresta que saia do terminal, apenas arestas direcionadas a ele. Um fluxo é uma função que respeite às seguintes propriedades: Restrições de capacidade (capacity conditions) Restrições de conservação (conservation conditions): para cada nó, temos que o fluxo total que entra em determinado nó é igual ao fluxo total que sai de tal nó.

9 TEOREMA DE FORD-FULKERSON O algoritmo de Ford-Fulkerson (devido a Lester Randolph Ford e Delbert Ray Fulkerson) é um algoritmo utilizado para resolver problemas de fluxo em rede (network flow). O algoritmo é empregado quando se deseja encontrar um fluxo de valor máximo que faça o melhor uso possível das capacidades disponíveis na rede em questão. A história do algoritmo está relacionada à análise da rede ferroviária da União Soviética, tanto por russos quanto por americanos, nas décadas de 1930, 1940 e O problema resolvido pelo algoritmo é o de encontrar um fluxo máximo em uma rede. Uma rede pode ser uma rede elétrica, um sistema de transporte de fluidos ou a distribuição de produtos ao longo de uma rede de transportes, como uma malha ferroviária ou rodoviária. Por exemplo, deseja-se transportar o máximo de minério de ferro através de uma rede ferroviária, limitadas pela capacidade de cada via.

10 TEOREMA DE FORD-FULKERSON O valor do fluxo máximo em um grafo é igual à capacidade do corte de capacidade mínima.

11 TEOREMA DE FORD-FULKERSON Exemplo 1

12 TEOREMA DE FORD-FULKERSON Exemplo 2:

13 Exemplo3: TEOREMA DE FORD-FULKERSON

14 Exemplo 4 MODELAGEM POR PL

15 INTERVALO

16 Exercício 1

17 Exemplo 2 O Seervada Park foi reservado recentemente para visitação e excursões limitadas (mochileiros). Para evitar maiores transtornos à fauna e à flora da região, foi imposto uma limitação rigorosa do número de viagens de carrinhos que podem ser feitas diariamente por essas estradas (esses limites diferem para as diversas estradas). Portanto, durante o pico da temporada, várias rotas poderiam ser seguidas, independentemente da distância a ser percorrida, visando aumentar o número de viagens que podem ser feitas todos os dias. A questão é quais rotas e quantos carrinhos podem passar diariamente em cada rota, de modo a maximizar o número de viagens sem violar os limites em qualquer uma das estradas individualmente.

18 Exemplo 2 (continuação)

19 Exercício 3

20 Algoritmo rodando computacionalmente

21 Na aula de hoje vimos: Aplicações; Premissas; Teorema de Ford-Fulkerson; Fluxo Máximo como um PPL; Exemplos; Exercícios; Algoritmo rodando computacionalmente; Modelagem do LINDO / WinQSB / Excel.

22 DÚVIDAS