Aula 3. Ivan Sendin. 20 de agosto de FACOM - Universidade Federal de Uberlândia OPT-2.

Transcrição

1 Otimização Aula 3 FACOM - Universidade Federal de Uberlândia ivansendin@yahoo.com,sendin@ufu.br 20 de agosto de 2018

2 Problema da Cerca Dada uma solução, saber se é viável/factível Dada uma solução, sabemos o seu benefício (problema dos chapeus/prisioneiros = Futuro...)

3 Otimização X PO application of advanced analytical methods to help make better decisions. - Wikipedia Inglaterra (pré) WWII - Radares Diferenciar o trabalho de laboratório com o de campo Public-Articles/June-Volume-42-Number-3/ History-of-OR-Useful-history-of-operations-r

4 Facebook Microsoft, Google, Amazon,... (Parte do) Cientista de Dados Exemplo: Melhor vendedor com o melhor($) cliente (?)

5 Tradução de um cenário para um sistema mais formal possibilita a busca da solução ótima de forma sistemática

6 Mundo Real Modelo Mundo Real Consideado (Fig 1.1 de Taha)

7 Todos os s são errados... mas alguns são úteis George E.P. Box

8 1 Quais são as alternativas? O que tenho que decidir? Quais são as minhas liberdades? 2 Quais são as restrições O que eu devo obedecer? Limitações 3 Qual seria um critério objetivo para avaliar cada alternativa. Como comparar soluções?

9 - Problema da cerca 1 Quais são as alternativas? Variar a relação de comprimento dos lados. base e altura 2 Quais são as restrições O perímetro não pode ser maior do que L 3 Qual seria um critério objetivo para avaliar cada alternativa A área do retângulo formado

10 - Problema da cerca Eu quero construir um cercado retângular de área máxima usando uma cerca de L metros, portanto, o perimetro do retângulo não pode exceder L

11 - Problema da cerca Eu quero maximizar b.h sujeito a 2(b + h) L. b e h são suas variáveis de decisão: formam o espaço que voce pode tomar as decisões.

12 - Problema da cerca max b.h s.t. 2(b+h) >= L b >= 0 h >= 0 max ou min, s.t. ou s.a.

13 Este é equivalente a um algoritmo (faca, se, enquanto,...) (equivalente = existe um máquina que o entende e o executa) Solvers

14 - Problema da cerca (resolvendo na mão...) x é a minha variável de decisão... b = L 4 x 4 h = L 4 + x 4 b.h = L x L+x 4 4 b.h = L2 2Lx+x 2 16 maximizar x 2 2Lx...

15 - Problema das passagens (1.1 de Taha) Voce mora em Fayeteville(F) 5 semanas em Denver(D) 2a: F >D 4a: D >F Passagem avulsa: $300 Passagem Ida-Volta: $400 Ja posso construir um : 1 Alternativas: passagem avulsa X ida-volta (todas as combinações) 2 Restrições: 2a chega em D e 4a chega em F 3 Função Objetivo: Custo=soma das passagens

16 - Problema das passagens 2a: F >D / 4a: D >F Passagem avulsa: $300 Passagem Ida-Volta: $400 Passagem Ida-Volta com fim de semana: 20% de desconto 1 Alternativa:? 2 Restrições: 2a chega em D e 4a chega em F 3 Função Objetivo: Custo=soma das passagens

17 - Problema do troco Moedas do 50,20, 5 e 1 centavo Como fazer um troco de 77 centavos? Gastando o minimo de moedas.

18 - Problema do troco Quais são as VDs? A quantidade de cada tipo de moeda disponível. x 1 := moeda de 50c, x 2 :=moeda de 20 c,... x i Z, x i >= 0 Quais regras devemos obedecer? A soma das moedas deve ser igual ao troco Qual é a função objetivo? A soma da quantidade de moedas deve ser mínima

19 min z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 s.a 50x x 2 + 5x 3 + x 4 = t x 1, x 2, x 3, x 4 Z x 1, x 2, x 3, x 4 0

20 Solução para 77 centavos Solução para 60 centavos

21 E se tivermos apenas 5 moedas de 5c??

22 min z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 s.a 50x x 2 + 5x 3 + x 4 = t x 3 5 x 1, x 2, x 3, x 4 Z x 1, x 2, x 3, x 4 0

23 E se moedas de 5 centavos forem mais difíceis de conseguir...

24 min z = x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 s.a 50x x 2 + 5x 3 + x 4 = t x 1, x 2, x 3, x 4 Z x 1, x 2, x 3, x 4 0

25 from pulp import * prob = LpProblem("Troco", LpMinimize) valores = [50,20,5,1] x = LpVariable.dicts( x,[0,1,2,3],lowbound=0,cat=pulp.lpinteger) prob += pulp.lpsum([x[ix] for ix in range(4)]), "obj" prob += pulp.lpsum([valores[ix]*x[ix] for ix in range(4)]) == 77, "R1" prob.solve() print "Status:", LpStatus[prob.status] for v in prob.variables(): print v.name, "=", v.varvalue print ("objective = %s" % value(prob.objective))

26 (...) Status: Optimal x_0 = 1 x_1 = 1 x_2 = 1 x_3 = 2 objective = 5

27 1.1.4 e de Taha.

28 Programação Linear Programação Inteira: VD são inteiros (troco) Programação Dinâmica: mochila(?) Programação não-linear: quadráticas (por exemplo) Heurísticas: ideias boas

29 Reddy Mikks- Exemplo Fábrica de tintas Tintas para interior e exterior

30 Reddy Mikks- Exemplo Exterior Interior Dispo M M Lucro 5 4

31 Reddy Mikks- Exemplo Devemos determinar a produção de tintas de interior e exterior Garantir o melhor lucro

32 Reddy Mikks- Exemplo Devemos determinar a produção de tintas de interior e exterior x 1 - produção de tinta para exterior... x 2 - interior Garantir o melhor lucro maximizar: lucro(x 1 ) + lucro(x 2 ) z = 5x 1 + 4x 2 (tabela...)

33 Reddy Mikks- Exemplo Existe uma diponibilidade máxima de matéria prima M1 2 Existe uma diponibilidade máxima de matéria prima M2 3 A demanda diária por tinta para interior não pode ultrapassar a de exterior em uma tonelada (gerencia) 4 A demanda máxima de tintas para interiores é de 2

34 Reddy Mikks- Exemplo Existe uma diponibilidade máxima de matéria prima M1 Exterior Interior Dispo M M Lucro 5 4 6x 1 + 4x 2 24

35 Reddy Mikks- Exemplo Existe uma diponibilidade máxima de matéria prima M2 Exterior Interior Dispo M M Lucro 5 4 1x 1 + 2x 2 6

36 Reddy Mikks- Exemplo A demanda diária por tinta para interior(x 1 ) não pode ultrapassar a de exterior(x 2 ) em uma tonelada (gerencia) x 2 x x 1 + x 2 1

37 Reddy Mikks- Exemplo A demanda máxima de tintas para interiores é de 2 x 2 2

38 Reddy Mikks- Exemplo max s.a. z = 5x1 + 4x2 6x1 + 4x2 <= 24 1x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x2 <= 2 x1,x2 >= 0

39 Reddy Mikks- Exemplo (x 1, x 2 ) = (3, 1) é viável/factível? Lucro? 2 (x 1, x 2 ) = (4, 1) é viável? Lucro? 3 (x 1, x 2 ) = (3, 1.5) é viável? Lucro? 4 (x 1, x 2 ) = (2, 2) é viável? Lucro?

40 Reddy Mikks- Exemplo Mais... 1 A produção de tintas para interiores deve ser maior do que a de tinta para exteriores em - ao menos - 1 tonelada 2 A utilização diária de M2 deve ser ao minimo 4 3 A quantidade minima de tinta produzida não pode ser inferior a 2 4 A produção de tintas para exterior não deve ser maior do que o dobro da de tintas para interior

41 Reddy Mikks- Exemplo Para (x 1, x 2 ) = (2, 2) determine a sobra de materia prima.