Instituto Tecnológico de Aeronáutica Mestrado Profissional em Produção. MB-746 Otimização. Modelagem de Sistemas

Transcrição

1 MB-746 Otimização Modelagem de Sistemas

2 Modelagem de Sistemas Modelo: representação das características essenciais do sistema em estudo P ao Q R c P aw Q A C S R p P ao Q P aw Q A P A P A C L R c C S R p C L Q S P pl C pl P pl C pl

3 Modelo Matemático 8 mola 6 Sistema Massa-Mola-Amortecedor M P y massa y [cm] 4 amortecedor t [s] t r

4 Modelo para o Problema de Otimização Programação Matemática sujeito a Função Custo Vinculo ou Restrição de Desigualdade Variável de Decisão Vinculo ou Restrição de Igualdade Conjunto Viável = { pontos x que satisfazem essas condições }

5 Exemplo: Otimização Unidimensional (apenas 1 variável de decisão x ) f(x) Valor Mínimo f(x * ) [ ] x Conjunto viável Pontos que satisfazem g(x) 0 x * Solução

6 Exemplo de Função Custo

7 Curvas/Contornos de Nível Curvas de Nível

8 Observações Gerais Min Max Subjetividade na escolha do f(.) Max Grande ou Ótimo Bom Nem sempre Ótimo é melhor que Sub-Ótimo Problema de Seleção

9 Passos para Modelagem Passo 1: Às vezes, é interessante fazer um diagrama esquemático Passo 2: Caracterizar as variáveis de decisão Selecionar as grandezas cujos valores podem ser alteradas Atribuir símbolos para essas grandezas Passo 3: Caracterizar a função custo Verificar qual a grandeza a ser maximizada/minimizada Expressar essa grandeza como função das variáveis de decisão Passo 4: Caracterizar as restrições Verificar qual a faixa em que as variáveis de decisão podem estar Expressar, em forma de igualdades ou desigualdades, essa faixa.

10 Exemplo de Modelagem Retirado de: Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado. Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima?

11 Exemplo de Modelagem Retirado de: Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado. Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima? Passo 1: Às vezes, é interessante fazer um diagrama esquemático Rio A 80m de cerca

12 Exemplo de Modelagem Retirado de: Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado. Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima? Passo 2: Caracterizar as variáveis de decisão Selecionar as grandezas cujos valores podem ser alterados Atribuir símbolos para essas grandezas y A y x, y x

13 Exemplo de Modelagem Retirado de: Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado. Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima? Passo 3: Caracterizar a função custo Verificar qual a grandeza a ser maximizada/minimizada Expressar essa grandeza como função das variáveis de decisão y A y A = xy x

14 Exemplo de Modelagem Retirado de: Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado. Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima? Problema de Otimização: max A = xy s.a. x > 0 y > 0 x < 80 y < 80 x + 2y = 80

15 Exemplo de Modelagem Retirado de: Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto a margem do rio não é cercado. Como deve ser o retângulo de modo que a área cercada seja máxima? Problema de Otimização: max A = xy s.a. x > 0 y > 0 x < 80 y < 80 x + 2y = 80 y = 40 x/2 A = x(40 x/2) = 40x x 2 /2 A = 40 x ou x = 40

16 Exercícios de Modelagem

17 Retirado de: Um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. Cada trapézio tem base menor e laterais de medidas sempre iguais a 1 m. Se x representa a medida, em radianos, do ângulo entre uma lateral e uma altura de cada um dos dois trapézios congruentes usados na construção do bebedouro, quanto deve ser x para que a forma do bebedouro correspondente tenha o maior volume V possível? [sol = pi/6 rad] Um fabricante quer construir uma embalagem no formato de uma pirâmide regular de base quadrada a partir de uma folha de papelão quadrada medindo 2 m por 2 m. Para construir a embalagem, triângulos isósceles são removidos das laterais da folha de papelão. As pontas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma pirâmide regular de base quadrada. Quanto deve ser x, a metade da medida em metros da diagonal da base quadrada da pirâmide, para que o volume V da embalagem seja o maior possível? [sol = 4/5 m]

18 Retirado de: Na construção de um transformador de corrente alternada, insere-se na bobina circular do transformador um núcleo de ferro cuja seção transversal tem o formato de uma cruz. É importante que esta seção transversal tenha a maior área possível. Se o raio da seção transversal circular da bobina mede 18 milímetros e se x representa a metade da medida, em milímetros, dos lados da cruz cujas extremidades estão sobre a seção circular, quanto deve ser x para que a área A da cruz seja a maior possível? [sol = mm] Um agricultor está em sua casa C situada a 80 metros da margem retilínea de um rio. Ele quer encher primeiro o seu regador de água em um ponto M na margem deste rio e, depois, se dirigir para sua horta H, situada a 50 metros da margem do rio. A distância entre os pés A e B das perpendiculares traçadas de C e H sobre a margem do rio é igual a 100 metros. Considere um sistema de coordenadas onde A = (0, 0), B = (100, 0), C = (0, 80), H = (100, 50) e M = (x, 0). Quanto deve ser x, a abscissa do ponto M sobre o eixo x, para que o comprimento d do trajeto casa (C), rio (M) e horta (H) seja o menor possível? [sol = 61.5 m]

19 Muito Obrigado