PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO MÁXIMOS E MÍNIMOS UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: RESUMO 1

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1 UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU DATA: CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO I Prof. Ms Rogério Lobo PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO MÁXIMOS E MÍNIMOS Observe a função y = f(x), contínua e derivável, cujo gráfico está representado abaixo. A função no ponto A passa de crescente para decrescente e no ponto B de decrescente para crescente. O ponto A é chamado de ponto de máximo relativo ou máximo local de f(x). O ponto B é chamado de ponto de mínimo relativo ou mínimo local de f(x). RESUMO 1 Ponto de inflexão: f (x) = 0 e f (x) 0 Dizemos que uma função admite pontos críticos se tiver pontos de máximo, mínimo ou inflexão. Exemplos 1) estudar a função f ( x). Solução: Pontos extremos: f ( x) 0 1 f ( x) 6x x 1 f ( 1) 6 0( máxima) MAX ( 1,) X 1 F ( 1) 6 0( mínimo) MIN(1, ) Os pontos A e B são os extremos da função y = f(x). Nos extremos, a derivada primeira é nula: Ponto de inflexão: f ( x) 6x 0 0 INF(0,0) Para saber se o ponto é máximo ou mínino, calcule-se a ª derivada: Ponto de máximo: f (x)=0 e f (x)<0 Ponto de mínimo: f (x)=0 e f (x)>0 Na figura acima, o ponto C indica um ponto de inflexão. A curva no ponto de inflexão muda a concavidade. ) De todos os retângulos de perímetros igual a p, ache o que tem área máxima. Solução: 1

2 S = x h x + h = p h = p x Substituindo-se em S = x h: S = x(p x) = px - x S`= p x = 0 = p e S`` = - A altura h = p - p = p -) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 5 cm de comprimento, retirandose um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. (Despreze a espessura da A área S = p 4 cartolina.) Exercícios de Aula 1-) De uma folha retangular de metal de 0 cm de base e 15 cm de altura deve-se fazer uma calha dobrando, no lado de 0 cm, as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?

3 -) A empresa Vista-se Bem Ltda fabrica vestidos de noiva. Suponha que a quantidade pedida por semana dos vestidos de noiva está relacionada ao preço unitário pela equação de demanda p = 800 x, onde p é medido em dólares e x é o número de vestidos de noiva feitos. Para maximizar as receitas, quantos vestidos de noiva deverão ser fabricados e vendidos a cada semana? Sugestão : R(x) = p. x 4-) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 75π cm. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material.

4 5-) Uma rodovia Norte-Sul intercepta outra rodovia Leste-Oeste em um ponto P. Um automóvel passa por P ás 10h, dirigindo-se para o leste a 0km/h. No mesmo instante, outro automóvel está a Km ao norte de P e se dirige para o sul a 50 km/h. Determine o instante em que os automóveis estão mais próximos um do outro, e aproxime a distância mínima entre eles 6-) Uma pessoa se acha em um bote a km de distância do ponto mais próximo em uma praia retilínea, e deseja atingir uma casa a 6km praia abaixo. Se a pessoa pode remar à razão de km/h e andar à razão de 5 km/h, determine o tempo mínimo que levará para atingir a casa. 4

5 7-) Um muro tem m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,0 m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (sugestão: use triângulos semelhantes) 8-) Um cartaz de 6m de altura está colocado no alto de um edifício, com sua parte inferior a 0 m acima do olho do observador, conforme a figura a seguir. A que distância diretamente abaixo do cartaz deve colocar-se um observador de modo a maximizar o ângulo θ formado pelas linhas de visão do topo e da base do cartaz? (Este ângulo deve resultar na melhor visão do cartaz.) Sugestão: tan(α β) = tanα tanβ 1+tanα.tanβ 5

6 Exercícios de Casa 1. Calcule o extremo de cada função, indicando se o ponto é máximo ou mínimo, se existirem: a) y 1 b) y 6x c) y x 4x 7 d) y 8 e) y 10x f) y g)g(x) = x x + 4 h)h(x) = 1 x4 x i)f(x) = 1 x x x Dada a função f ( x) 9x 15x, quais são as coordenadas dos pontos de máximo, de mínimo e inflexão? 8. Ache as coordenadas dos pontos de máximo, mínimo e inflexão da função y 6x Qual é a área máxima do retângulo de perímetro igual a 0m? 10. A partir de uma chapa quadrada com 1 dm de lado, quer-se construir uma caixa sem tampa, cortando-se um quadrado em cada canto da chapa e depois dobrando-se convenientemente. Qual deve ser o tamanho dos quadrados a serem cortados para que a caixa encerre o maior volume possível?. Quais são os pontos de inflexão, máximo e mínimo de f ( x) 6x? 11) Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máxima?. Encontre os pontos de máximo, mínimo e inflexão da função f ( x) 9x. 4. Para que valor de a, a função y ax 1, terá ponto de mínimo em x = 1? 5. Para que valor de a, a função f ( x) ax 18x admite extremo em x = - 1? 6. Quais são os extremos de f ( x) 1? 1) A Cia. Preço Bom Ltda produz sorvetes e vende-os a um preço unitário de R$ 1,00. Estima-se que o custo total c para produzir e vender q unidades é dado por c q q 4q. Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo? 1) Dois números estritamente positivos tem soma 60. Quais são esses números se o produto de um deles pelo quadrado do outro é o máximo possível? 6

7 14)Determinar dois números positivos cujo produto seja 16 e a soma seja a menor possível. 15)Quer-se construir um cercado retangular aproveitando-se uma parede já existente. Se existe material suficiente para se construir 100 m de cerca, quais as dimensões do cercado para se ter a maior área cercada possível? Fonte:International Institute for Aplplied Systems Analysis. 19) A quantidade demandada mensal de relógios de pulso Sicard está relacionada com o preço unitátio pela equação p = 50 0,01x +1 (0 x 0) 16) Prove que os seguintes conjuntos admitem máximo ou mínimo: 1 1 a) A x / b) c) A / 1 x x A / x x 17) Seja f :[ 1;1 ] dada por f ( x). 1 a-)prove que f (1) é o valor máximo de f. b-)prove que existe o valor mínimo de f. x ]-1;0[ tal que f x ) é 1 ( 1 18) A projeção para a população mundial é de Onde p é medido em dólares e x em milhares. Quantos relógios precisam ser vendidos para maximizar a receita? Sugestão: R(x) = p.x 0) A Betty Moore Company exige que os recipientes de seus embutidos tenham capacidade de 54pol, tenham a forma de cilindros retos circulares e sejam feitos de alumínio. Determine o raio e altura do recipiente que requer a menor quantidade de metal. 1) Um silo de grãos tem a forma de um cilindro circular reto coberto por um hemisfério (veja a figura a seguir). Se o silo deve ter a capacidade de 504π pés, encontre o raio e altura do silo que requer a mínima quantidade de material para a sua construção. P(t) = 0,00074t 0,0704t + 0,89t + 6,04 (0 t 10) No ano t, onde t é medido em décadas e t = 0 corresponde a 000 e P(t) é medido em bilhões. a-)mostre que a população mundial terá um máximo por volta de 071. b-)qual será a população máxima? ) No diagrama a seguir, S representa a posição de uma central elétrica localizada em 7

8 uma costa reta, e E mostra a localização de uma estação experimental de biologia marinha em uma ilha. Um cabo deve ser usado para conectar a estação experimental à central elétrica. Se o custo de instalação do cabo em terra for $ 1,50/pé e o custo de instalação do cabo sob a água é de $,50/pé, localize o ponto P que resultará no custo mínimo. Respostas: 1).a) Min(1, 0) b) Min (,-9) c) Max (, 11) d) Min (0,-8) e) Max (5, 5) f) Max (1, 1) g)max(0,4) e Min(,0) h)max(0,0) Min(-1,-1/) Min(1,-1/) i)min(,-5)...max(-1,17/) ) (,-16) ) Não existem 4) -) A figura a seguir mostra um hipódromo que termina em um formato semicircular. O comprimento da pista é de 1760 pés. Encontre l e r de forma que a área cercada pela região retangular da pista é a máxima possível. Qual é a área cercada nesse caso? 5) 6 6) Max (- 1,);Min(1,-1) 7) Max (1, 10);Min(5,-) 8)(,0) 9)5 m 10) dm 0) raio = pol e altura = 4 pol ) 50 pés )440 pés 140 pés pés quadrados 8