LISTA DE EXERCÍCIOS. Funções reais (domínio, imagem e gráfico), modelagem. (a) (b) (c) (d)

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi ttp:// 02 Funções reais (domínio, imagem e gráfico), modelagem. [01] Para cada uma das figuras abaixo, determine se a curva dada é o gráfico de uma função de x. Se for o caso, obtena o domínio e a imagem da função. (a) (b) (c) (d) [02] Para cada uma das funções abaixo, calcule f(2 + ), f(x + ) e. (a) f(x) = x x 2, (b) f(x) = x/(x + 1). [03] Seja f(x) = x 2. Determine f(a), f(f(a)) e f(f(f(a))). [04] Sejam f(x) = 1/(x 2 + 1) e g(x) = 2 x + 3. Determine f(f(a)), g(g(a)), f(g(a)) e g(f(a)). [05] Quando duas funções são iguais? [06] Desene o gráfico de duas funções f e g diferentes com domínio [1, 2] e imagem [ 2, 3]. [07] Desene o gráfico de uma função f com domínio [1, 2] e imagem [ 2, 1] [3, 4]. [08] Considere a função f(x) = 1/x cujo domínio é o intervalo (1, 2). Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de f e as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f. [09] Um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que deverá armazenar 1000 cm 3 de óleo (o recipiente possui as tampas circulares). O custo de produção do recipiente é medido pela área total do recipiente. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o custo de produção em termos do raio r da base circular do cilindro medida em cm. 1

2 gerar um cilindro com custo igual a 500? (b) É possível gerar um cilindro com custo igual a 1000? De quantas maneiras diferentes? [10] Determine uma função (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o volume de um cone circular reto que pode ser inscrito em uma esfera de raio 3 m em termos da altura deste cone. gerar um cone com volume igual a 40 m 3? (b) É possível gerar um cone com volume igual a 20 m 3? De quantas maneiras diferentes? [11] Um retângulo encontra-se inscrito em um semicírculo de raio r = 1 m, como indica a figura a qseguir. Encontre as dimensões do retângulo de maior área. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse a área do retângulo em termos de x (metade da medida da base do retângulo). gerar um retângulo com área igual a 1.5 m 2? (b) É possível gerar um retângulo com área igual a 0.5 m 2? De quantas maneiras diferentes? [12] Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma fola de papelão medindo 10 cm por 15 cm. Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da fola de papelão, como indica a figura a seguir. Tampa 2

3 Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o volume da caixa em termos da medida x indicada na figura. gerar uma caixa com volume igual a 80 cm 3? (b) É possível gerar uma caixa com volume igual a 50 cm 3? De quantas maneiras diferentes? [13] Um omem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com uma largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8 km abaixo, conforme ilustra a figura seguinte. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir andando para B, ou rumar diretamente para B, ou remar para algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/ e andar a 8 km/, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível? Assuma que a velocidade da água é desprezível comparada com a velocidade na qual o omem rema. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o tempo gasto para sair do ponto A e cegar no ponto B em termos do comprimento do percurso andado pela margem do rio. fazer o trajeto gastando 1.2? (b) É possível fazer o trajeto gastando 1.4? De quantas maneiras diferentes? [14] A gamela na figura abaixo dever se construídas com as dimensões indicadas (em decímetros), apenas o ângulo θ pode variar. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o volume da gamela em termos do ângulo θ indicado na figura. gerar uma gamela com volume igual a 30 dm 3? (b) É possível gerar uma gamela com volume 3

4 igual a 10 dm 3? De quantas maneiras diferentes? (c) É possível gerar uma gamela com volume igual a 20 dm 3? De quantas maneiras diferentes? 4

5 Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las! [01] (a) Sim, a curva é gráfico de uma função que depende de x. O domínio da função é o conjunto [ 3, 2 ] e sua imagem é o conjunto [ 2, 2]. (b) Não, a curva não é gráfico de uma função que depende de x, pois a reta vertical x = 0 intercepta a curva em dois pontos. (c) Não, a curva não é gráfico de uma função que depende de x, pois a reta x = 1 intercepta a curva em mais de um ponto (na verdade, em infinitos pontos). O domínio da função é o con- (d) Sim, a curva é gráfico de uma função que depende de x. junto [ 3, 2 ] e sua imagem é o conjunto { 2} (0, 3]. [02] (a) Temos que f(2 + ) = ( ), f(x + ) = x + x 2 2 x 2 e = 1 2 x. (b) Temos que f(2 + ) = 2 + x +, f(x + ) = 3 + x e = 1 (x + + 1) (x + 1). [03] f(a) = a 2, f(f(a)) = a 4 e f(f(f(a))) = a 8. [04] Temos que f(f(a)) = (a2 + 1) 2 a a 2 + 2, g(g(a)) = 4 a + 9, f(g(a)) = 1 (2 a + 3) e g(f(a)) = 3 a2 + 5 a Texto composto em L A TEX2e, HJB, 25/09/