PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO in ESCOLA VIRTUAL

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Manuella Coradelli Lage
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PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO in ESCOLA VIRTUAL 1. Classifica as seguintes afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Na figura estão representados, num referencial o.n. xoy a reta r de equação x = 4, e o gráfico da função f, definida por: f(x) = x 2 + 4 (x [0,4[).

1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO in ESCOLA VIRTUAL 1. Classifica as seguintes afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Na figura estão representados, num referencial o.n. xoy a reta r de equação x = 4, e o gráfico da função f, definida por: f(x) = x (x [0,4[). O ponto R é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox. Considera que: o ponto P se desloca ao longo do gráfico de f; o ponto Q se desloca ao longo da reta r e tem sempre ordenada igual à ordenada do ponto P; o ponto S se desloca ao longo do eixo Ox e tem sempre abcissa igual à abcissa do ponto P. Seja x a abcissa do ponto P. ( ) A área do quadrilátero [PQRS] é dada, em função de, x, por A(x) = x 3 + 4x 2 4x ( ) A área máxima do quadrilátero é 16. ( ) A área mínima do quadrilátero é Classifica as seguintes afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).Na figura está representado um semicírculo de diâmetro 20 metros.considera x a altura do triângulo [ABC] e C contido no semicírculo, não podendo pertencer ao segmento de reta [AB]. ( ) A função A definida por A(x) = 100π 10x, faz corresponder o valor de x à área da região sombreada. ( ) A área máxima da região sombreada é 100π m 2. ( ) x ]0,10]. ( ) A área máxima do triângulo [ABC] é 100 m 2. ( ) A área mínima da região sombreada é aproximadamente 57 m 2. 1 / 5

A largura do retângulo é igual a x e comprimento coincide com o diâmetro do semicírculo. São necessários 20 metros de rede para vedar o galinheiro.

2 3. Classifica as seguintes afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).Pretende-se construir um galinheiro com a forma representada na figura, que é composta por um retângulo [ABCD] e por um semicírculo de raio r. A largura do retângulo é igual a x e comprimento coincide com o diâmetro do semicírculo. São necessários 20 metros de rede para vedar o galinheiro. ( ) A função definida por A(r) = 20r ( π 2 + 2) r2 permite determinar a área do galinheiro. ( ) A área máxima do galinheiro pode ser 28 m 2, aproximadamente. ( ) O retângulo [ABCD] só pode ser um quadrado. ( ) A área do retângulo [ABCD] é sempre igual à área do semicírculo. 4. Classifica as seguintes afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).Uma empresa de alumínio pretende fabricar uma peça de forma cilíndrica, com a capacidade de 500 cm 3. As tampas superior e inferior são feitas de alumínio especial que custa 5 cêntimos por centímetro quadrado. A superfície lateral é feita de material mais barato que custa 2 cêntimos por centímetro quadrado. ( ) O custo C, em cêntimos, da peça em função do raio r da base é dado por C(r) = 10πr r. ( ) A peça é mais barata quando o raio for cerca de 6,4 cm e a altura 3,9, aproximadamente. ( ) O custo mínimo de fabrico é 9,47 euros. 5. Responde à questão. Considera um cilindro contido num cone com 30 cm de altura e 10 cm de raio. Qual a altura do cilindro que se pode inscrever no cone de modo a que o seu volume seja máximo? Indica apenas o valor numérico. PÁGINA 2 DE 5

3 6. Responde à questão. Pretende-se ligar uma fábrica F a uma central de tratamento de resíduos C, por meio de uma conduta, conforme a figura. A conduta deve seguir ao longo de um muro, até um certo ponto B, e daí deve seguir em linha reta até à central de tratamento. Designou-se por A o ponto do muro mais próximo da central de tratamento. A distância da fábrica ao ponto A é de 4 km, e a distância deste ponto à central é de 2 km. Designou-se por x a distância entre A e B (em quilómetros). O preço de colocação da conduta é: três mil euros por quilómetro, ao longo do muro; cinco mil euros por quilómetro, do muro à central de tratamento. Pergunta adaptada de provas nacionais. Determina o valor de x para o qual o preço de colocação da conduta é mínimo. Apresenta o resultado arredondado às décimas. 7. Responde à questão. Pretende-se construir uma calha, a partir de uma chapa com as dimensões 1 m por 10 m, dobrando os lados como se mostra na figura. Qual é a capacidade máxima da calha, em m 3? Indica apenas o valor numérico. PÁGINA 3 DE 5

4 8. Responde à questão. Pretende construir-se um paralelepípedo a partir de uma cartolina com 70 cm por 100 cm, como se vê na planificação da figura. Determina o valor de x, em cm, para que o volume seja máximo. Apresenta o resultado arredondado às décimas. 9. Responde à seguinte questão. Na figura estão representados, num referencial o.n. xoy: a função f, definida por f(x) = x 3 + 6x 2 32; a função g, definida por g(x) = 15 x 2 ; a reta t, definida por x = k, k ] 3,1[. Sejam A e B os pontos de interseção da reta t com os gráficos de g e f, respetivamente. Imagina que a reta t se desloca, mantendo-se paralela ao eixo Ox. Os pontos A e B acompanham, naturalmente, o deslocamento de t. Qual o comprimento máximo do segmento de reta [AB]? Apresenta o resultado arredondado às unidades, usando apenas algarismos. PÁGINA 4 DE 5

10. Responde à seguinte questão. Uma caixa tem de capacidade 25 000 cm 3.

5 10. Responde à seguinte questão. Uma caixa tem de capacidade cm 3. Se a altura da caixa for 10 cm, quais deverão ser as medidas, em cm, das outras duas dimensões, de forma a minimizar o gasto de materiais? x=? y=? 11. Seleciona a opção correta. Considera os retângulos de área 50 cm 2. Seja P a função que a cada x (medida da base) faz corresponder o perímetro do retângulo. (A) Se o perímetro for máximo o retângulo é um quadrado. (B) P(x) 4 50, com x > 0. (C) O perímetro é mínimo para x = (D) P(x) = 2x + 100, com x > 0. x 12. Pretende-se construir uma embalagem cilíndrica com 33 cl de capacidade. Responde à questão, apresentado o valor numérico de acordo com o pretendido. Qual deverá ser a área total da embalagem, em cm 2, de modo que o custo seja mínimo, sabendo que o custo é diretamente proporcional à medida da área. Apresenta o resultado arredondado às centésimas. Soluções FIM 1. V; V; F 2. F; F; V; V; V 3. V; V; F; F 4. V; F; V 5. A) A) 1,5 7. A) 1,25 8. A) 13,5 9. A) A) 50 B) (D) 12. A) 264,36 PÁGINA 5 DE 5

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