Funções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição
|
|
- Leonardo Martim Gentil Balsemão
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função? Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x em um conjunto D faz corresponder exatamente um elemento chamado f (x) em um conjunto C. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Parte 2 Pré-Cálculo 3 Parte 2 Pré-Cálculo 4
2 : avaliando funções Lembram-se dos diagramas de Venn? f (0) =0, f (2) =4, f (a + b) =2 (a + b), f ( ) =2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. D C Parte 2 Pré-Cálculo 5 Parte 2 Pré-Cálculo 6 Lembram-se dos diagramas de Venn? Uma outra representação para funções (entrada) (saída) (considerando uma função como uma transformação) (Ir para o GeoGebra) Parte 2 Pré-Cálculo 7 Parte 2 Pré-Cálculo 8
3 Cuidado! f : D C x y = f (x) Aqui x é um número real no domínio D! Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) C chama-se o valor assumido pela função f no ponto x D. Aqui f é uma função real que a todo número real x no domínio D associa um único número real f (x) no contradomínio C! O correto é dizer a função f e não a função f (x) (ou a função y = f (x) ). Contudo, por simplicidade, livros e pessoas costumam usar as formas incorretas. : dizer a função y = 2 x ao invés de a função tal que y = f (x) =2 x. A Imagem de Uma Função Parte 2 Pré-Cálculo 9 Parte 2 Pré-Cálculo 0 Parte 2 Pré-Cálculo Parte 2 Pré-Cálculo 2
4 pertence a imagem de f? Sim, pois f (/2) =! 2 pertence a imagem de f? Sim, pois f () =2! Parte 2 Pré-Cálculo 3 Parte 2 Pré-Cálculo 4 3 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( 3/2) = 3! b R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) =b! Parte 2 Pré-Cálculo 5 Parte 2 Pré-Cálculo 6
5 Moral: Imagem de f = R! 2 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( 2)=2! Parte 2 Pré-Cálculo 7 Parte 2 Pré-Cálculo 8 Temos que f ( 2)=2. Note, também, que f ( 2)=2. Para que y Imagem de f basta um x D tal que f (x) =y! Parte 2 Pré-Cálculo 9 Parte 2 Pré-Cálculo 20
6 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) =0! pertence a imagem de f? Não, pois x R, f (x) =x 2 0e < 0! Parte 2 Pré-Cálculo 2 Parte 2 Pré-Cálculo 22 b 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( b)=b! b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois x R, f (x) =x 2 0eb < 0! Parte 2 Pré-Cálculo 23 Parte 2 Pré-Cálculo 24
7 Determinar a imagem de uma função pode ser difícil! Qual é a imagem da função f abaixo? x f (x) =x 4 + x 3 + x 2 + x + Imagem de f = 695 +( ) ( ) 3 ( ) 2, Moral: Imagem de f =[0, + )! = [ , + ). A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! Parte 2 Pré-Cálculo 25 Parte 2 Pré-Cálculo 26 O que é o gráfico de uma função real? Gráfico de Uma Função Real Parte 2 Pré-Cálculo 27 Parte 2 Pré-Cálculo 28
8 O que é o gráfico de uma função real? O que é o gráfico de uma função real? O gráfico de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos (x, y) R 2 tais que x D e y = f (x): Gráfico de f = {(x, y) R 2 x D e y = f (x)}. (Ir para o GeoGebra) Parte 2 Pré-Cálculo 29 Parte 2 Pré-Cálculo 30 Como construir o gráfico de uma função real? Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente! para se construir gráficos de funções! Toda curva é gráfico de uma função real? A resposta é não! A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadas para se construir gráficos de funções! Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em ponto! Parte 2 Pré-Cálculo 3 Parte 2 Pré-Cálculo 32
9 Exercícios da Lista y [06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes com domínio [, 2] e imagem [ 2, 3] x [07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [, 2] e imagem [ 2, ] [3, 4]. 20 Qual é o domínio da função? Qual é a imagem da função? 40 pertence à imagem da função? E 20? E 0? [08] Considere a função f (x) =/x cujo domínio é o intervalo ], 2[. Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de f e as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f. Parte 2 Pré-Cálculo 33 Parte 2 Pré-Cálculo 34 Domínio e contradomínio naturais de uma função Convenção Domínio e Contradomínio Naturais (Efetivos) de Uma Função Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que o seu contradomínio é R. : f (x) = x. O domínio natural de f é D = R {0}. Parte 2 Pré-Cálculo 35 Parte 2 Pré-Cálculo 36
10 Domínio e contradomínio naturais de uma função Domínio natural de uma função Convenção Qual é o domínio natural de f (x) = 2 x 4? Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que o seu contradomínio é R. 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é Atenção: aqui, o termo domínio natural não significa que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais! O domínio natural também é denominado efetivo ou maximal! D = {x R x > 2} =]2, + [ = (2, + ) Parte 2 Pré-Cálculo 37 Parte 2 Pré-Cálculo 38 Exercício Exercício Qual é o domínio natural de f (x) = x 3 x? Qual é o domínio natural de f (x) = 2 x 6 x? x 3 x 0 x(x 2 ) 0 x(x )(x+) 0 x 0ex ex. 2 x 6 x > 0 2 x 6 2 x 6 (x ) < 0 x x < 0 x 5 x < 0 Resposta: o domínio natural de f é Sinal de x 5 5 D = {x R x 0ex ex } = R {, 0, }. Sinal de x Sinal de (x 5)/(x ) D = {x R < x < 5} =(, 5). 5 Parte 2 Pré-Cálculo 39 Parte 2 Pré-Cálculo 40
11 Motivação: o problema da caixa Você foi contratado por uma empresa que fabrica caixas sem tampa. Cada caixa é construída a partir de uma folha retangular de papelão medindo 30 cm 50 cm. Para se construir a caixa, um quadrado de lado medindo x cm é retirado de cada canto da folha de papelão. x Modelagem com funções reais x 30 cm 50 cm Dependendo do valor de x, diferentes caixas (com diferentes volumes) podem ser confeccionadas. O problema é determinar o valor de x a fim de que a caixa correspondente tenha o maior volume possível. Parte 2 Pré-Cálculo 4 Parte 2 Pré-Cálculo 42 Motivação: o problema da caixa O problema da caixa x x 30 cm 50 cm Aqui, y = f (x) =x (30 2 x)(50 2 x) =500 x 60 x x 3 e A =(0, 5). Parte 2 Pré-Cálculo 43 Parte 2 Pré-Cálculo 44
12 O problema da caixa O problema da caixa Em Cálculo I -A-, você aprenderá a calcular exatamente o valor de x que maximiza o volume da caixa: x = Parte 2 Pré-Cálculo 45 Parte 2 Pré-Cálculo 46 O problema da caixa O problema da caixa foi modelado por meio de uma função real f. Por que é importante, neste contexto, conhecer o domínio eaimagem de f? É possível produzir uma caixa com volume 5000 cm 3? É possível produzir uma caixa com volume 2000 cm 3? De quantas maneiras diferentes? Parte 2 Pré-Cálculo 47
Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 8 26 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 26 de abril de 200 Aula 8 Pré-Cálculo O que é uma função? Funções reais Uma função real f
Leia maisFunções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo 1 Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função?
Leia maisFunções. Matemática Básica. O que é uma função? O que é uma função? Folha 1. Humberto José Bortolossi. Parte 07. Definição
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 07 Aula 9 Matemática Básica 1 Aula 9 Matemática Básica 2 O que é uma
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 9 3 de abril de Aula 9 Pré-Cálculo Cuidado! Se os eios coordenados são desenhados com escalas
Leia maisFunção par e função ímpar
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Deartamento de Matemática Alicada Universidade Federal Fluminense Função ar e função ímar Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Função ar Definição Função
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Funções reais (domínio, imagem e gráfico), modelagem.
LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo UFF GMA (*) 03 Funções reais (domínio, imagem e gráfico), modelagem. [01] Para cada uma das figuras abaixo, determine se a curva dada é o gráfico de uma função de x. Se
Leia maisFunção par e função ímpar
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Função par e função ímpar Parte 4 Parte 4 Pré-Cálculo 1 Parte 4 Pré-Cálculo 2 Função par Definição
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Funções reais (domínio, imagem e gráfico), modelagem. (a) (b) (c) (d)
LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi ttp://www.professores.uff.br/jbortol/ 02 Funções reais (domínio, imagem e gráfico), modelagem. [01] Para cada uma das figuras abaixo, determine
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 11 28 de maio de 2010 Aula 11 Pré-Cálculo 1 A função raiz quadrada f : [0, + ) [0, + ) x y
Leia maisFunções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Funções crescentes Funções
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi ttp://www.professores.uff.br/jbortol/ 02 Modelando com Funções, Funções Elementares e Obtendo Gráficos
Leia maisFunções potência da forma f (x) =x n, com n N
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções potência da forma f (x) =x n, com n N Parte 08 Parte 8 Matemática Básica 1
Leia maisObjetivos. Expressar o vértice da parábola em termos do discriminante e dos
MÓDULO 1 - AULA 17 Aula 17 Parábola - aplicações Objetivos Expressar o vértice da parábola em termos do discriminante e dos coeficientes da equação quadrática Expressar as raízes das equações quadráticas
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.
CONCEITO DE FUNÇÃO... 2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO... 8 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO... 12 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO... 15 DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO... 15 DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO... 17 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO...
Leia maisMATEMÁTICA. Conceito de Funções. Professor : Dêner Rocha
MATEMÁTICA Conceito de Funções Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Noção de Função 1º) Dados A = {-, -1, 0, 1, } e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula
Leia maisFunções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição
Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
1. Funções : Definição Considere dois sub-conjuntos A e B do conjunto dos números reais. Uma função f: A B é uma regra que define uma relação entre os elementos de A e B, de tal forma que a cada elemento
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 10 23 de maio de 2010 Aula 10 Pré-Cálculo 1 Funções injetivas Funções injetivas, sobrejetivas
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções. Objetivos da Aula. Aula n o 01: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 01: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Denir funções compostas e inversas.
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de junho de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 14 17 de junho de 2011 Aula 14 Pré-Cálculo 1 Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo
Leia maisCapítulo 2- Funções. Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de, dizemos que é uma função de em.
Conceitos Capítulo 2- Funções O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra,,,... Definição: Dado dois
Leia maisCapítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.
Capítulo 1 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f
Leia maisCálculo Diferencial e Integral 1 Lista de Exercícios Aplicação de Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral 1 Lista de Exercícios Aplicação de Derivadas 1) Esboce o gráfico da função f(x) = x + e responda qual é a taxa de variação média dessa função quando x varia de 0 para 4?
Leia maisCÁLCULO I Aula 01: Funções.
Inversa CÁLCULO I Aula 01: Funções. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Inversa 1 Funções e seus 2 Inversa 3 Funções Funções e seus Inversa Consideremos A e B dois
Leia maisFunções Reais a uma Variável Real
Funções Reais a uma Variável Real 1 Introdução As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por
Leia maisLTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:
Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO
Leia maisProduto Cartesiano de dois conjuntos, Relações e Funções
o Semestre de 9/ Miscelânea Produto Cartesiano de dois conjuntos, elações e Funções Sejam e dois conjuntos e sejam a e b O conjunto a,a,b chama-se par ordenado e designa-se por (a,b) Os elementos a e b
Leia maisMATEMÁTICA Prof.: Alexsandro de Sousa
E. E. DONA ANTÔNIA VALADARES MATEMÁTICA Prof.: Alexsandro de Sousa Introdução ao conceito de funções FERNANDO FAVORETTO/CID A ideia de função no cotidiano Relação entre duas grandezas Quantidade de pães
Leia maisEscalas em Gráficos. Pré-Cálculo. Cuidado! Cuidado! Humberto José Bortolossi. Parte 4. Um círculo é desenhado como uma elipse.
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Escalas em Gráficos Parte 4 Parte 4 Pré-Cálculo 1 Parte 4 Pré-Cálculo 2 Cuidado! Cuidado! Um círculo
Leia maisCÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos.
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 02: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Listar as
Leia maisAULA 4 - MATEMATICA BÁSICA: FUNÇÃO DO 1º GRAU
UL - MTEMTIC ÁSIC: FUNÇÃO DO º GRU. Definição e eemplos (Revisão) Função é uma relação entre dois conjuntos e definida por uma lei de formação f (ou regra), onde cada elemento de está relacionado com apenas
Leia mais12. Diferenciação Logarítmica
2. Diferenciação Logarítmica A diferenciação logarítmica é uma técnica útil para diferenciar funções compostas de potências, produtos e quocientes de funções. Esta técnica consiste em executar os seguintes
Leia maisExercícios Propostos
Cursinho: Universidade para Todos Professor: Cirlei Xavier Lista: 5 a Lista de Matemática Aluno (a): Disciplina: Matemática Conteúdo: Equações e Funções Turma: A e B Data: Setembro de 016 01. Resolva 11
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://wwwprofessoresuffbr/hjbortol/ 09 Funções reais (domínio, imagem e gráfico), funções monótonas,
Leia mais2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução
7. ano PR 7.1. Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B, quando a cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2. Dada uma função numérica
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES e FUNÇÕES
PAR ORDENADO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA... 4 RELAÇÃO... 8 DOMÍNIO E IMAGEM... 12 CONTRA-DOMÍNIO... 13 RELAÇÃO INVERSA... 17 PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA... 18 FUNÇÕES... 22 IMAGEM
Leia mais1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.
MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)
Leia maisUniversidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo
Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3 - Pré-cálculo a lista complementar de eercícios (6//7 a 7//7) Diga quais dos conjuntos abaio
Leia maisDEFINIÇÃO DE FUNÇÃO y = x²
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser relacionados com os elementos
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 5ª Lista de Exercícios de MAT140 Cálculo /2
Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas 5ª Lista de Eercícios de MAT Cálculo / ) Resolva as integrais definidas abaio a) ( + )d c) (5 ) d e) +
Leia maisA função raiz quadrada
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense A função raiz quadrada Parte 6 Parte 6 Matemática Básica 1 Parte 6 Matemática Básica 2 A função
Leia maisCÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,
Leia maisDiagrama de Venn O diagrama de Venn representa conjunto da seguinte maneira:
Conjuntos Introdução Lembramos que conjunto, elemento e relação de pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não aceitam definição. Intuitivamente, sabemos que conjunto é uma lista, coleção
Leia maisAula 25. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil
Assíntotas, Esboço de Gráfico e Aplicações Aula 25 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 09 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia
Leia maisInstituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC238 Respostas da Prova de Final - 20/12/2013
Página de 8 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03 Questão : ( pontos) (a) Dado o gráfico da função f, esboce o gráfico da função
Leia maisMatemática Básica Relações / Funções
Matemática Básica Relações / Funções 04 1. Relações (a) Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A B cujos elementos são todos os
Leia maisFunções da forma x elevado a menos n
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções da forma x elevado a menos n Parte 5 Parte 5 Pré-Cálculo 1 Parte 5 Pré-Cálculo 2 Funções
Leia maisAgrupamento de Escolas de Santa Maria da Feira
Funções Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos A e B que a cada elemento do conjunto A (conjunto de partida) associa um e um só elemento, ou, do conjunto B (conjunto de chegada). Simbolicamente,
Leia maisMatemática A Extensivo V. 2
GRITO Matemática Extensivo V. Exercícios 0) a) Verdadeira. e são elementos de. b) Verdadeira. Pois {} é elemento de. c) Verdadeira. Pois não é elemento de. d) Verdadeira. Pois {} é um subconjunto de. e)
Leia maisMáximos e mínimos em intervalos fechados
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 Máximos e mínimos em intervalos fechados No texto em que aprendemos a Regra da Cadeia, fomos confrontados com o seguinte problema: a partir
Leia maisInstituto de Matemática - UFRJ Cálculo 1 Segunda Prova 16 de Novembro de 2017
Instituto de Matemática - UFRJ Segunda Prova 6 de Novembro de 7. ( pontos) Jurema tem uma folha de cartolina retangular com dimensões cm 4 cm. Ela gostaria de fazer uma caixa sem tampa cortando quadrados
Leia maisIntrodução às Funções
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Introdução às Funções Prof.:
Leia maispara: (a) f(x) = 3 (b) f(x) = c, c
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DESEMPENHO CÂMPUS PATO BRANCO Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral Prof a. Dayse Batistus, Dr a.
Leia maisEsboço de Plano de Aula. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau.
Esboço de Plano de Aula Bolsista: Rafael de Oliveira. Duração: 120 minutos. Conteúdo: Equações do 1º Grau. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau. Objetivo geral: Permitir
Leia maisAULA DO CPOG. Teoria dos conjutos
AULA DO CPOG Teoria dos conjutos TEORIA DOS CONJUNTOS Professor Felipe Técnico de Operações P-25 Petrobras Contatos Felipe da Silva Cardoso professorpetrobras@gmail.com www.professorfelipecardoso.blogspot.com
Leia maisFUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES
FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES 1- PRODUTO CARTESIANO 1.1- Par Ordenado - Ao par de números reais a e b, dispostos em uma certa ordem, denominamos par ordenado e indicamos por: (a,
Leia maisLista Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas:
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM048 - Cálculo II - Matemática Diurno Prof. Zeca Eidam Lista 3 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
Leia maisCapítulo 3. Fig Fig. 3.2
Capítulo 3 3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Parte 1. Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense. Parte 1 Pré-Cálculo 1
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1 Apresentação do curso Parte 1 Pré-Cálculo 2 Conteúdo do curso Números
Leia maisApresentação do curso
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1 Parte 1 Pré-Cálculo 2 Conteúdo do curso Números
Leia maisMAT146 - Cálculo I - Problemas de Otimização
Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que
Leia maisLISTA 1. a) [57, 60] c) [60, 180[ b) ]58, 116] d) ]57, 178]
LISTA 1 1- Seja n N tal que n dividido por 5 deia resto 3, n dividido por 4 deia resto e n dividido por 3 deia resto 1. Os três primeiros números naturais que satisfazem as condições de n pertencem ao
Leia maisMAT-103 Complementos de Matemáticas para Contabilidade Prof. Juan Carlos Gutierrez Fernandez
MAT-03 Complementos de Matemáticas para Contabilidade Prof Juan Carlos Gutierrez Fernandez Lista : Números é funções Ano 206 Em uma pesquisa foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entresvistadas
Leia maisFUNÇÃO. 4.1 Relação Binária. Definição 4.1
FUNÇÃO Apesar da formalização de função ter se efetivado com as reformas curriculares do século IX, seu uso já era freqüente desde a antiguidade, pelos babilônios. O conceito de função está presente em
Leia maisÍndice. AULA 5 Derivação implícita 3. AULA 6 Aplicações de derivadas 4. AULA 7 Aplicações de derivadas 6. AULA 8 Esboço de gráficos 9
www.matematicaemexercicios.com Derivadas Vol. 2 1 Índice AULA 5 Derivação implícita 3 AULA 6 Aplicações de derivadas 4 AULA 7 Aplicações de derivadas 6 AULA 8 Esboço de gráficos 9 www.matematicaemexercicios.com
Leia maisUniversidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo
Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM300 - Pré-cálculo 0 a lista de eercícios (6/0/207 a 27/0/207). Sejam A e B conjuntos. Defina
Leia maisOu seja, D(f) = IR e Im(f) IR.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAS INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA-CAMPUS ITAJAÍ Profª Roberta Nara Sodré de Souza Função Quadrática
Leia maisFaculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Matemática (versão 2.1)
Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Matemática (versão 2.1) A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para
Leia mais1. as equações paramétricas da reta que contém os pontos A e B;
ROVA 1 08 de abril de 2015 08h30 1 2 3 4 5 081 0811 Considere os pontos A = (2, 3, 5), B = (7, 1, 0) e C = (1, 3, 2) do espaço. 1. as equações paramétricas da reta que contém os pontos A e B; 2. a equação
Leia maisCapítulo 2. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.
Capítulo 2 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f
Leia maisSabemos que se A, B são dois pontos num eixo com coordenadas x e y, respectivamente,
34 15. Pontos Médios Sabemos que se A, B são dois pontos num eixo com coordenadas x e y, respectivamente, então o ponto médio M do segmento [AB] temcoordenadam = x+y. 2 No caso de pontos do plano temos:
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 6 29 de março de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 6 29 de março de 2010 Aula 6 Pré-Cálculo 1 Implicações e teoria dos conjuntos f (x) =g(x) u(x)
Leia mais2ª Lista de Exercícios - Problemas de Otimização
Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Robson Rodrigues www.rodrigues.mat.br 2ª Lista de Exercícios - Problemas de Otimização Problema 1. Utilizando 40 m de tela e um muro como um dos lados, deseja-se
Leia maisATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 06 Limites, Assíntotas Horizontais e Assíntotas Verticais [0] (2006.2) Considere a função f() =
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 5 27 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 27 de agosto de 200 Aula 5 Pré-Cálculo Expansões decimais: exemplo Números reais numericamente
Leia maisCapítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos
Conjuntos e Relações Capítulo Neste capítulo você deverá: Identificar e escrever os tipos de conjuntos, tais como, conjunto vazio, unitário, finito, infinito, os conjuntos numéricos, a reta numérica e
Leia maisCálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense. Parte de novembro de 2013
Folha 1 Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 16 13 de novembro de 2013 Parte 16 Cálculo I -A- 1 Aproximações lineares (afins)
Leia maisNome do aluno: N.º: Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresente cálculos nem justificações e escreva, na folha de respostas:
Teste de Matemática A 017 / 018 Teste N.º 5 Matemática A Duração do Teste (Caderno 1+ Caderno ): 90 minutos 10.º Ano de Escolaridade Nome do aluno: N.º: Turma: Este teste é constituído por dois cadernos:
Leia maisTRABALHO 1 CURSO DE VERÃO CÁLCULO I NOME DO ACADÊMICO: =, no ponto x = 2?
TRABALHO CURSO DE VERÃO CÁLCULO I NOME DO ACADÊMICO: Questão 0 Ache a derivada das seguintes funções: 0 y 0 y 5 5 y e) y y Questão 0 Qual é a derivada da função, no ponto? Questão 0 Se, calcule () f Questão
Leia maisTEORIA DOS CONJUNTOS
Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Matemática (versão 2.1) A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para
Leia mais3º TRIMESTRE DE 2016
COLÉGIO MILITAR DO RIO E JANEIRO LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES GEOMETRIA ESPACIAL º ANO DO ENSINO MÉDIO Equipe: Prof. Cap Boente, Prof Magda, Prof Fernando e Prof Zamboti 3º TRIMESTRE DE 06 PRISMAS
Leia maisEste trabalho foi licenciado com a Licença Creative Commons Atribuição - NãoComercial - SemDerivados 3.0 Não Adaptada
1. Introdução Definição: Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias entre uma reta fixa, chamada de reta diretriz, e a um ponto fixo situado fora desta reta, chamado de foco da
Leia maisFunções. Conceitos Básicos. Unidade C. Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG
34 Unidade C Funções Conceitos Básicos Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG 35 Funções A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por eemplo, como escrevemos o deslocamento de um móvel
Leia maisUniversidade Católica de Petrópolis. Matemática 1. Funções Funções Polinomiais v Baseado nas notas de aula de Matemática I
Universidade Católica de Petrópolis Matemática 1 Funções v. 0.1 Baseado nas notas de aula de Matemática I da prof. Eliane dos Santos de Souza Coutinho Luís Rodrigo de O. Gonçalves luisrodrigoog@gmail.com
Leia maisUniversidade Católica de Petrópolis. Matemática 1. Funções Funções Polinomiais v Baseado nas notas de aula de Matemática I
Universidade Católica de Petrópolis Matemática 1 Funções Funções Polinomiais v. 0.1 Baseado nas notas de aula de Matemática I da prof. Eliane dos Santos de Souza Coutinho Luís Rodrigo de O. Gonçalves luis.goncalves@ucp.br
Leia maisCapítulo 2. f : A B. 3. A regra em (3) não define uma função de A em B porque 4 A está associado a mais de um. elemento de B.
Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 2 Funções 2.1 Definição Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento
Leia mais( 5,2 ). Quantas soluções existem?
Escola Secundária com º ciclo D Dinis 0º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades Funções polinomiais Função módulo Considere as funções da família y = a(x b) Tarefa nº De que tipo de funções
Leia maisSoluções de Questões de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro CMRJ
Soluções de Questões de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro CMRJ. Questão Funções Sendo D e D, respectivamente, domínios das funções reais f e g, definidas por f ( x) = x e g ( x) de x no intervalo:,
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 14 1. Um cilindro como o da figura tem 10 cm de
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 17 Crescimento e decrescimento de funções, máximos e mínimos globais, máximos e mínimos locais, o teorema
Leia maiseixo das ordenadas y eixo das abscissas Origem 1º quadrante 2º quadrante O (0, 0) x 4º quadrante 3º quadrante
PLANO CARTESIANO eixo das ordenadas y 2º quadrante 1º quadrante eixo das abscissas O (0, 0) x Origem 3º quadrante 4º quadrante y ordenado do ponto P 4 P P(3, 4) O 3 x abscissa do ponto P No caso, 3 e 4
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa
Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 4 a Lista - MAT46 - Cálculo I 6/II ) Um fabricante de caixas de papelão de base quadrada deseja fazer caixas abertas
Leia maisSistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades
Capítulo 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades SISTEMA DE COORDENADAS LINEARES Um sistema de coordenadas lineares é uma representação gráfica dos números reais como os pontos
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Aula nº 5 do plano de trabalho nº 5
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Aula nº 5 do plano de trabalho nº 5 Resolver os eercícios 03, 0, 05, 0 e 6 das páginas 95 e 0.
Leia maisMATEMÁTICA. O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a décima linha. Somando os números dessa linha, ele encontrou:
MATEMÁTICA Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro-negro, o professor havia escrito os números naturais ímpares da seguinte maneira: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 O aluno
Leia maisFunções exponenciais e logarítmicas
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções exponenciais e logarítmicas Parte 07 Parte 7 Matemática Básica 1 Parte 7 Matemática
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. [01] Determine o domínio natural (efetivo) de cada uma das funções indicadas abaixo.
LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 04 Transformações de gráficos de funções, função raiz quadrada, funções potência [01] Determine o domínio
Leia maisCÁLCULO FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab.
Introdução Função é uma forma de estabelecer uma ligação entre dois conjuntos, sujeita a algumas condições. Antes, porém, será exposta uma forma de correspondência mais geral, chamada relação. Sejam dois
Leia mais