Funções potência da forma f (x) =x n, com n N

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1 Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções potência da forma f (x) =x n, com n N Parte 08 Parte 8 Matemática Básica 1 Parte 8 Matemática Básica 2 Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n, com n um número par. Importante: se n N, x n é uma notação para x } x {{ x}. n fatores Propriedades: (1) x R, n, m N, x n x m = x n+m. Prova: x n x m = x x x } {{ } n fatores x x x }{{} m fatores (2) x R, n, m N, (x n ) m = x n m. Prova: exercício! = x x x }{{} n+m fatores = x n+m. (1) A função f é par (isto é, f ( x) =f (x) para todo x R). (2) A função f é crescente em [0, + [. Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ). (3) A imagem de f é o intervalo [0, + [. Prova: será feita na disciplina de cálculo. Parte 8 Matemática Básica 3 Parte 8 Matemática Básica 4

2 Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n, com n um número ímpar. (1) A função f é ímpar (isto é, f ( x) = f (x) para todo x R). Proposição Seja f : R R definida por y = f (x) =x n, com n N. (a) Se 0 < x < 1, então x n+1 < x n. (b) Se x > 1, então x n+1 > x n. Folha 2 (2) A função f é crescente em R =], + [. Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ). (3) A imagem de f é R =], + [. Prova: será feita na disciplina de cálculo. Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 x < x x < 1 x, isto é, 0 < x 2 < x. Agora, se 0 < x 2 < x, então 0 x < x 2 x < x x, isto é, 0 < x 3 < x 2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos que 0 < x n+1 < x n, para todo n N. Isto demonstra a parte (a). A parte (b) fica como exercício. Parte 8 Matemática Básica 5 Parte 8 Matemática Básica 6 Revisão: funções da forma x elevado a n Funções potência: a função raiz quadrada Parte 8 Matemática Básica 7 Parte 8 Matemática Básica 8

3 A função raiz quadrada Explicando... Folha 3 f : [0, + [ [0, + [ x y = f (x) =x 2 Já demonstramos que f : [0, + [ [0, + [ é injetiva. Já mencionamos que f : [0, + [ [0, + [ é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0, + [ [0, + [ é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação x Se a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0, + [ [0, + [ x y = f (x) =x 2 f 1 : [0, + [ [0, + [ x y = f 1 (x) = x a 0, pois como vamos calcular a = f 1 (a), a deve estar no domínio de f 1, que é igual ao contradomínio de f, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, + [. a é único, pois se não fosse único, f 1 não seria uma função. a 0, pois a = f 1 (a) pertence ao contradomínio de f 1, que é igual ao domínio de f, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, + [. para representar f 1 (x). a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( a) 2 =(f 1 (a)) 2 = f (f 1 (a)) = (f f 1 )(a) =a. Note então que, se a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Parte 8 Matemática Básica 9 Parte 8 Matemática Básica 10 A função raiz quadrada Propriedades a R, a 2 = a. a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b. a 0, b > 0, a a a a b = e a 0, b < 0, b b =. b A função raiz quadrada é crescente: a, b 0, a < b a < b. (Ir para o GeoGebra) a, b 0, a + b a + b. Parte 8 Matemática Básica 11 Parte 8 Matemática Básica 12

4 Propriedade: demonstração a R, a 2 = a. Propriedade: demonstração a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b. Folha 4 Demonstração. Considere o número p = a. Como vimos, p = a 0. Vale também que p 2 = a 2 = a 2. De fato: se a 0, então a 2 = a a = a a = a 2 e, se a < 0, então a 2 = a a =( a) ( a) =a 2. Como a 2 éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a 2, segue-se que a 2 = p = a. Demonstração. Considere o número p = a b. Note que p = a b 0 como produto de dois números 0. Vale também que p 2 =( a b) 2 = a b. De fato: p 2 =( a b) 2 =( a) 2 ( b) 2 = a b. Como a b éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a b, seguese que a b = p = a b. A demonstração de que a, b 0, a b = a b fica como exercício. Parte 8 Matemática Básica 13 Parte 8 Matemática Básica 14 Propriedade: demonstração a 0, b > 0, a b = a b e a 0, b < 0, a a b =. b Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: a, b 0, a < b a < b. Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a/ b 0 como divisão de um número 0 por um número > 0. Vale também que p 2 =( a/ b) 2 = a/b. De fato: ( ) 2 a p 2 = = ( a) 2 b ( b) = a 2 b. Como a/b éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, seguese que a/b = p = a/ b. a 0, b < 0, a/b = a/ b fica como exercício. Demonstração. Sejam a, b 0 com a < b. Note que b > 0, b > 0, b a > 0e b + a > 0. Uma vez que podemos escrever que (b a) =( b a) ( b + a), b a = b a b + a. Assim, b a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, a < b. Naturalmente, vale também que se 0 a b, então a b. Parte 8 Matemática Básica 15 Parte 8 Matemática Básica 16

5 Propriedade: demonstração a, b 0, a + b a + b. Propriedade: demonstração a, b 0, a + b a + b. Folha 5 Demonstração. Sejam a, b 0. Inicialmente, observe que a + b 0e a + b 0 como soma de dois números 0. Note também que a b 0 como produto de dois números 0. Agora 0 a b 0 2 a b a + b a + 2 a b + b a + b ( a + b) 2. Como 0 a + b ( a + b) 2, usando a propriedade anterior, concluímos que a + b ( a + b) 2. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9eb = 16: a + b = 5 < 7 = 3+4 = a+ b. Quando vale a igualdade? Resposta: a, b 0e a + b = a + b a = 0oub = 0. Mas, pela primeira propriedade, ( a + b) 2 = a + b = a + b. Portanto, vale que a + b a + b. Parte 8 Matemática Básica 17 Parte 8 Matemática Básica 18 Exercício As funções f (x) = x 1 x 1 x 2 e g(x) = são iguais? x 2 Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f, mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: D f =(, 1] (2, + [ e D g =(2, + [. Note, contudo, que restritas ao conjunto A = D f D g =(2, + [, as duas funções são iguais: f = g. (2,+ [ (2,+ [ Funções potência: a função raiz n-ésima Parte 8 Matemática Básica 19 Parte 8 Matemática Básica 20

6 A função raiz n-ésima: caso n par f : [0, + [ [0, + [ x y = f (x) =x n, com n par. A função raiz n-ésima: caso n ímpar f : ], + [ ], + [ x y = f (x) =x n, com n ímpar. Folha 6 Já demonstramos que f : [0, + [ [0, + [ é injetiva. Já demonstramos que f : ], + [ ], + [ é injetiva. Já mencionamos que f : [0, + [ [0, + [ é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0, + [ [0, + [ é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos as notações n x e x 1/n Já mencionamos que f : ], + [ ], + [ é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : ], + [ ], + [ é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos as notações n x e x 1/n para representar f 1 (x). para representar f 1 (x). Note então que, se n é par e a 0, então n a éoúnico número real 0 que, elevado a n, dá o número real a. Note então que, se n é ímpar e a R, então n a éoúnico número real que, elevado a n, dá o número real a. Parte 8 Matemática Básica 21 Parte 8 Matemática Básica 22 A função raiz n-ésima Cuidado! Se n é par, o domínio de f (x) = n x = x 1/n é [0, + [. Se n é ímpar, o domínio de f (x) = n x = x 1/n é R. (Ir para o GeoGebra) Parte 8 Matemática Básica 23 Parte 8 Matemática Básica 24

7 Propriedades da função raiz n-ésima para n par Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar Folha 7 Se n é par, a R, n a n = a. Se n é ímpar, a R, n a n = a. Se n é par, a, b 0, n a b = n a n b e a, b 0, n a b = n a n b. Se n é ímpar, a, b R, n a b = n a n b. Se n é par, a 0, b > 0, n a b = n a n b e a 0, b < 0, n a b = n a n b. Se n é ímpar, a R, b R {0}, n a b = n a n b. A função raiz n-ésima é crescente (n par): a, b 0, a < b n a < n b. A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): a, b R, a < b n a < n b. Se n é par, a, b 0, n a + b n a + n b. Se n é ímpar, a, b 0, n a + b n a + n b. Parte 8 Matemática Básica 25 Parte 8 Matemática Básica 26 Observações Mais propriedades As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada. Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do binômio de Newton pode ser útil: n ( ) n (a + b) n = a n i b i. i i=0 Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n a + b n a + n b da última propriedade. De fato: se a = 1, b = 1 e n = 3, então = 3 2 > 2 = Se n é par e m N, então x 0, Se n é ímpar e m N, então x R, Se m é par ou n é par, então x 0, Se m e n são ímpares, então x R, n x m =( n x) m. n x m =( n x) m. n m x = nm x. n m x = nm x. Parte 8 Matemática Básica 27 Parte 8 Matemática Básica 28

8 Funções da forma x elevado a menos n Folha 8 y = f (x) =x n = 1 x n, com n N e x 0 Funções da forma x elevado a menos n (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + [. (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Parte 8 Matemática Básica 29 Parte 8 Matemática Básica 30 Funções da forma x elevado a menos n Funções da forma x elevado a menos n Parte 8 Matemática Básica 31 Parte 8 Matemática Básica 32

9 Folha 9 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) =x p/q, com p Z {0}, q N e p/q fração irredutível Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) (1) Se p > 0, q > 0eq é par, então, por definição, para todo x 0. x p/q = q x p (2) Se p > 0, q > 0eq é ímpar, então, por definição, x p/q = q x p para todo x R. Parte 8 Matemática Básica 33 Parte 8 Matemática Básica 34 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Exemplos y = f (x) =x p/q, com p Z {0}, q N e p/q fração irredutível (1) Se p < 0, q > 0eq é par, então, por definição, para todo x > 0. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p (2) Se p < 0, q > 0eq é ímpar, então, por definição, x p/q = 1 x p/q = 1 q x p x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 para todo x R {0}. Parte 8 Matemática Básica 35 Parte 8 Matemática Básica 36

10 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Folha 10 Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas E potências irracionais? 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Parte 8 Matemática Básica 37 Parte 8 Matemática Básica 38 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Parte 8 Matemática Básica 39