GMA LISTA DE EXERCÍCIOS. Funções poligonais, funções da forma x elevado a n, função raiz n-ésima

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1 GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi 12 Funções poligonais, funções da forma x elevado a n, função raiz n-ésima [01] Determine a função poligonal f :[0, 10] R cujo gráfico é aquele apresentado na figura abaixo. y { x [02] Desenhe o gráfico da função f(x) = x +1 x 1. [03] Seja f : D R e g : D R duas funções reais definidas em um domínio D. Defina a função mínimo { f(x), se g(x) f(x), h(x) =min{f(x),g(x)} = g(x), se g(x) f(x). Se f(x) =4 x e g(x) =x + 1, desenhe o gráfico da função h(x) =min{f(x),g(x)} =min{4 x, x +1}. [04] Seja f : D R e g : D R duas funções reais definidas em um domínio D. Defina a função máximo { g(x), se g(x) f(x), h(x) =max{f(x),g(x)} = f(x), se g(x) f(x). Se f(x) =4 x e g(x) =x + 1, desenhe o gráfico da função h(x) =max{f(x),g(x)} =max{4 x, x +1}. [05] O imposto de renda y pago por uma pessoa que, em 1995, teve uma renda x é calculado através de uma expressão da forma y = ax p, onde a alíquota a e a parcela a deduzir p dependem de x e são dadas por uma tabela, parcialmente fornecida a seguir: 1

2 Renda (em R$) Alíquota (a) ParcelaaDeduzir(p) Até % 0 De 8800 a % De a % Mais de %. (a) Complete a tabela, de modo que o imposto a pagar varie continuamente com a renda (isto é, não haja saltos ao se passar de uma faixa de renda para outra). (b) Se uma pessoa está naterceirafaixaesuarendaaumentader$5000,00, qual será seu imposto adicional (supondo que este acréscimo não acarrete uma mudança de faixa)? (c) É comum encontrar pessoas que lamentam estar no início de uma faixa de taxação ( que azar ter recebido este dinheiro a mais! ). Este tipo de reclamação é procedente? (d) A tabela de taxação é, às vezes, dada de uma outra forma, para permitir o cálculo do imposto através de uma expressão da forma y = b (x q) (istoé, primeiro se deduz a parcela q e depois se aplica a alíquota). Converta a tabela acima para este formato (isto é, calcule os valores de b e q para cada faixa de renda). (e) Qual a renda para a qual o imposto é igual a R$ ,00? [06] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma calculadora gráfica. (a) y = x 2, (b) y = x 5, (c) y = x 8. [07] (Sugerido por Maurício Quintanilha da Silva) Considere uma função f : R R ímpar. (a) Mostre que se f é crescente no intervalo [0, + ), então f também é crescente no intervalo (, 0]. (b) Usando a identidade x n 2 x n 1 =(x 2 x 1 )(x n x n 2 2 x x 2 x n x n 1 1 ) mostre que f(x) =x n é crescente no intervalo [0, + ), com n N ímpar. (c) Usando os itens (a) e (b), mostre que f(x) =x n é crescente em R, comn N ímpar. 2

3 [08] Qual número é maior? ou ? Justifique sua resposta! [09] Considere a função y = f(x) =x 2 edoisnúmeros reais a e b positivos. Mostre que a ordenada do ponto de interseção da reta que passa pelos pontos ( a, f( a)) e (b, f(b)) com o eixo y é igual ao produto ab dos números a e b. y y = x 2 ab {a b x Usando esta propriedade, épossível criar uma máquina de multiplicar números. A figura abaixo ilustra tal máquina elaborada pelo Laboratório de Ensino de Ensino de Matemática da UFPE (a foto foi tirada na V Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, na UFPB, em outubro de 2010). [10] Por que 4 1=1? [11] Por que 4 16 é diferente de 2, apesar de ( 2) 4 ser igual a 16? E por que = 3? [12] Um aluno deu o seguinte argumento para provar que 4 a 4 = a, paratodoa R: 4 a 4 (1) = (a 4 ) 1 4 (2) = a (3) = a 1 (4) = a. O argumento do aluno está correto? Em caso negativo, especifique quais igualdades estão erradas. [13] Mostre que se n N e n épar,então f(x) = n x = x 1/n é uma função crescente em [0, + ). 3

4 [14] Mostre que se n N e n éímpar, então f(x) = n x = x 1/n é uma função crescente em R. [15] Sejam x 1,...,x n números reais não negativos. As médias aritmética e geométrica destes n números são definidas, respectivamente, por M A = x x n = 1 n x i e M G = n x 1 x n = n n x i. n n i=1 (a) Calcule as médias aritmética e geométrica dos números x 1 =1,x 1 =1/2 ex 3 =1/4. Qual média é maior? (b) Considere um bloco retangular B cujas arestas medem a, b e c. Qual é a medida da aresta do cubo cujo volume é igual ao volume do bloco retangular B? (c) Mostre que se x 1 = = x n = α 0, então as médias aritmética e geométrica são ambas iguais a α: M A = M G = α. Observação: é possível demonstrar (usando, por exemplo, indução) que a média geométrica de n números não negativos é sempre menor do que ou igual a média aritmética destes n números. Mais ainda: as duas médias são iguais se, e somente se, os n números são todos iguais. [16] A notação n x m,comn, m N, n ímpar e x R, pode ser lida da seguinte maneira: i=1 n xm denota o único número real que elevado a n é igual a x m. Como podem ser lidas as notações indicadas abaixo? (a) n x m,comn, m N, n par e x 0. (b) ( n x) m,comn, m N, n par e x 0. n (c) m x,comn, m N, m e n ímpares e x R. n m (d) x,comn, m N, m e n ímpares e x R. [17] Mostre que para todo a, b 0, vale que 3 a + b 3 a + 3 b. Dica: use a identidade (x 1 + x 2 ) 3 = x x2 1 x 2 +3x 1 x x3 2,comx 1 = n a e x 2 = n b. [18] Demonstre todas as propriedades das raízes n-ésimas apresentadas em sala de aula. 4

5 Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las! [01] A função poligonal é f(x) = 2 x +3, se x [0, 2], x 8, se x [2, 8], 3 3 x +28, se x [8, 9], 1, se x [9, 10]. [02] Confira sua resposta usando o GeoGebra: digite f(x) = abs(x + 1) - abs(x - 1) no campo de entrada. [03] Confira sua resposta usando o GeoGebra: digite f(x) = Se[4 - x > x + 1, x + 1, 4 - x] no campo de entrada. [04] Confira sua resposta usando o GeoGebra: digite f(x) = Se[4 - x > x + 1, 4 - x, x + 1] no campo de entrada. [05] (a) As parcelas a deduzir são 0, 1 320, 3 207,60 e ,10. (b) 0, = (c) Não, porque a função que descreve a renda líquida (renda menos o imposto) em termos da renda é uma função crescente. (d) Em cada faixa de renda, devemos ter ax p = b (x q) =bx bq,paratodox. Ou seja, b = a e p = bq. Assim, b =0%eq é arbitrário para a faixa 1, b = 15% e q = para a faixa 2, b = 26% e q = ,92 para a faixa 3 e b = 35% e q = ,86 para a faixa 4. (e) Inicialmente, vamos calcular o IR nos pontos de mudança de faixa: Renda IR , ,40 Logo, um IR igual a R$ ,00 é pago na faixa de tributação de a 158,450. A renda correspondente satisfaz 0,26 x 3 207,60 = , ou seja, ela é igual a R$ ,00. [06] (a) h, (b)f, (c)g. [07] (a) Sejam x 1,x 2 (, 0], com x 1 <x 2. Mas se x 1 <x 2,então x 1 > x 2 e, se x 1,x 2 (, 0], então x 1, x 2 [0, + ). Como, por hipótese, f é crescente no intervalo [0, + ), segue-se que f( x 1 ) >f( x 2 ). Sabemos que, por hipótese, f é uma função ímpar. Logo, f( x 1 )= f(x 1 )ef( x 2 )= f(x 2 ). Assim, f( x 1 ) >f( x 2 ) f(x 1 ) > f(x 2 ) f(x 1 ) <f(x 2 ). Mostramos então que, para todo x 1,x 2 (, 0], com x 1 <x 2,tem-sef(x 1 ) <f(x 2 ). Logo, f é crescente no intervalo (, 0].. 5

6 (b) Sejam x 1,x 2 [0, + ), com x 1 <x 2. Temos então que x 1 0, x 2 > 0ex 2 x 1 > 0. Mas se x 1 > 0ex 2 0, então x n 1 2 > 0, x n 2 2 x 1 0,, x 2 x n 2 1 0, x n Em particular, x n x n 2 2 x x 2 x n x n 1 1 > 0. Portanto, x n 2 xn 1 =(x 2 x 1 ) (x n x n 2 2 x }{{} x 2 x n x n 1 1 ) }{{} >0 >0 Mas, se x n 2 xn 1 > 0, então xn 1 <xn 2. Isto mostra que f é crescente no intervalo [0, + ). (c) Pelos itens (a) e (b), sabemos que f é crescente em [0, + ) eem(, 0]. Se n N éimpar, então f(x) > 0paratodox (0, + ) ef(x) < 0paratodox (, 0). Sejam agora x 1,x 2 R com x 1 <x 2.Temostrês possibilidades: (1) x 1,x 2 [0, + ), (2) x 1,x 2 (, 0] e(3)x 1 (, 0) e x 2 (0, + ). Nos três casos x n 1 <x n 2. Logo f é crescente em R. [08] é maior do que ,pois =(3 2 ) 1000 = > =(2 3 ) 1000 = > 0 [10] 4 1 = 1 porque 1 éumnúmero não negativo e 1 4 = 1. [11] Apesar de 2 elevado a 4 ser igual a 16, 2éumnúmero negativo e, por definição, 4 16 éoúnico número real não negativo queelevadoa4éigual a 16 (uma raiz n-ésima, com n par, ésempre não negativa). Desta maneira, 4 16 é igual a 2 e não 2. Agora, = 3 porque 3 éo (único) número real que elevado a 5 é igual a 243. [12] Apenas a igualdade (2) está errada. Se a = 1, então (a 4 ) 1 4 =(( 1) 4 ) 1 4 =1 1 4 =1ea = a 1 = a = 1. Logo, para a = 1, (a 4 ) 1 4 a 4 1 [13] Sugestão: use o Exercício [19] da Lista 9. [14] Sugestão: use o Exercício [19] da Lista Texto composto em L A TEX2e, HJB, 13/06/