2Parte. Soluções das Fichas de trabalho. Ficha de trabalho 1 Lógica e teoria dos conjuntos 1 (A) D; (B) P; (C) D; (D) P; (E) D; (F) P; (G) D; (H) P.

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1 Soluções das icha de trabalho Lógica e teoria dos conjuntos (A) D; (B) P; (C) D; (D) P; (E) D; () P; (G) D; (H) P. (A) erdadeira; (B) alsa; (C) alsa; (D) alsa; (E) erdadeira; () erdadeira. p, r e s ; q e t. a) b & c ; b) c & +a ; c) +b / +c ; d) (+a / b) & c a) As retas m e l são paralelas, logo, são retas com o mesmo declive. b) As retas m e l são paralelas, logo, não são concorrentes. c) As retas m e l são paralelas, logo, têm o mesmo declive. d) As retas m e l são paralelas ou concorrentes. e) as retas m e l são concorrentes e intersetam-se, formando um ângulo reto, logo, não são retas paralelas. 6 a) erdadeiro. b) also. c) erdadeiro. d) also. 7 a) a b (a 0 b) 0 +a b) a b a + b +a 0 b (a + b) & (+a 0 b) 8 a) a / +b ; b) a 0 b ; c) (a 0 b) / c 9 (A) alsa; (B) alsa; (C) erdadeira; (D) erdadeira; (E) alsa. 0 a) p (+p & p) + p b) p q [+p 0 (p / q)] 0 (p / +q)

2 c) p q (p & q) 0 (p 0 +q) a) p verdadeiro; q verdadeiro; r falso. b) p verdadeiro; q falso; r verdadeiro. c) p verdadeiro; q falso; r verdadeiro. icha de trabalho Lógica e teoria dos conjuntos Em IN Em IR (A) Impossível (B) Universal (C) Universal (D) Impossível (E) Impossível () Impossível Possível Universal Possível Possível Possível Impossível a) Por eemplo, IR ; b) ], +[ ; c) IN a) Por eemplo, - < 0. b) Por eemplo, + < 0. c) Por eemplo, - 6 < 0. a) #-, - ; b) E -, + ; ; c) {-, } ; d) ]-, [ a) dobro de um número real é maior do que esse número; falsa. b) Qualquer potência de dois de um número natural é maior do que o quadrado desse número; falsa. c) Um quadrado de um número real é maior do que esse número; falsa. d) o quadrado da soma entre um número real e dois é igual à soma dos quadrados desse número e de ; falsa. e) Qualquer número real é racional; verdadeira. 6 a) 7! IQ : > ; verdadeira. b) 6n! IN, H 0 ; falsa. c) 6! IQ,! IQ ; falsa. 7 (A) alsa; (B) erdadeira; (C) alsa; (D) erdadeira. 8 (A) erdadeira; (B) alsa; (C) erdadeira. 9 (A) alsa; (B) erdadeira. 0 a) 7! IR: " IQ ; b) 6! IQ, "IR ; c) 6! Z -, < 0 a) n = ; b) = ; c) = 0

3 icha de trabalho Lógica e teoria dos conjuntos a) {} ; b) ], 9[ ; c) ], 9[ ; d) ]-, [ a) n ; b) {-} ; c) {! IR: H 0} a) ], +[ ; b) ]-, ] ; c) ]0, ] a) - 9 = 0 + =! 9 + = - 0 = + =,! IN A = {} - 6 = 0 + = 6 + =,! IN B = {} b) - = + - = = + = 0 = A = {, }! 9- # # = (! + = c) - < 0 + < A = ]-, [ < + < / > - B = ]-, [ d) + G 0 A = IR < ( - ) + < < - a) ]7, +[ ; b) {-} ; c) ]-, [! + = 0 = B = {, } B = IR 6 A, B = {-9, 0, 9} A + B = {0} 7 A, B = ]-, ] A + B = [-, ] 8 a) A\B = {, 6, 0} B\A = {, 6, 8} b) A\B = ], ] B\A = [-, [ c) A\B = Z 0-9 a) A + B ; b) Ø B\A = Ø 0 a) A + B\(A + B + C) ; b) C\(A, B) ; c) A\(B + C) 7 icha de trabalho Álgebra a) - ; b) - ; c) a) < ; b) = ; c) = ; d) = ; e) < (A) alsa; (B) erdadeira; (C) alsa. a) = -8 0 = 8 ; b) Impossível. c) = ; d) = - ; e) = 0 ; f) = a) 7-9 ; b) - 6 ; c) - ; d) 0,06-6 a) ; b) - ; c) a) ; b) 6 ; c) 7 ; d) 0 8 a) 8 ; b) 8 ; c)

4 9 cm 0 0. P = cm 0. = 6 +. AE = 6+. P = icha de trabalho Álgebra a) b) c) d) a) b) c) d) a) Q = - + R = -6 b) Q() = + R() = - - a) Q = + R = 0 b) Q = R = 0 a) Q = R = 9 b) Q = R = m = 0 e n = a) Q() = ( + )( + ) b) R() = ( - )( + )( + ) 8 a) é raiz de multiplicidade e é raiz. b) é raiz de multiplicidade e - é raiz. 9 a)! ]-, ] b)! [, ] icha de trabalho 6 Geometria analítica. A(, ) ; B(0, ) ; C(, ) ; (0, 0). a) Al(-, -) b) Am(, -)

5 . B(-, -); C(, -); D(, 0); E(, ); (-, ). B(-, -). y = - a) y c) y b) y d) y a) y G / G / y b) y < / y G H 0. a) Por eemplo: A e DC. b) Por eemplo: AD e DC. c) Por eemplo: JL.. A(, 0, 0) ; B(,, 0) ; D(, 0, ) ; E(,, 0) ; (0,, 0) ; G(0, 0, ) ; H(0,, ) ; J(, 0, 6) ; L(0, 0, 6) ; M(0,, 6).. a) y = - b) y = 0 / z = c) = / z = / 0 G y G icha de trabalho 7 Geometria analítica 7 a) y = + ; b) y = ; c) y = -7 - ; d) y = ; e) y = - ; f) y = - +. t : y = ; s : y = ; r : y = - +. a) Ac, 7 7 m b) A = m 8 a) y b) y 6

6 . ( + ) + (y - ) = 8. y = + 6 e y = +. ( + ) + (y - ) H 8 / y H + / y G + 6 icha de trabalho 8 Geometria analítica. Não, porque os vetores AB e AC são não colineares.. c0,, m. + (y - ) + cz - m G. triângulo [ABC] não é retângulo.. (, y, z) = (-, 0, ) + k(6, -, ), k! IR. a) CE b) DC c) H d)... B(-6,, 0) ; C(-6,, 0) ; D(6, -, 0) ; E(6,, 6) ; (-6,, 6) ; G(-6,, 6) ; H(6, -, 6).. como os vetores MN e BC são colineares, sendo MN o vetor diretor da reta MN e BC o vetor diretor da reta BC, pertencente ao plano ABC, então, pelo critério de paralelismo entre uma reta e um plano (se uma reta é paralela a uma reta de um plano, então, é paralela a esse plano), a reta MN é paralela ao plano ABC... CB = MN.. + y + z = 80..! 9! Aproimadamente,,6 litros. icha de trabalho 9 unções reais de variável real. unções: B e D.. Domínio Conjunto de chegada Contradomínio B {,, } {,, 6, 7} {,, 6} D {,, } {, } {, } P = + 0 D = ]-, ] e Dl = [-, ] 7

7 . a) ; b) 7 ; c). y. f y 0, 0, 0,. {-8, -,, 7, }. Uma função é injetiva no seu domínio se!, então, f( )! f( ). Portanto, vem -! -!. Logo, a função é injetiva.. -. k +. 6 Uma função quadrada não é injetiva, pois a objetos diferentes correspondem imagens iguais. No caso da função dada: f(-) = f() = 0, isto é,! & f( ) = f( ). Uma função é sobrejetiva quando o seu conjunto de chegada coincide com o contradomínio. No caso da função dada, o contradomínio é [-, +[, assim, 6y! Dl f, 7! IR: y = f() D f %g = {0,,, 6, 8} e D g%f = {0,,,, } f %g 0 0 D g%f = {0,,,, } 8 8. Zero: = - 8. a função é injetiva. 8. f() = 8 + = y = f(-) = 8. f - () = a função é bijetiva pois é sobrejetiva e injetiva. 9. f - () = 0 icha de trabalho 0 unções reais de variável real. D f = IR e Dl f = IR ; D g = [-, 6] e Dl g = [-, ] ; D h = ]-, -], [, +[ e Dl h = [-, +[. f %g g é crescente em [-, -] e em [0, ] e decrescente em [-, 0] e em [, 6]. 8

8 . Não, e 6 são zeros de h.. ]6, 7[.6 - e icha de trabalho unções reais de variável real a) f() = - + b) f() = +, por eemplo; c) f() = d) f() = se H-. g() = * se -. - e.. E -,- ;, ], +[ a) Não tem zeros, é sempre positiva e Dl f = ], +[. b) Zeros: e ; Dl f = ]-, +[ ; positiva em ]-, [, ], +[ e negativa em ], [. c) Não tem zeros, é sempre positiva e Dl f = ], +[. 6 0 a) h() = b) h() = + - c) h() = ,7. 6 segundos.. segundos Dl f = [-, +[ e Dl f = [-, +[ 6. a) [, ] ; b) {-7, -} ; c) [-0, 0] 6. {0, } icha de trabalho unções reais de variável real. h() = * se G se H. a) [-, ] ; b) [0, +[ ; c) -6. [, 8]. y 0 9

9 . a) Dl = [-7, [ ; tem dois zeros; b) Dl = [-0, [ ; c) D = [0, [. k = - a) -( - 6)( + ) b) ( - )( + )( + ) 79 a) p = - ; b) p = 6 c) ( - )( - )( + ) d) ( + ) ( + + 0) a) ( - )( + )( - ) ; b) ( + )( - ) ( - ) 6 a) ]-, -[, ]0, [ ; b) ]-, -], [0, 7] ; c) [-, -], [, ] 7 7. designando por a aresta lateral do prisma quadrangular, vem: 00 = a + + = 00 - a + = 00 - a logo, o volume do prisma é: (a) = A base altura + (a) = a (00 - a) + (a) + 00a - a c.q.d. 7. a. m icha de trabalho Estatística a),6 ; ; ; b), ; c) P : ; P 0 : ; P 7 : 6 ;, ;, ; ; 6 anos: alunos; anos: alunos; 6 anos: alunos; 7 anos: 6 alunos; 8 anos: aluno. 6 a) Média = 9 ; moda = 00 ; mediana = 0 b) P : 00 ; P 0 : 0 ; P 7 : 00 icha de trabalho Estatística a) ; b) 8 7 a) 9 ; b), 8, ; ; 6, 6 a) v =,6 b) 0,, 6 7 9,6 ; 8 e (distribuição bimodal); 8 8 0