Informática no Ensino da Matemática

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Lucas Castelhano Bennert
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1 Informática no Ensino da Matemática Humberto José Bortolossi Lista de Exercícios 3 ATIVIDADE 1 (a) Sejam u =(a b)/(a + b), v =(b c)/(b + c) ew =(c a)/(c + a). Mostre que (1 + u) (1 + v) (1 + w) =(1 u) (1 v) (1 w). Dica: se você não conseguiu demonstrar a igualdade acima com papel e lápis, tente usar o GeoGebra 4.0! Defina u := (a - b)/(a + b), v := (b - c)/(b + c), w := (c - a)/(c + a), r := (1 + u)(1 + v)(1 + w), s := (1 - u)(1 - v)(1 - w) e, em seguida, calcule r - s. (b) Mostre que se a, b e c são números diferentes de zero, distintos dois a dois e tais que a + b + c =0,então ( a b c + b c a + c ) ( b c + c a + a b ) =9. a b a b c Tente fazer a mão e, depois, tente fazer usando o GeoGebra 4.0. ATIVIDADE 2 O GeoGebra 4.0 possui várias funções e constantes matemáticas já definidas. Na Tabela 1 temos uma lista de símbolos mais usados com as respectivas representações e, na Tabela 2, uma lista com as funções matemáticas mais conhecidas. Por exemplo, no GeoGebra 4.0, i = 1é representado pelo símbolo í. Seja f(n) =i n, onde i = 1en N. Calculef(5), f(500) e f(587). uma fórmula geral? Épossível estabelecer ATIVIDADE 3 O comando Fatorar[...] também pode ser usado para fatorar polinômios. Por exemplo, o comando Página 1

2 Objeto Representação no GeoGebra 4.0 números inteiros -47, 1, 2 números racionais 3/5, -1/3 representações decimais 1.0, 0.002,.35*10^(-45) verdadeiro, falso true, false π pi, Pi, π e (base logarítmica natural) exp(1), e 1 í, (-1)^(1/2) infinity, Tabela 1: Símbolos matemáticos no GeoGebra 4.0. Os símbolos π, í, e e (entre outros símbolos) estão disponíveis clicando-se no ícone α. Função Representação no GeoGebra 4.0 x (raiz quadrada de x) sqrt(x), x^(1/2) e x (exponencial) exp(x), e^x ln x (logaritmo natural) log(x), ln(x) log 10 x lg(x), log(10, x) log 2 x ld(x), log(2, x) log b x log(b, x) x (módulo de x) abs(x) seno, cosseno, tangente sin(x), cos(x), tan(x) secante, cossecante, cotangente sec(x), csc(x), cot(x) funções trigonométricas inversas asin(x), acos(x), atan(x) arcsin(x), arccos(x), arctan(x) funções hiperbólicas sinh(x), cosh(x), tanh(x) funções hiperbólicas inversas ( n m sech(x), csch(x), coth(x) asinh(x), acosh(x), atanh(x) arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x) ) coeficiente binomial CoeficienteBinomial[n, m] Tabela 2: Funções matemáticas no GeoGebra 4.0. Página 2

3 devolverá a expressão algébrica Fatorar[ 3 x^4 + 5 x^3-3 x - 1] (3 x 2 x 1)(x +1) 2 Note que o GeoGebra 4.0 procura simplificar fatores comuns em funções racionais, isto é, ele devolve uma expressão na forma numerador/denominador, onde o numerador e o denominador são polinômios relativamente primos com coeficientes inteiros. 1 2 (x 2 1)/(x 1) (x +1) (x 2 5 x + 6)/(x 3) (x 2) Se você definir uma função, a simplificação não éautomática. Será preciso usar o comando Simplificar[...] para obtê-la. f(x) := (x 2 1)/(x 1) 3 4 x2 1 x 1 Simplificar[f(x)] (x 2) ParaoGeoGebraCAS,(x 2 1)/(x 1) e x +1são expressões iguais. Elas são realmente iguais? Mais precisamente, se f(x) = x2 1 x 1 e g(x) =x +1, então as funções f e g são iguais? ATIVIDADE 4 OGeoGebra4.0,além de trabalhar simbolicamente com números inteiros, racionais e irracionais, também reconhece números representados através de sua representação decimal! Página 3

4 Para isto, basta usar o comando ValorNumérico[...]. 1 ValorNumérico[sqrt(2), 23] Cuidado: o último dígito pode estar arredondado! 2 ValorNumérico[sqrt(2), 24] Também épossível converter uma representação decimal para uma fração da forma p/q, com p e q 0 inteiros. 3 FormaFracionária[0.25] 1 4 (a) Use o GeoGebra 4.0 para decidir quais dos números 19/6, 22/7 e25/8 melhor aproxima π. (b) Os números a = / e b = / são iguais? Tente descobrir uma resposta usando o comando ValorNumérico[...] comumnúmero de dígitos adequado. (c) Verdadeiro ou falso? Se ValorNumérico[a, n]) = ValorNumérico[b, n], então a = b? Justifique sua resposta! (d) Use o GeoGebra 4.0 para colocar os números 8 2, 1 + sen(597) e ln(3) em ordem crescente. Justifique seu procedimento! ATIVIDADE ELETRÔNICA 6 Resolva as questões indicadas abaixo. Os seguintes comandos do GeoGebra 4.0 podem ser úteis: ÉPrimo[n] (que testa se n éumnúmero primo), PróximoPrimo[n] (que determinaopróximo primo que é maior do que n) evalornumérico[n, c] (que calcula uma aproximação do número n com c casas decimais). (a) Para quais números primos p arepresentação decimal de 1/p é finita? Página 4

5 (b) Seja p um número primo tal que a representação decimal de 1/p é infinita (e, naturalmente, periódica). Qual éonúmero máximo de dígitos do período desta representação decimal? (c) Encontre pelo menos três números primos p para os quais a representação decimal de 1/p é infinita e tem um períodocomumnúmero par de dígitos. (d) O Teorema de Midy diz que, para as frações irredutíveis da forma a/p (com p um número primo diferente de 2 e 5) cujas expansões decimais possuem um período com um número par de dígitos, a soma da primeira metade com a segunda metade do período dá um número cujos dígitos são todos iguais a 9. Por exemplo, 5/13 = e = 999. Verifique a validade do Teorema de Midy para as frações 1/p que você encontrou no Item (c). (e) Encontre pelo menos três números primos p para os quais a representação decimal de 1/p é infinita e tem um períodocomumnúmero ímpar de dígitos. Envie sua resposta para o seguinte novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (note o ponto. entre as palavras). Use AE-06: representações decimais como assunto (subject) deste . Sóserão aceitos os s enviados até o dia 24/08/2011 (quartafeira). Não esqueça de colocar o seu nome. Página 5

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