UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia

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1 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 0, 1, 2, 3, 4, ú. 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ú.,, 0 ú. 2, 3, 5,,, ú. A diferença entre um número racional e um número irracional: Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima). Exemplo de números racionais: a) 0,3 é um decimal finito. b) é um decimal infinito e periódico com dízima 6. c) 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional. Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica. Exemplo: a) 3, representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. ê 3, é â ê 2, , é. 2 1, é um número infinito sem dízima. Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais. ú. Exercícios: Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais: a) 3,12 e) 0 i) - 9 b) 0, f) - 6,8 j) 17, c) 1, g) 4 l) 0,5 d) 25 h) - 1, m) 1

2 RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta. Os números da reta real são simétricos e opostos , , I I I I I I I I I I I I I I I I... r reta real * Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número. Exemplo: 1 á 2 logo á ,3 á 1,5 2,3 1,5 Em geral *Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número. Exemplo: 1á á 3, ,1415 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real. Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal. Exemplos: a) c) ( b) d) ( : subtraem se os números e dá se o em módulo maior algarismo. Exemplos: a) é é. b) é é SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda subtração é uma adição. O sinal positivo na frente de parênteses, colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) b) c) O sinal negativo na frente de parênteses, colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( b) c)

3 MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real. Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo. Exemplo: a) b) multiplicam se os números e á. Exemplo: a) b) 1, DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação. Exemplo: QUADRO DE SINAIS :. Adição Somar Subtrair Sinal do maior em módulo Subtrair Somar Sinal do maior em módulo Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo: a) e) b) f) c) d) 87 7 h) 1 1 Respostas a) 47 b) 35 c) 2 d) 94 e) 0 f) 22 g) 180 h) 0 3

4 EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos: 1º ) Resolver primeiro o que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves. 2º ) Efetuarmos primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão. 3º ) Efetuarmos a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão. Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica: a ) ( b ) { EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo: a ) b ) c ) d ) 31 40: e) f) g) h) i).. j) Respostas: a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0 h) i) 4 j) 6 4

5 FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b 0, quando escritos na forma representam uma fração. = ã ã. O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e consideramos 3 partes (numerador). A fração será: 3 5 Exemplo de frações: ; ; ; ; ; ; ; ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador. Exemplo: 2 Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3-5- 2) 2 Exemplo: = 30 m.m.c.(4-8-2) = 8 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente. Exemplo:... 0,42... ) =.. 5

6 NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1. Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador. 1 O Inverso de é O Inverso de 2 é 2 O Inverso de é O Inverso de é *O número zero não admite inverso: o inverso de é nos não existe divisão por zero. DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo: a) :... b)... c) 15.. Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas: a). :.... b) c)

7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo: a) b) c) : d) e) 7 ( 7 ) f). 18 Respostas: a 1 b 0,033 c 5 d 10 e) 45 f) 52 7

8 POTENCIAÇÃO: Potência de um Número Natural: Seja, chama-se Potência de base e expoente,,, o número que é o produto de iguais a. Exemplos:... onde ê a) b) c). 3,14. 3,14 9,87 d) Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa. e) Base negativa com expoente par tem-se potência positiva. *ATENÇÃO: 6 6, pois Potência de expoente nulo (zero): Por definição, qualquer número, exceto o número 0,elevado a potência zero é igual a 1. Exemplos: ? çã ) ,25 = 1 Qualquer número elevado ao expoente 1 á é igual ao próprio número. Exemplos: Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo: a) 10 1 c) 10 e) 2 f) 8 g) 1 d) 3 8

9 Inverso da Potência: Sejam, 0, o inverso de representado por Exemplos: a) 5 b) 2 d) 3 e) c) 1 1 f ) 2 PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam,,, tem-se: # O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.. a) b) c) d) # O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. a) b) c) = = e) =

10 # A potência do produto é igual ao produto das potências... a) b) # A potência do quociente é igual ao quociente das potências. a) 0,58 b). c) # A potência de uma potência é igual ao produto das potências.. a). b) Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números,,, 0,,. P 1 ) P 2 ). P 3 ). P 4 ) P 5 ).. ou 10

11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência: a) 9. 9 b) c) d) 8 e) f) g) h) 2 4 i) j) 10 : l). m) : Respostas: a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 32 e) 17 f) 9 72 g) 8 h) i) 0,1 j) 10 l) 0,01 m) 10 11

12 RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação. Definição: Dado um número real não negativo e um número natural, 1, chama-se é é ú ã (b tal que, 3 4 ê ê ú ê onde radicando, raiz, í, Exemplos: a) 16?? 16, qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16? Resposta: O número é 4, pois 4 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, 16 4 b) 8?? , portanto 2 é ú 8. c) 1?? , portanto 1 é ú 1. d) portanto 2 é 16. Índice Par : Quando í a restrição é que 0, pois não existe no conjunto dos números reais raiz quadrada de número negativo, ou seja, não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número negativo. 16 ã º 16. Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte em um número negativo. 3 a) 8?? , portanto 2 é ú 8. b) , portanto 3 é 243. Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo: a) 0 3 d) 27 b) 1 e) 4 4 c) 81 4 f) 16 12

13 Propriedades da radiciação: a, b +,, 0,,, 2. P 1 ).. Ex.: P 2 ).. Ex.:.. P 3 ) 0 Ex.: P 4 ) Ex.: 3 3 P 5 ). Ex.: Potência de expoente racional: Sejam os números, 0,,, 1, ê é é. Exemplos: a) b) c) quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar. Exemplos: a) b) c) d) e) f) EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as operações com radicais: 3 3 a) b) c) Respostas a) 1 b) 4 c) 3 13

14 POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência ,1 10 0, , , , , , , Transformando um número decimal em potência de 10: Exemplos: a) 0, b) 0, c) 0, Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, , o expoente da potência de 10 diminui,,, na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. º. 10 Exemplos: a) 1,7 1, deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade. b) 2,45 2, deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades. c) 84, Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais 14

15 Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000,..., o expoente da potência de 10 aumenta,,, na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. Exemplos: º. 10 a) , ,7. 10 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade. b) 245 2, deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades. Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais Adição e Subtração de potência de base 10: É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.exemplos: a) expoentes iguais b) c) d) Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o mesmo expoente. Exemplos: a) transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, b) 0, expoentes diferentes expoentes iguais c) 0, expoentes diferentes expoentes iguais 15

16 Exercícios Propostos: a) b) c) d) e) 5, f) Respostas a) b) c) d) e) f) Multiplicação de Potência de base 10: Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) b) (-3) c) Divisão de Potência de base 10: Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) b) c) , d).,.....,..,..,

17 Exercícios Propostos: Resolver as operações de potência de base 10: a) , b) c).,... d) , e) f) g) h) Respostas: a) b) c) d) 10 e) 1,17.10 f g) 5,5. 10 h) 0,

18 POLINÔMIOS: Monômio: Na variável é uma expressão do tipo onde ô,. ô,. Grau do monômio: É o expoente da variável. Exemplo: a) 4 é um monômio na variável de 4 ô 2 ô ô é 2º b) 6 é um monômio na variável de coeficiente 6 e grau 1. c) é um monômio na variável de coeficiente 5 2 e grau 1. d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0. e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau. f) 8 não é monômio pois contraria a definição, o expoente tem que ser um número natural, e. g) 3 não é monômio pois contraria a definição, o expoente tem que ser um número natural, e. POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável. Px Os números complexos (,,,,,, ã ô de variável e. Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável. Exemplo: a) é um polinômio de 2º grau de variável e coeficiente 3. b) 12 5 é um polinômio de 1º grau de variável e coeficiente 12. c) é um polinômio de 3º grau de variável e coeficiente9. Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável: a) b) 4 1 c) 18

19 Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau. Exemplo a) b) trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação. Propriedade Distributiva:..... Exemplo: a) b) c) d) ( 3 2 1). ( Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo ( 0. ( ) : ( Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo: (Resto) a) b)

20 Produtos notáveis: 1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 2.. Demonstração:. 2.. Exemplo: ) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 2.. Demonstração:. 2.. Exemplo: ) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.. Exemplos: a) b) 4. 4 c) d)

21 Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo: a) b) 5 4 c) 7. 7 d) 1 1 Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Exemplos: a) Fatorar o polinômio Podemos escrever o polinômio desta maneira: Foi colocado em evidência : o maior divisor comum dos números... 4, 2 e as potências repetidas de menor expoente: b) Fatorar o polinômio ,... 6, 3 menor expoente: c) Fatorar o polinômio , 4, 12 menor expoente: d) Fatorar o polinômio , 20 menor expoente: 21

22 Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( 0. Exemplos de frações algébricas: ,, Adição e Subtração de frações algébricas: a).. m.m.c (2,, 3, 2 1,, 3, 3 1,, 1, 1,, 1, 1 1, 1, 1, 1 6 b) Multiplicação e Divisão de frações algébricas: a)... b) :. 2 Atenção: Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos. É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos. errado errado errado 22

23 Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo: a) b) c) d) 1 e) f) 1 Respostas: a) b) c) d) e) f) 23

24 EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 1) Resolver as expressões algébricas: a) { b) ) Resolver as operações de potências de base 10: a) b) c)..... d),.,... e) ) Resolver as equações : a) 1 b) c) d) e) f) 4 5 Respostas: 1a) 16 2a) 10 1b) 28 2b) c) d) e)10 3a) b) 3c) 2 3d) 1 2 3e) 1,4 3f) 4 24

25 FUNÇÕES: Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra. Exemplo: a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e escrevemos l. Se l varia então varia. b), ê çã. c, çã. Notação de Função: : í contra-domínio ( é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento í existe em correpondência um único elemento contra-domínio( que é a sua imagem. Definição de função: Sejam variáveis, tais que para cada valor atribuído a existe em correspondência um único valor. Dizemos que é uma função de e representamos por á á PLANO CARTESIANO: O plano cartesiano é representado pelos eixos das abscissas, ordenadas,. :1º. 2º, 3º 4º Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto 0,0, formando quatro regiões chamadas de quadrantes. ( contra-domínio) º 0, 0 º 0, 0 0 ( domínio da função ) º º 0, 0 0, 0 25

26 Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas, abscissa, ordenada 0 Exercícios: Representar no plano cartesiano os pontos abaixo:, 2, 2 1, 2 4 3, 2 3, 3 2 3, 0 1 0, 1 4, Construindo Gráficos de Funções: Seja a função com domínio nos reais 1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente, encontramos as imagens que são os valores de 2º Passo: As coordenadas, colocamos no plano cartesiano 3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados., , , , , , Exercícios: Construir os gráficos das funções: a) c) 2 1 d) 2 1 e) f) 26

27 Função Crescente: Seja a função e sejam e elementos do domínio da função com, dizemos que a função é Crescente se as imagens ) Função Decrescente: Seja a função e sejam e elementos do domínio da função com, dizemos que a função é Decrescente se as imagens ) Função Constante: Seja a função e sejam e elementos do domínio da função com, dizemos que a função é Constante se as imagens ). Exemplo: A B C A função é crescente nos intervalos: e D E F G H I J 0 A função é decrescente nos intervalos: A função é constante nos intervalos:,, Exercícios: Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente, decrescente ou constante

28 Função Linear: Coeficiente Angular da reta: É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas. Se a função é crescente o coeficiente angular é positivo, 0. Se a função é decrescente o coeficiente angular é negativo, 0. Se a função é constante o coeficiente angular 90, 90, logo não está definido. Coeficiente Linear da reta: É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto 0,. Exemplos: Sejam as funções, 2 1 Coeiciente Angular Coeficiente Linear 1 corta o eixo y no ponto 0, Coeiciente Angular Coeficiente Linear 1 corta o eixo y no ponto 0, Coeiciente Angular Coeficiente Linear 1 corta o eixo y no ponto 0, Coeiciente Angular Coeficiente Linear 1 corta o eixo y no ponto 0, Coeiciente Angular Coeficiente Linear 0 corta o eixo y no ponto 0, 0. 0 Coeiciente Angular Coeficiente Linear 0 corta o eixo y no ponto 0, Coeiciente Angular ã á 3 Coeficiente Linear 3 corta o eixo y no ponto, 3. 3 Coeiciente Angular ã á Coeficiente Linear 3 corta o eixo y no ponto,

29 Exercícios: Determine os valores do coeficiente angular e coeficiente linear das funções e, nos gráficos abaixo: a) b) ,1 0,2 0,3 0,4-5 c) d) Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide. Período ( T ) : São intervalo, ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira. A : é o pico máximo da onda. 1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante. a) b) ,1 0,2 0,3 0,4 2 0, , ,1 0,2 29

30 2) Ondas Triangulares: Utilizaremos a fórmula,,, a) b) P é, 0 é, 0 substituindo 2, 0 na fórmula substituindo 0, 0 na fórmula é, 0, é, 0 substituindo 2, 0 na fórmula substituindo 14, 0 na fórmula

31 c) é, 0 é, 0 substituindo 5, 0 na fórmula substituindo 15, 0 na fórmula ) Ondas Dentes de Serra: a) b) ,1 0,2 0,3 0, ,2 4 5 é, 0, 3, 0 substituindo na fórmula 0 3 é, 0, 0, 0 substituindo na fórmula 0 0, ,1 é, 0, 0 0,2,, 0,2, ,1 0,3 31

32 4) Ondas trapezóides Exercícios Propostos: Determine as funções para um período dos gráficos abaixo: a) b) c) d) e) f) P

33 Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função : dada por uma lei da forma: base, 0 1 Função Exponencial na base,. 1.. A ordenada do 0, é. 0 Para 1, a ordenada do 0, A é. 0 Para 1, é. 0 33

34 Equação Exponencial na base, : são equações onde a incógnita está no expoente. Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência, afim de deixar na mesma base e poder fazer as simplificações necessárias. Exemplos: a) 1 sabemos que 1, então podemos escrever encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes isolamos a incógnita encontramos valor que satisfaz a equação. b) colocamos em evidência o termo comum simplificamos as bases iguais restando os expoentes c) tomemos o inverso da potência no 2º membro da equação simplificamos as bases iguais restando os expoentes Exercícios Propostos: Resolver as equações exponenciais abaixo: a) b) 2 c) 1 d) 1 Respostas: a) 7 b) 0,25 c) 1 d) 0 34

35 Função Exponencial do tipo:, 0 Muito utilizada em circuitos elétricos. Quanto maior o mais a curva se aproxima de A A função tende a A quando tende ao infinito. A Tabela de valores de ,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09 Exemplo: Esboçar o gráfico da função 2 1 ) Solução: A = ) 1, ) 1, ) 1,9 Quanto maior o valor de x a função mais se aproxima de 2. Exercícios: Esboçar o gráfico das funções abaixo: a) 3 1 b) 2 1 c) 1 1 d)

36 Logaritmo: É a operação inversa da potência ( cálculo do expoente n ). Definição : Logaritmo de um número b real positivo, na base real positiva e diferente de 1 é o número ao qual se deve elevar a base para se obter a potência b. log 0 b., 0 1 Exemplos: log é o logaritmo de 16 na base 2 log log 1 1 é o logaritmo de 1 em qualquer base 0 1 ã logaritmo de número negativo. Logaritmo Neperiano: Chamado de logaritmo Natural é o logaritmo que usa como base o número e ( constante de Euler). log ou ln 1 ln Propriedades dos logaritmos: :. Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. : Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos. çõ! ln :.. Logaritmo da potência é o expoente da potência multiplicado pelo logaritmo da base dessa potência. : Se dois logaritmos são iguais então seus logaritmandos também são. 36

37 Função Logarítmica na base 2,718 ln 1 ln 1 = 0 e ln e = 1 e 2 ln e 2 = 2.lne = 2.1 = 2 e 3 ln e 3 = 3.lne = 3.1 = 3 e 4 lne 4 = 4.ln e= 4.1 = 4 0 P(1,0) lne. ln Conjunto dos números Naturais Equação Logarítmica na base : Temos que isolar a incógnita da equação utilizando as propriedades de logaritmo. Exemplos: a) ln 5 1 Restrição: ln ,72 5 2,28 sabemos que 1 ln simplificamos os ln isolamos a incógnita satisfaz a restrição: 2,28 5 Podemos resolver a mesma equação utilizando a definição de logaritmo: ln ,72 5 2,28 b ln 7 ln 3 ln 5 Restrição: 0 ln 7. 3 ln ,24 0,5 0,5 não convém pois, 0 37

38 c) ln 8 x1 0 x ln 8 1 ln 0 ln8 1 ln Restrição: > 0 satisfaz a restrição d) ln 2 Restrição: 0, satisfaz a restrição 0 Exercícios: 1 Resolver as equações logarítmicas abaixo: a) ln Restrição: b) 1 ln 24 Restrição: c) 1 ln 24 Restrição: 0 0 d) 1 ln 2 ln Restrição: 0 Respostas: a) 5 b) 5,2 c) 26,8. 10 e)

39 Trigonometria no Triângulo Retângulo: é todo triângulo que possui um â 90. C é o lado oposto ao ângulo reto : são os lados opostos a cada ângulo agudo: Teorema de Pitágoras: A c B Razões Trigonométricas: Seno de um ângulo agudo é o quociente, entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. b a c â Exemplo: Calcular o valor do arco no triângulo retângulo: Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. b c a â Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. 39

40 Exemplos: a) 0, , b) 0, , c) 1, , Exercícios propostos: Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: a) 0, d) 1 b) 0, e) 2, c) 1, f 1,7321 g) 0,5773 h) 1 Relações Fundamentais : 1) sen 2 α + cos 2 α = 1 2) Ângulos Notáveis: ÂNGULOS

41 Exercícios propostos: 1) Calcule o que se pede nos triângulos retângulos abaixo: ) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: a) 0, d) 1 b) 0, e) 2, c) 1, f 1,7321 g) 0,5773 h) 1 41

42 TRIGONOMETRIA Arco : de uma circunferência é qualquer segmento da circunferência limitado por dois pontos distintos B AB = arco menor e AÔB = ângulo central = O Ô A Unidades de medidas : Graus e radianos Grau ( ) 1 = da circunferência, então da circunferência circunferência Radiano 1 raio da circunferência 2 comprimento de uma circunferência 1 2 Conclusão: 360 2, logo Transformar graus para radianos e vice-versa: Regra de três simples Graus Radianos π 3 2 2π 42

43 çã : Sobre os eixos cartesianos traçamos uma circunferência de raio unitário com o centro coincidindo com a origem do sistema. Tomemos um arco ou o ângulo. Seno do arco ou do ângulo é a ordenada do ponto P, projeção do segmento OP sobre o P R -1 á: ó Arco π π 1 í A çã é Í pois é simétrica a origem do sistema ( 0, 0 )., Período ( 2 é o período de tempo quando a função se repete. Amplitude 0 : é a metade da distância entre o ponto máximo e mínimo da onda. á í 43

44 çã : cos Seja o arco AP = ângulo x,denominamos Cosseno do ângulo, a abscissa do ponto P, projeção do segmento OP sobre o eixo, eixo das abscissas. 1 P N R -1 Arco 0 π π á: ó A função é pois é simétrica ao eixo cos Função Tangente:, 0 ã A çã não está definida nos arcos 90, 270, A çã é Í: é simétrica a origem do sistema ( 0, 0 ). 44

45 Função do tipo: deslocamento do. á 0, é é á í í. á. í Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico da função Solução: çã é A á í Exemplo 2: Faça um esboço do gráfico da função Solução: çã é á í Exemplo 3: Faça um esboço do gráfico da função Solução: çã é á í

46 Exercícios: 1) Esboçar o gráfico das funções abaixo: a) 1 b) 1 c) 3 22 d) 2 32 e) 4 f) 4 2) Determine a função, para um período, de cada um dos gráficos abaixo: a) á é çã á. í Resposta: 2 b) á é çã. á í Resposta: 46

47 çã : A função á em relação a função. A função á em relação çã. Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função : Solução: A função seno está defasada em 30 em relação a função seno çã O ponto máximo : O ponto mínimo: Corta o nos pontos :, e Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função : O ponto máximo : O ponto mínimo: Corta o nos pontos :, e çã

48 Exercícios: Esboçar o gráfico das funções defasadas : a) 4 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2 48

49 Arcos Simétricos : Sentido anti- horário = sentido positivo ( ) º Quadrante 0 90 : As funções : seno, cosseno e tangente são positivas ( + ). 2º Quadrante ( ): Quanto falta para 180? , , ,732 3º Quadrante : Quanto passou de 180? , , ,577 4º Quadrante : Quanto falta para 360? , ,

50 - Sentido horário ou sentido negativo ( ). 4º Quadrante 0 90 : ,5 é çã Í, cos ,866 é çã, ,577 é çã Í, 3º Quadrante : ,866 cos , ,732 2º Quadrante : ,5 cos , ,577 1º Quadrante : ,707 cos ,

51 LIMITES DE FUNÇÕES Idéia Intuitiva de Limite: Seja a figura de forma quadrada e de área igual a 1. A soma de todas as áreas hachuradas vai se aproximar de 1, dizemos que essa 1, matematicamente nunca será igual a 1, sempre haverá uma divisão da figura Quando as divisões tendem ao infinito a área da figura tende a 1. Definição: Dizemos que o limite da função, quando tende a é o número real se e somente se, os números reais da imagem permanecem bem próximo s de para os infinitos valores de próximos de. y lim 0 lê-se: limite da função quando tende a é. Limites Laterais: Para que exista limite é necessário que exista limite pela esquerda e pela direita do ponto e que esses limites sejam iguais. Lim lim lim 51

52 Unicidade do limite: O limite quando existe é único. 4 Y Lim x lim 2 lim Exemplo1: Qual o limite da função 2 quando 0, 2. Y lim 2 lim0 2 2 lim lim 2 lim lim 2 lim lim lim 2 lim lim 2 lim Exemplo 2: Calcular o lim 1 1 lim 1 e lim 1 Solução: A condição de existência desse limite é: O radicando 1 0 1, existe a função para valores maiores ou igual 1, portanto lim 1 çã ã á,,. y lim 1 lim 1 1 lim lim 1 lim 1 1 lim x 5 2 lim 1 lim 5 1 lim Não existe limite da função 1 quando 1 Supondo que a função 1 for contínua para todo 1 então o limite vai existir para quaisquer valores do domínio. Por exemplo: 2,

53 Símbolos e em limites lê se mais infinito, representa um valor muito alto. Não é número. lê se menos infinito, representa um valor muito pequeno. Exemplos 1: Seja, função exponencial decrescente y a) lim lim lim lim b) lim lim lim c) lim lim lim 1 1 Exemplos 2: Seja lim, 0, O gráfico da função é uma hipérbole. lim lim 0 lim lim lim lim - 53

54 LIMITES FUNDAMENTAIS: 1) lim 1 2) lim 1 2,72 Exemplos : Calcular os limites a) lim 4 lim lim 4. lim b) lim 1 2,72 c) lim 1 lim 1 7,4 Exercícios: a) lim 3 4 Calcular o limite das funções abaixo, caso exista: b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim 4 g) lim Respostas: a) 7 b) 0 c) 1 d) 1 e) 0 f) 3 g) h) 54

55 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DERIVADA DE UMA FUNÇÃO : A função primitiva passa por um processo de derivação, derivando uma nova função chamada de função derivada. Seja a função contínua ( existe o limite da função no ponto e este limite é finito) dois pontos de seu domínio. Acréscimo da variável independente é a diferença entre o valor com o acréscimo e o primeiro valor. Ex: 4 9 então 5 é o acréscimo. Acréscimo da variável dependente é a diferença entre o valor que a função toma em e o valor da função em.. RAZÃO INCREMENTAL acréscimo da variável independente. é a razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao )... 0 Quando tende a zero ( 0 ) a razão vai chegar no limite, e esse limite é a função derivada em. lim lim çã Definição : A derivada de uma função é o limite da razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao acréscimo da variável independente, quando esta última tende a zero. Representamos esta nova função pelos Símbolos da função derivada: Lê-se : çã = 55

56 PROCESSO DE DERIVAÇÃO ou Regra Geral de Derivação : Regra dos 4 Passos. Seja função e x um ponto fixo, pré-estabelecido 1º Passo: Damos um x à variável independente, implicando acréscimo y na função (x coloca-se ) 2º Passo Fazemos a subtração da função,sabemos que y =f(x) Dividimos em ambos os membros da equação 3º Passo Fazendo x 0 a razão chega ao limite 4º Passo = = Esse limite é a derivada da função inicial Exemplos : Utilizando o processo definição de derivada calcule a derivada das funções abaixo: a) = 1º Passo: 5 3 = 5 3 2º Passo = = 5 3º Passo = 4º Passo lim = lim 5 = 5 : = 56

57 b) 1º Passo 2º Passo.. 3º Passo.. 4º Passo lim lim.. lim. lim. lim.. lim cos lim. lim lim.. lim cos 0 1. lim lim. 0 lim lim 0 0 lim Resposta: 57

58 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Determinar das funções abaixo, utilizando a definição de derivada. a) b) 10 4 c) 3 Respostas: a) 1 b) 10 c) 2 3 Para encontrar a derivada de uma função usando a Regra geral de derivação é um trabalho exaustivo e demorado. Assim faremos o uso de um formulário de derivadas. 58

59 FÓRMULA DE DERIVAÇÃO: Sejam, çõ á. FUNÇÃO DERIVADA 1 cte REGRA DA CADEIA : ( derivada da função composta : Sejam as funções ã çã :. DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR : são derivadas sucessivas da função é 1ª é 2ª Exemplo : Calcular a 3ª derivada da função

60 Exemplos de cálculo de derivadas usando a tabela: 1) a) 8 0 b) 1 0 c) 3 0 d) 0 e) 0 2). : número ou letra a) b) 1 c) 2 2 d) 3 3 e) 3).. a) b) c) d) e)

61 4) a) b) c) ).. u. v a).. u. v b) ).. a) b).. 2..cosx 2 61

62 7) a) b) c) 3x 2 3x x 8). a) b).. c)

63 Interpretação Geométrica da Derivada: Consideramos a curva de função contínua ). Tomemos dois pontos de seu domínio: com suas respectivas imagens.,, Pontos da secante a curva a qual determina uma inclinação com o eixo das abscissas de â. A â determina o. à curva determina uma inclinação de â com o,. ) curva = coeficiente angular da reta s Se 0,,assim,, chega ao limite. Esse limite é a derivada da função. Esta derivada é coeficiente angular da reta tangente à curva de equação no ponto P. lim Conclusão: O valor da derivada na abscissa de um ponto de uma curva é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto. Exemplo: Achar o coeficiente angular da reta tangente à curva de equação no seu ponto 2. Solução: O coeficiente angular é 2, que é a derivada da função dada. 2 =lim 2 lim lim = lim = lim

64 Exercícios de derivadas: 1) Dadas as funções encontre sua derivada: respostas a) b) c) d e) ln f) g) h) 5 25 i) 1 2 j) 2 64

65 k) l) m) n). o). p) 1 1 q) r) 3 s) 65

66 Exercícios de derivada ( 2ª lista ): 1) Calcule as derivadas das funções abaixo: Respostas a) b) 6 66 c) d). e) ln f) 2 g) 2 h) y 66

67 i) y j) l) 5 m). n) o) ln. p) 67

68 2) Calcule a 2ª derivada das funções abaixo : respostas a) b) 81 c) 0 d)

69 DIFERENCIAL: Seja a função A diferencial de uma função é igual a sua derivada multiplicada pela diferencial da variável independente; indica-se por e lê se: diferencial da função ou diferencial de y, sua equação é dada por :. ou:. Para achar a diferencial de uma função basta achar a derivada da função e multiplicá-la por. Exemplo: Ache a diferencial das funções abaixo: a) b) cos Exercícios: Calcular as diferenciais das funções abaixo: a) 3 7 b) c) 3 69

70 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Interpretação Geométrica da Diferencial:. Q q tg α 0 m é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto de abscissa. Assim temos; se diferencia de. razão entre as diferenciais. por quantidade muito pequena que denominamos de q. multiplicando por, ambos os membros da igualdade temos,.. quando mas, e.. temos então;.,.. 70

71 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 1) Cálculo Aproximado por diferenciais: Quando for muito pequeno ( 0 temos, o acréscimo da função se aproxima da diferencial da função;. temos que. Exemplo: Calcular por diferenciais o valor aproximada de,, dado 7,29. Fazendo,, 1 0, 05 Substituindo na equação.,. 0,1 1 0,05, 2,858 2) Erros Pequenos: Quando se quer computar pequenos erros nos cálculos usamos a fórmula da diferencial Exemplo: Quais os erros aproximados no volume e na área de um cubo de aresta igual a 6 polegadas se um erro de 0,02 polegadas foi feito ao medir a aresta? Solução: Da fórmula da diferencial temos, , , ,02 2,16. 1,44. 71

72 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: Seja a função Derivadas: Símbolos de derivação Diferencial: Símbolos de diferenciação. Integral: Símbolo de integração.. INTEGRAÇÃO: É o processo de achar a Função Primitiva = Integral, a operação inversa da função diferencial. A operação de integração é indicada pelo sinal de integração posto antes da diferencial ;. çã Lê-se:. é. é á çã. A derivação e a integração são operações inversas d.. ó çã,. EXEMPLO: Calcular a integral das funções abaixo: a). çã. çã?. b) a função que originou a derivada 1 tem como função primitiva c).. função primitiva é

73 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia INTEGRAL INDEFINIDA :. çã Integral indefinida porque não podemos definir com exatidão a função primitiva que foi diferenciada. A constante integração poderá assumir infinitos valores. Exemplos: a) 2 quando derivamos a função primitiva, a constante se anula o valor da constante é arbitrário, podendo ser qualquer valor. b) 7. 7 c) d) INTEGRAIS IMEDIATAS: No cálculo diferencial tem-se uma Regra Geral de Derivação, mas no cálculo integral não existe tal regra ( existe a integral mas muitas vezes não se consegue achar a função primitiva). Utilizaremos a TABELA DE INTEGRAÇÃO. Caso não tenha na tabela a expressão diferencial, teremos que usar artifícios para chegarmos a um resultado. Exemplo: 2x 4 dx = 4 ç é ç. 73

74 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS: Sejam,, çõ á. 1) 2) )... 4).. 5) ) 7) 8). 2,718 constante de Euler 9)... 10). 11).. cos. 12). 13).. sen. 14). 2 15) ).. 17) ln... ln. 74

75 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Exemplos: Calcularemos integrais com expressões diferenciais iguais a da tabela de integração: 1) 2) 1. 3) ) 5). 6) ),. 8). 9)... 10).. 11) ).. 13) 4.. se4 4 = 15). 16).. 2 c 17) ln7... ln 7. 75

76 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Exercícios Resolvido: Calcular as integrais abaixo: a) b) c) d).... é a função diferencial que será integrada.. + c e) dx dx dx C 76

77 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia f) dx dx dx c g) x --2 dx h).. i ) 2 2 Sabemos que

78 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia INTEGRAÇÃO POR PARTES: Sejam u e v funções de uma única variável. A diferencial do produto dessas funções é: isolando. na equação..... aplicando a em ambos os membros da igualdade FÓRMULA DE INTEGRAÇÃO POR PARTES.. OBSERVAÇÃO: Para aplicar a fórmula, a expressão sob o sinal de integração deve ser separada em dois fatores : (. ã á, é çã í ã é çõ, é. Exemplos: a) c..... ) b) )

79 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Exercícios: Calcular as integrais por partes: a).. ) ln ) 1) c). 1) ) 4. 21) e) 1) ) ln 4 ) 41) 79

80 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia INTEGRAL DEFINIDA: É a integral definida por um intervalo [a,b] onde a e b são valores definidos e finitos a é o limite inferior e b é o limite superior. A representação da integral definida é ). Lê-se: integral de a de ). A operação é chamada de integração entre o limite superior b e o limite inferior a. A integral definida ). y 0 a c b S ) ). será S é a área sob a curva de função ) á. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA: P 1 ). ).. ). é P 2 ) ) + ). ). + ). P 3 ) ). ). P 4 ) ). ). + ). os limites inferior e superior foram trocados, a integral troca de sinal., TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: b a Se ) é çã çã )é á ó. ). ) ) ) Se a integração for por partes: Exemplos: 1). = b a á. ) S

81 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 2) ) á. S 0 3) [ 3 1, Exercícios resolvido: Dado o gráfico, determine a área da função para um período, utilizando integral definida. a) Solução : ). + ) A área do retângulo.. 81

82 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia b) 10 S Solução : ) A área de um triângulo c) y Solução 1: ) x = Solução 2 : A área do trapézio S = ). ). d) y Solução: S á çõ é é,

83 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA: Utilizada em circuitos elétricos, para o cálculos de Valor Médio e Valor Eficaz de funções periódicas. 1) VALOR MÉDIO: É a média aritmética de todos os valores instantâneos num período. como são infinitos valores, a soma de infinitos valores é a integral, logo 1. ). 1) Para funções formadas por Retas, pode-se calcular o Valor Médio como área da figura geométrica. á í çã S á â í... As çõ ( ) possuem valor médio 2) Se é çã Í é é 0 A soma das áreas será nula, já que as áreas são iguais ( e a função é simétrica ao eixo x. Para calcular o valor médio usaremos somente a metade do período, ou seja, o valor médio de. Exemplo: Calcular o valor médio da função. ciclo ou seja As funções seno e cosseno: de período 2, o valor médio para ciclo 83

84 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 2) VALOR EFICAZ: É a média quadrática de todos os valores instantâneos da função num período. Como são infinitos valores a soma de infinitos valores é a integral, logo. ). tirando o radical facilitará os cálculos, teremos 1 ). Exemplo: Determine o valor eficaz da função. para um período 2. ) sen2(2) 20 ) Funções seno, cosseno e funções constantes no período. Funções triangulares e dente de serra para um período. 84

85 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia EXERCÍCIOS: Calcular o valor médio e o valor eficaz das funções nos gráficos abaixo: a) b) c) Y y y d) e) f) g) Respostas: a) b) c) d) e) f) g) 2 4,5 4 0,64 4,5 0,64 2 2,84 5,2 4,6 0,71 4,96 0,71 2,84 85

86 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia VETORES: O conceito de vetor surgiu na Mecânica onde envolviam problemas com soma de forças atuando no mesmo ponto ( regra do paralelogramo). GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS VETORIAIS: GRANDEZAS ESCALARES: São grandezas que ficam determinadas por um número real acompanhado pela unidade correspondente. Ex: 5 kg de massa, 2 m 2 de área, 15 cm de comprimento etc. GRANDEZAS VETORIAIS: São grandezas que necessitam além de um número real,também de uma direção e de um sentido. Ex: Velocidade, aceleração, peso, campo magnético, força e outras. DEFINIÇÃO DE VETOR: É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido,e de mesmo comprimento. IMAGEM GEOMÉTRICA DE UM VETOR: Na figura abaixo, tem-se um conjunto de segmentos orientados de um único vetor, esses 4 segmentos orientados ou 4 imagens geométricas de um mesmo vetor. Um vetor possui infinitos segmentos orientados. Representa um único vetor NOTAÇÃO DE UM VETOR: Letra minúscula encimada por uma seta. Exemplo:,,,,,, VETOR significa levado, transportado. O ponto A é levado até o ponto B. B (extremidade do vetor) A (origem do vetor) MÓDULO: COMPRIMENTO é o número não negativo que indica o do vetor. I I I I I 4 86

87 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia VETOR NULO: 0, sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas. VETOR UNITÁRIO: 1 é ó 1. : ) possui o sentido contrário do vetor. ADIÇÃO DE VETORES: Sejam vetores a Soma será o vetor Resultante. A soma de n vetores é feita de modo que a extremidade de cada vetor coincide com a origem do vetor seguinte, o vetor resultante é o vetor que fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do 1º vetor e por extremidade, a extremidade do último vetor. Exemplo: propriedade comutativa. 0 oposto. 87

88 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia SUBTRAÇÃO DE VETORES: Sejam vetores, a subtração será o vetor Resultante. A subtração ou diferença de dois vetores é obtida fazendo com que os vetores tenham a mesma origem. O vetor diferença é o vetor que fecha a poligonal, tendo por origem, a extremidade do 2º vetor e por extremidade a extremidade do 1º vetor Exemplo: não comutativa REGRA DO PARALELOGRAMO: Exercícios: Dados os vetores obter graficamente: a) b) c) d) 88

89 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia ÂNGULO DE DOIS VETORES: O ângulo,, dois vetores é o ângulo formado entre sua direções, levando em conta os sentidos dos vetores ) 0 ) Multiplicação Interna ou Escalar: O produto interno ou escalar de dois vetores é o número ( escalar ) tal que cos 0 1º 4º, é. se. 0 cos 0 2º 3º, é Módulo de um Vetor: extraindo a raiz quadrada,. Lei dos Cossenos: b multiplicando por cos... 89

90 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Co-Senos Diretores: Sejam os vetores b ortogonais, 90, respectivamente paralelos aos eixos no plano cartesiano. é a medida algébrica da projeção do vetor sobre a direção do vetor é a medida algébrica da projeção do vetor sobre a direção do vetor b. = argumento 0y. 0. proj //b 0 //.... θ arc tg Exemplos: Calcule o módulo e o argumento do vetor resultante abaixo: a) 5 R 0 5 b) R... 90

91 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia NÚMEROS COMPLEXOS Introdução: Por volta de 1500 dc, a impressão é que, com a criação dos números Reais não seria mais necessária a ampliação de nenhum campo numérico. O conjunto dos Nº s Reais é formado pela união dos conjuntos Racionais e Irracionais, os quais fazem parte da reta real. Já os radicais de números negativos não pertencem ao conjunto do nº s Reais, pois não existe raiz quadrada de um número negativo, ou, não existe um número que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Porém quando o matemático Cardano descobriu a fórmula para a equação de 3º grau, que fornecia raízes reais mediante expressões onde apareciam raízes quadradas de números negativos, fez se a necessidade de criar um novo número, que denominaram de Unidade Imaginária devido a desconfiança deste novo número. Obs.:Para os estudos de circuitos utilizaremos o símbolo j como unidade imaginária para não confundir com o símbolo i de corrente elétrica. UNIDADE IMAGINÁRIA ( ): á, O expoente é um número múltiplo de Exemplos: )? Dividimos o resto da divisão, no caso 3, será o novo expoente 3 53 b)? 46 4 então Exercícios: a) b) c) d) 91

92 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ( ) Podem ser representados em um eixo imaginário... - j3 - j2 - j1 0 j1 j2 j3... j (eixo imaginário) Pode ser escrito de várias formas : Retangular, polar, trigonométrica e exponencial. A forma Polar e a Retangular são as mais utilizadas em circuitos elétricos. ã ú FORMA RETANGULAR: ( ou algébrica ) + á ) Parte Real de Z ) Parte imaginária de Z Se 0 ) º á, ) Se 0 ImZ 0. 0 º Exercícios: Identifique a parte real e a imaginária dos nº s complexos: a) 2 3 b) d) 1 e) 6 2,7 2 2 g) 15 h) 6,2 i) 10 92

93 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia REPRESENTAÇÃO CARTESIANA ( PLANO ARGAND GAUSS): Utilizaram o plano cartesiano para representar o número complexo. Se cada ponto de uma reta corresponde a um número real, assim cada ponto do plano podia ser associado a um número complexo. Convencionou-se associar o nº complexo + ao ponto, ),., ) + á 3-1, Quadrantes: Posições do ponto P, ). Seja o número complexo + associado ao ponto P, ). 0 P, 1º. 0 0 P, 4º. 0 P,. 0 P, 2º. 0 0 P, 3º. 0 P,. 0 P,. 0 0 P,. 0 P,. Exemplos: a) P 2, 3 4º. 0 93

94 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Exercícios: Representar os números complexos no plano cartesiano e identificar o quadrante ao qual pertence: a) b) c) 3 d) 4 e) 1 f) 22 g) 4 h) 2 94