COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE

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1 Capítulo 1 COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE 1.1 Introdução O MAPLE é um tipo de software, pertecente a uma classe chamada de computação simbólica ou algébrica, dirigido para a resolução de diversos problemas em Matemática e outras Ciências afins. Uma das principais características do MAPLE é permitir manipulações numéricas e simbólicas, além de gerar gráficos em dimensão e 3. As manipulações simbólicas são operações do tipo - expressar uma variável em função de outra, substituição, simplificação, fatoração, reagrupamentos dos termos de uma expressão, etc. A capacidade simbólica do software, permite obter soluções exatas em diversos tipos de problemas. OMAPLEconsistedetrêspartesprincipais, asaber: onúcleo(kernel),queéapartecentraldo software, escrita em linguagem C, onde são realizadas as operações; as livrarias(packages), que são um conjunto de funções pré-definidas e que são acionadas por uma sintaxe própria, quando necessário; e finalmente, a interface do usuário, chamada folha de trabalho (worksheet), onde se realizam as operações de entrada e saída. O MAPLE tem, essencialmente, dois tipos de comandos: osqueutilizam o núcleoeoscomando dainterfacedousuário. O MAPLE é uma ferramenta poderosa que serve não somente para testar os conhecimentos de Cálculo I, como também abrange muitas áreas da Matemática. Nestas notas nos concentraremos, essencialmente, na parte básica do software, direcionado exclusivamente ao Cálculo de funções de uma variável real. As sintaxes apresentadas nestas notas correspondem às versões domaple5emdiante. Recomendamos que, ao ler os capítulos, já esteja instalado o MAPLE para reproduzir os exemplos e os exercícios. Finalmente, observamos que é recomendável a utilização de recursos computacionais, no apoio ao ensino do Cálculo, é recomendável, mas isso não exclui, de forma alguma, a abordagem do aprendizado teórico em sala de aula, o qual sempre se mostrou indispensável. A utilização do MAPLE no Cálculo é um ótimo laboratório para testar e esclarecer muitos conceitos estudados em sala de aula. Veja o último parágrafo deste capítulo. 11

2 1 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE 1. Início Apósoinício dosoftware, adigitação das expressõesserãofeitaao lado doprompt: > Isto é, quando aparecer o prompt, implica em que o MAPLE está pronto para receber os comandos. Asintaxe detodocomandodomapledeveterminar empontoevírgula: Ou dois pontos: >expressão; >expressão: Utilizamos "; (ponto e vírgula) quando desejamos que o resultado seja mostrado imediatamente na tela. Utilizamos ": (dois pontos) quando desejamos que o MAPLE execute o comando e o resultado seja guardado na memória, semmostrá-lo na tela. A execução da sintaxe docomandoapós"; ou": éfinalizada pressionandoateclaenter. Em geral, é conveniente, ao início de cada exercício, utilizar o comando: >restart; Este comando apaga da memória os comandos utilizados anteriormente, porém, não apaga o que já foi digitado no worksheet. É possível guardar os dados digitados, enviando-os para um arquivo de extensão *.mws, o qual poderá ser lido pelo MAPLE em outra ocasião. 1.3 Operações e Números Pré-Definidos Alguns dos comandos básicos para diversas operações pré-definidas do MAPLE são: Adição: + Subtração: - Multiplicação: * Divisão: / Potenciação: ˆ Fatorial de um número natural:! Maior emenorque: >e< Maior ouigual emenorouigual que: >= e<= Diferente de: <>

3 1.3. OPERAÇÕES E NÚMEROS PRÉ-DEFINIDOS 13 Máximo divisor comum: igcd(a,b,c,...) Mínimo múltiplo comum: ilcm(a,b,c,...) Menorinteiro maior ouigual a x: ceil(x) Parte inteira de x: trunc(x) Parte fracionária de x: frac(x) O MAPLE tem os seguintes números pré-definidos: O número π édefinidopor: Pi O número eédefinidopor: exp(1) A unidade imaginária é definida por: I NotamosqueoMaple utiliza paraosdecimais ". ponto. Porexemplo: 3 7 édenotadonaforma decimal Exemplo Paracalcular 3 7 1/ Devemosdigitar: > 3*7 ˆ(1/9) +11 ˆ 3-1;. Paracalcular 5π 1. Devemos digitar: 3 > (5*Pi-1)/3; π 1 3 Devemos ter cuidado nos parênteses utilizados na construção de uma expressão. No exemplo anterior, o resultado será diferente se digitarmos: > 5*Pi-1/3; 5π 1 3 Logo, o resultado será diferente. 3. Determineomáximo divisorcomum de6e6emínimo múltiplo comum de5e4. Escrevemos:

4 14 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE > igcd(6,6); Analogamente, escrevemos: > ilcm(5,4); Determineomenorinteiromaior ouiguala5.3eaparteinteirade3.34. Escrevemos: > ceil(5.3); 6 Analogamente, escrevemos: > trunc(3.34); Funções Pré-Definidas O MAPLE tem algumas funções elementares e transcendentes pré-definidas, por exemplo: Valorabsoluto de x, ( x ): abs(x) Sinal de x,(sgn(x)): csgn(x) Omaior inteiroqueémenorouigualax, ([[x]]): floor(x) Raiz quadradade x, ( x): sqrt(x) Raiz n-ésimade x,( n x): root(x,n ) Exponencialde x, (e x ): exp(x) Logaritmo natural de x,(ln(x)): ln(x) Logaritmo na base 10 de x,(log(x)): log(x) Logaritmonabase b de x,(log b (x)): log[b](x) Funções Trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)

5 1.4. FUNÇÕES PRÉ-DEFINIDAS 15. Onde x,éemradianos. Funções Trigonométricas Inversas: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), arcsec(x), arcsc(x) Funções Trigonométricas Hiperbólicas: sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), sech(x), csch(x) Funções Trigonométricas Hiperbólicas Inversas: arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x), arccoth(x), arcsech(x), arcsch(x) Exemplo Determineovalor de tg( 4π ). Devemosdigitar: 3 > tan(4*pi/3); 3. Determineovalor de 4sen( π 3 ) sec ( π ). Devemosdigitar: 4 > 4*sin(Pi/3)-sec(Pi/4) ˆ ; 3 3. Determine o valor de arcsen(1) arctan(1) + sech(4). Devemos digitar: > arcsin(1)-arctan(1)+sech(4); π + sech() 4. Determineovalor de log 5 (3) + ln(5) + log( 1 ). Devemosdigitar: > log[5](3)+ln(5)+log(1/); ln(3) + ln(5) ln() ln(5) Pode explicar este resultado? 5. Determineovalor de [[π e 5 ]]. Devemosdigitar: > floor(pi+root(199, 70)+exp(5)); 15

6 16 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE 1.5 Cálculos Aproximados Para efetuar cálculos aproximados no MAPLE, utilizaremos o comando: Ou, alternativamente: > evalf(expressão, digitos); > evalf[digitos ] (expressão); O comando evalf expressao valor aproximado na forma de número decimal com um total de 10 digítos, se não é indicado o números de digitos. Podemos alterar o número de digítos da resposta, como mostram os exemplos a seguir: Exemplo Determine o valor aproximado de π. Devemos digitar: > evalf(pi); Se desejamos mais digítos na aproximação, por exemplo 100, escrevemos: > evalf[100](pi); Determineovalor aproximado de e [[ln(453)]]. Devemosdigitar: > evalf(4 ˆ 3*sqrt(5)+17/3 +exp(1)*root(456, 5)-floor(ln(453))); Para obter o resultado com 30 digítos: >evalf(4ˆ3*sqrt(5)+17/3 +exp(1)*root(456, 5)-floor(ln(453)),30); Determineovalor aproximado de 4sen( π 3 ) sec ( π ). Devemosdigitar: 4 > evalf(4*sin(pi/3)-sec(pi/4) ˆ ) ;

7 1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS Determineovalor aproximado de log 5 (3) + ln(5) + log( 1 ). Devemosdigitar: > evalf(log[5](3)+ln(5)+log(1/)); Manipulações Algébricas Como foi comentado no início do capítulo, o MAPLE aceita também expressões algébricas. Os seguintes comandos são utilizados para manipulações de expressões numéricas e/ou algébricas: Desenvolver uma expressão: expand() Fatore uma expressão: factor( ) Simplifique uma expressão: simplify() Decompor um número em fatores primos: ifactor( ) Estes comandos possuem algumas opções adicionais. Por exemplo: > expand(expressão, opção); Os argumentos desta sintaxe são: trig, exp, ln, power ou radical. Outras opções podem ser consultadas, utilizando >?sintaxe. Exemplo Desenvolver (x + 4) 4. Devemosescrever: > expand((xˆ+4)ˆ4);. Desenvolver sen( x). Devemos escrever: > expand(sin(*x)); x x x x + 56 Agora, se digitamos: sen( x) > expand(sin(*x),trig); sin(x) cos(x) 3. Desenvolver cosh(x + y). Devemos escrever: > expand(cosh(x+y),exp);

8 18 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE cosh(x) cosh (y) + sinh(x) sinh(y) Procure outras formas de utilizar este comando, digitando >?sintaxe. 4. Desenvolver sen(ω (x x 0 ) + α). Seescrevemos: >expand(sin(omega*(x-x0)+alpha)); sin(ω x)cos(ω x 0 )cos(α) + sin(ω x)sin(ω x 0 )sin(α) cos(ω x)sin(ω x 0 )cos(α)+ cos(ω x)cos(ω x 0 )sin(α) Agora, se escrevemos: >expand(sin(omega*(x-x0)+alpha),x-x0 ); 5. Fatore x Devemosescrever: > factor(x ˆ ); 6. Simplifique x x Devemosescrever: > simplify((x ˆ ))/(xˆ4-16); sin(ω (x x 0 ))cos(α) + cos(ω (x x 0 ))sin(α) (x 4)(x + 4)(x + 4x + 16)(x 4x + 16) x x Simplifique cosh (x) senh(x). Devemosescrever: > simplify(cosh(x) ˆ -sinh(x) ˆ ); Explique este resultado. 8. Desenvolver sen(x + y). Devemos escrever: > expand(sin(x+y)); 1 sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) 9. Decompor em fatores primos Devemos escrever: > ifactor(368800);

9 1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS 19 (()) 8 ((3)) 4 ((5)) (7) Em geral, o MAPLE não assume, a priori, o domínio das variáveis, numa expressão. Vejamos o exemplo a seguir. Exemplo Digite a seguinte expressão: > sin(4*pi*n); sin(4π n) O MAPLEnão lançouoresultado igual azero. Isto édevidoao fato dequeomaplesupõe que n é uma variável independente e não necessariamente um número inteiro. Utilizamos a seguinte sintaxe, para definir o domínio de uma variável: > assume(variável, opção); O tipo pode ser inteiro (integer), real(real) ou por exemplo: No exemplo anterior: > assume(variável>0); > assume(n,integer); > sin(4*pi*n); > cos(pi*n); 0 ( 1) n. Simplifique x y, se xeysão númerospositivos. > simplify(sqrt(x ˆ yˆ), assume=nonneg); Também podemos utilizar: xy > assume(variável1 >0, variável >0,...): Quando se tratar de funções que envolvem logarítmos. Por exemplo: 3. Desenvolver ln ( y ). Devemosdigitar: x

10 0 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE >assume(x>0,y>0): > expand(ln(x/y); 4. Simplifique ln(e x ). Digitamos: >assume(x, real): > simplify(ln(exp(x))); ln(x) ln(y) x Outro comando de manipulação algébrica é o combine que produz o efeito inverso do comando expand, o qual combina diversas expressões para conseguir uma mais reduzida. Ao utilizar este comando, é nescesário indicar, como argumento, que tipo de elementos se deseja combinar. A sintaxe é: Ou, equivalentemente: > combine(expressão, opção); > combine[opção](expressão); Asopçõesdestasintaxesão: trig, exp, ln,powerou radical. Exemplo Digite: > combine(*sin(x)*cos(x),trig);. Digite: > combine(exp(x)*exp(y),exp); 3. Digite: > combine(x ˆ y/x ˆ,power); 4. Digite: sin( x) e xy x y >combine[radical](sqrt(7)*sqrt(10)*sqrt(31)+sqrt(10)*sqrt(x ˆ +1); x + 10

11 1.7. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES Equações, Inequações e Sistemas de Equações Para resolver equações, inequações, sistemas lineares, utilizamos o comando solve. Para equações em uma variável: > solve(equação, variável); Para equações ou sistemas de equações de mais de uma variável, a sintaxe do comando deve incluir as variáveis que desejamos determinar. Quando desejamos resolver um sistema a sintaxe é: > solve({equação1,equação,...}, {variável1,variável,...}); Este comando também é utilizado quando, numa equação com mais de uma variável, desejamos expressar uma delas em função das outras. Para determinar as soluções inteiras de uma equação, utilizamos a seguinte sintaxe: >isolve(equação); Quando se deseja obter o resultado aproximado de uma equação ou sistema utilizamos a sintaxe: ou > fsolve(equação,variável, opções); > fsolve({equação1,equação,...},{variável1, variável,...},opções); A opção mais utilizada, nesta sintaxe, é o intervalo onde se deseja achar a soluação aproximada. Exemplo Determineasoluçãode x 3 7x + 4x + 1 = 0. Devemosescrever: >solve((x ˆ 3-7*x ˆ +4*x +1,{x}); {x = 1}, {x = }, {x = 6}. Determineasoluçãode x 3xy + y = 0 emfunção de y. Devemosescrever: >solve((x ˆ -3*x*y+*y ˆ =0,{y}); {y = x}, {y = x } 3. Determine a solução do sistema:

12 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE Digite: >solve(({5*x-3*y=1,-*x+8*y=9},{x,y}); Podemos aproximar as soluções: >solve(({5*x-3*y=1,-*x+8*y=9},{x,y}): >evalf(%) { 5x 3y = 1 x + 8y = 9. {x = }, {y = } {x = }, {y = } Utilizamos o comando % para chamar a expressão imediatamente anterior sem repetir a digitação. Este comando é muito útil quando se manipula expressões muito complicadas e/ou extensas. Analogamente, o comando%% representa o penúltimo resultado. 4. Determineasolução de x + x + 1 > 9. Devemosdigitar: >solve(abs(x+abs(x+)ˆ -1)>9,x); Istoé, (, 6) (1,+ ). RealRange (Open (1), ), RealRange (, Open ( 6)) 5. Determineasolução de x x 3 3x 9x + 7 < 0. Devemosdigitar: >solve(x*abs(xˆ3-3*x ˆ+9*x+7) <0,x); RealRange(Open(0), Open(3)), RealRange(Open(3), infinity), RealRange(Open(-3), Open(0)), RealRange(-infinity, Open(-3)) Istoé, (, 3) ( 3,0) (0,3) (3,+ ). 6. Determineasolução de x 36x = 0, nointervalo [ 0,0]. Devemosdigitar: >fsolve(x ˆ -36*x+100=0,{x},x=-0..0); { } 7. Determineas soluçõesinteiras de: x 4 + 5x3 6 7x 3 + x = 0. Devemosdigitar: 3 >isolve(xˆ 4+(5/6)*xˆ3-(7/3)*xˆ+(1/6)*x+1/3);

13 1.7. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 3 Note que: {x = }, {x = 1} >solve(xˆ 4+(5/6)*x ˆ 3-(7/3)*xˆ+(1/6)*x+1/3,{x}); {x = }, {x = 1}, {x = 1 }, {x = 1 3 } 8. Determine a solução do sistema: { sen(x + y) e x y = 0 x y = 1; se (x, y) [,] [,]. Digitemos: >fsolve({sin(x+y)-exp(x)*y=0,x-y=1},{x,y},{x=-..,y=-..}); {x = , y = } O Maple ocasionalmente, lança soluções em função da expressão RootOf. Vejamos o seguinte exemplo: Exemplo 1.8. Digitemos: > solve(x ˆ 5-*x + 3=0,x); {x = RootOf(_Z 5 _Z + 3;index = 1)}, {x = RootOf(_Z 5 _Z + 3;index = )}, {x = RootOf(_Z 5 _Z + 3;index = 3)}, {x = RootOf(_Z 5 _Z + 3;index = 4)}, {x = RootOf(_Z 5 _Z + 3;index = 5)} RootOf(expressão) é a forma genérica das raízes do polinômio. Isto indica que x é uma raiz do polinômio z 5 z + 3, onde index é o número e a ordem da solução Para obter soluções explícitas, complexas, utilizamos a sintaxe: > evalf(%); {x = *I}, {x = *I}, {x = }, {x = *I}, {x = *I} Estas são as 5 raizes da equação. As soluções da equação, onde aparece o símbolo I, são as soluções que não são reais.

14 4 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE Para obter todas as soluções de uma equação equação, especialmente, as trigonometricas, utilizamos a seguinte sintaxe: >solve(equação,variável,allsolutions); Exemplo Determineasolução de sen(x) = 0. >solve(sin(x)=0,x); Digitamos: 0 >solve(sin(x)=0,{x},allsolutions); {x = π_z5 } Isto equivale a: x = k π, k Z. Determineasolução de cos(x) + >solve(cos(x)+sqrt(3)/=0,x); 3 = 0. Digitamos: 5 6 π >solve(cos(x)+sqrt(3)/=0,{x},allsolutions); {x = 5 6 π 5 π B + π_z } 3 Isto equivale a: x = 5π 6 + k π, x = 5π 3 + k π, m, k Z 3. Determineasolução de cos(4x) + sen(x) = 0. >solve(cos(4*x)+sin(*x)=0,x,allsolutions); Interprete o resultado. 1 4 π + π_z1, 1 1 π + π_z, 5 1 π + π_z3

15 1.8. NOMEAÇÃO DE OBJETOS E SUBSTITUIÇÕES Nomeação de Objetos e Substituições Quando necessitamos utilizar seguidamente uma expressão e/ou valor numérico, podemos nomeá-los, evitando assim digitá-los repetidamente. A sintaxeparaistoé: := (doispontoseigual) Para substituir os valores numa expressão já definida, utilizamos a seguinte sintaxe: > subs(objeto a substituir, expressão); Exemplo Se digitamos: > eq1:=x+y-3=0; eq1 := x + y 3 = 0 Podemos chamar a expressão anterior, fazendo: > eq1; x + y 3 = 0 Ou, resolvê-la: > solve(eq1,{x}); {x = y + 3}. Num sistema de equações, podemos nomeá-las como: > eq1:=3*x-5*y+z=1 : > eq:=x+3*y-z=5: > eq3:=-x-y+z=1: Escrevemos: > solve({eq1,eq,eq3},{x,y,z});} {x = 3, y = 3, z = 7} 3. Escreva a seguinte sequência de comandos:

16 6 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE > eq1:=a*x ˆ +b *x+c; > sol:=solve(eq1=0,x); ax + bx + c > sol[1]; {x = 1 b + b 4ac } {x = 1 a b b 4ac } a {x = 1 b + b 4ac } a Interprete a sequência de comando e faça > sol[];. 4. Substituano exemploanterior osvalores a = 1, b = 5ec = 3. Devemosdigitar: > subs(a=1,b=5,c=3,eq1); 5. Determine a solução de: x + 5x + 3 x 5 x 4 e 3x ex x ex x 4 85ex 4 + 3x 3e = 0; Devemos digitar: >eq:=xˆ5-x ˆ 4*exp(1)-(3/8)*x ˆ 4+(3/8)*x ˆ 3*exp(1)-(179/8)*x ˆ 3+ +(179/8)*x ˆ *exp(1)+(85/4)*x ˆ -(85/4)*x*exp(1)+3*x-3*exp(1) = 0): >sol:=solve(eq,{x}); >sol[1],sol[4] {x = 1}, {x = 1 }, {x = 6}, {x = 4}, {x = e} 8 {x = 1}, {x = 4} 6. Determine a solução do sistema: x + y + z = 1 x y + z = 1. xy + y z + xz = 0 Devemos digitar: >eq1:=xˆ+yˆ+zˆ=1: >eq:=x-y+*z=-1:

17 1.8. NOMEAÇÃO DE OBJETOS E SUBSTITUIÇÕES 7 >eq3:=x*y+y*z+z*x=-1: >solve({eq1,eq,eq3},{x,y,z}); {x = 3 RootOf(7*_Z ˆ -3) + 1,y = 1 RootOf(7*_Z ˆ -3) + 3,z = RootOf(7*_Zˆ- 3)}, {x = 3 3 RootOf(7* _Zˆ+8 *_Z-3),y = RootOf(7* _Zˆ+8*_Z-3), z = RootOf(7*_Zˆ+8*_Z-3)} evalf(%); {x = , y = , z = }, {x = , y = , z = } Para verificar que os resultados obtidos pelo MAPLE são, realmente, soluções de uma equação e/ou um sistema de equações, utilizamos a seguinte sintaxe: >eq:=equação: >sol:=solve(eq,variável); >subs(variável=sol[i],eq); Exemplo Determineassoluçõesde x 4 + x 3 7x x + 6 = 0. Devemosdigitar: >xˆ 4+xˆ 3-7*xˆ -x+6 = 0: >sol:=solve(eq,x); subs(x=sol[1],eq); sol :=, 1, 1, 3 subs(x=sol[3],eq); 0 = 0 0 = 0

18 8 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE 1.9 Livrarias Uma das características do MAPLE são suas livrarias (packages). As livrarias são pacotes de comados especiais, utilizados para resolver tipos especificos de problemas. Por exemplo, o MA- PLE possui livrarias especificas, para Gráficos, Geometria, Álgebra Linear, Álgebra Vetorial, etc. O MAPLE possui em torno de 000 comandos; somente os mais importantes são carregados automaticamente na memória. No ato de executar o programa os outros comandos ficam nas livrarias. As livrarias são agrupadas por temas e podem ser carregadas, individualmente, ou uma função só. Para usuários avançados é possível criar suas próprias livrarias. A sintaxe para ativar uma livraria na memória, é: Asintaxe paraveroconteúdodaslivrarias é: > with(livraria): > with(livraria); No decorrer do texto, apresentaremos as livrarias mais utilizadas em Cálculo em uma Variável Livraria - RealDomain Em geral, o MAPLE trabalha com os números complexos. A livraria RealDomain faz com que o MAPLE trabalhe somente com os números reais. Primeiramente, vejamos o conteúdo da livraria: >with(realdomain); [Im,Re, ˆ,arccos,arccosh,arccot,arccoth,arccsc,arccsch,arcsec,arcsech,arcsin,arcsinh,arctan, arctanh,cos,cosh,cot, coth,csc,csch,eval,exp,expand,limit,ln,log,sec,sech,signum,simplify, sin,sinh, solve,sqrt,surd,tan,tanh] Isto nos indica que quando digitamos a sintaxe: >with(realdomain): Todos os comandos da livraria, de acima, assumirão que os cálculos serão efetuado em R. Exemplo 1.1. Nos exemplos abaixo os comandos são dados, primeiramente, sem usar a livraria RealDomain. Veremos que obtemos respostas não reais (complexas). 1. Simplifique x 4 : >simplify(sqrt(x ˆ 4)); csgn(x )x

19 1.9. LIVRARIAS 9 onde,csgn (x) é osinalde x.. Simplifique ( 4913) 1/3 : >simplify(root(-4913,3)); 3. Resolva x 3 y = 1para x I 3 >solve(x ˆ 3-y=1,x); (y + 1) 1/3, 1 (y + 1)1/3 + 1 I 3 (y + 1) 1/3, 1 (y + 1)1/3 1 I 3 (y + 1) 1/3 Se utilizamos a livraria: >with(realdomain): >simplify(sqrt(x ˆ 4)); >simplify(root(-4913,3)); >solve(x ˆ 3-y=1,x); Pode explicar estes resultados? x 17 (y + 1) 1/3 3. Se, digitamos: >solve(xˆ5-3*x+5=0,{x}); {x = RootOf(_Zˆ5-3*_ Z+5, index=1)}, {x = RootOf(_Zˆ5-3*_ Z+5, index=)}, {x = RootOf(_Zˆ5-3*_ Z+5, index=3)}, {x = RootOf(_Zˆ5-3*_ Z+5, index=4)}, {x = RootOf(_Zˆ5-3*_ Z+5, index=5)} Se, digitamos: >with(realdomaine): >solve(xˆ5-3*x+5=0,{x}); evalf(%); {x = RootOf (_Z 5 3_Z + 5, )t} {x = }

20 30 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE 1.10 Conjuntos e Sequências Para definir conjuntos se utiliza a seguinte sintaxe: > {a, b,c,...}; {a, b, c,...} A sintaxe das operações de conjuntos são as seguintes: União: union Interseção: intersect Diferença: minus Subconjunto: subset A sintaxe para gerar sequências de objetos é: >seq(r(i),i=a..b); O comando gera uma sequência, aplicando a cada i a fórmula r(i). Se i X, onde X é um conjunto, utlizamos a sintaxe: >seq(r(i),i in X); Como veremos nas próximas seções, esta sintaxe será associada a outras situções um pouco diferentes de aquelas que geraram seqûencias numéricas. Exemplo Sejam A = {a, bc, d}eb = {a,c, e, f, g}. Determine A B, A B e A B. Escrevemos: > A:={a, b, c, d}; A := {a, bc, d} > B:={a,c, e,f, g}; B := {a, c, e, f, g} Então: >X:= Aunion B; X := {a, b, c, d, e, f, g} >Y:= A intersect B;

21 1.10. CONJUNTOS E SEQUÊNCIAS 31 >Z:=Aminus B; Y := {a, c} Observe que: >XsubsetY; Z := {b, d} e >YsubsetX; false Interprete estes últimos resultados. true. Gereos10 primeirostermosdasequência r(i) = 1 i, i N. >seq(1/iˆ,i=1..0); 3. Gere os termos da sequência: 1, 1 4, 1 9, r(i) = se i X, onde X = { 0, 10, 1,0,0,300}. >X:= {-0,-10,-1,0,0,300}: >seq(*1/(iˆ +1),i in X); 1 36, 1 49 i i + 1, , 0 101, 1, 0, ,

22 3 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE 1.11 Exercícios 1. Determine os valores de x tais que: (a) x = x (b) (x 1) = x 1 (c) x x + 1 = 1 x (d) x 4 = x (e) x + 1 = x 1 (f) x 1 = x 1 (g) x = x + 7 (h) x 1 = x + 1. Verifiqueseéverdadeirooufalso, dandoum exemplonocaso dearespostaserfalso: (a) Para todo x, y e z: x + y + z = x + y + z e (b) Para todo x e y: x y x y. 3. Determine as constantes A, B e C tais que: (a) x x = A 1 + x + B 1 x. (b) (c) 1 (x + )(x + 1) = A x + + B x (x + )(x 1) = A x + + B x C x Determine o quociente e o resto das divisões: (a) 3x 4 5x + 6x + 1 x 3x + 4. (b) 5x 5 4x 3 x + 1 x + 1. (c) x 11 1 x + 1. (d) x 5 + 1x 4 + 3x 16 x + 3x 4. (e) x 3 3x + x + 1 x x Determine as constantes a e b de modo que o polinômio P(x) seja divisível por Q(x), onde: (a) P(x) = x 4 3x 3 + ax + b, Q(x) = x x + 4. (b) P(x) = 6x 4 7x 3 + ax + 3x +, Q(x) = x x + b. (c) P(x) = 8x 3 10x + ax + b, Q(x) = x 3 3x +. (d) P(x) = 3x 3 + ax 7x + b, Q(x) = x 5x Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução:

23 1.11. EXERCÍCIOS 33 (a) x 4 x < 0 (b) x x (c) x + x > (d) (x 5) 4 (x + 10) 0 (e) x + < 1 (f) x 5 < x + 1 (g) 4x + 10x 6 < 0 (h) x 1 < x + 1 (i) 3x 5 x + 4 > 1 (j) x 1 x + 1 > 0 (k) x x x (l) x 1 + x > 10x 1 (m) x 7x + 8 > (x 6) (n) x x 1 < (o) x 5x + 4 x 4 < 1 x (p) x 1 + x + (q) x x + > 10x 1 (r) x 1 < x 1 7. Determine o conjunto-solução de: (a) (b) (c) { 3x < x 6x 4 > 3 x { x x + 3 x 5x + 1 3x + 5 (x + 3) x (d) (e) (f) { 5x 3 < 6 + x 3 x > 4 { 3x 15 < x 5 x 6 { x + 3 > 0 x + x < 0 8. Esboce as regiões determinadas por: (a) x y 3 > 0 (b) x + y > 5 (c) x 3y 1 (d) 3x y 13 x + y (e) x y + 3 < 0 (f) x + y x y Esboce as regiões da solução de: { x y < 3 (a) x + y < 3 (b) { x + y < y x > 4 (c) (d) x + y < 10 3y x 0 x 100 y 100 x + y > x + y 1 x + y 3

24 34 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE 10. Obter o valor simplificado de: (a) sen ( θ + π ) (b) cos ( θ + 3π ) (c) sec(θ + 6π) (d) sen(θ + 360π) (e) cos(θ + 480π) (f) sen ( θ 3π ) cos ( θ + π ) 11. Resolva as inequações: (a) sen(x) + cos(x) (b) tg(x) 3 (c) sen (x) 1 (d) sen (x) 1 se x [0,π]