Análise Matemática I. f m f f m+1. f f. a f f. f senh f. f coshf. f tgh f. f cotghf. f sech 2 f. f cosech 2 f. f sechf tgh f. f cosechf cotghf.

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Luís Vasques Varejão
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1 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Análise Matemática I Tabela de Primitivas PRIMITIVAS IMEDIATAS Na lista de primitivas que se segue considera-se uma função f : I IR diferenciável em I, onde I é um intervalo de IR. Além disso, denotamos por C a constante de primitivação arbitrária) e por a uma constante. Função a Primitiva ax + C f m f m+ + C m IR\{ }) m + f ln f + C a f a f lna + C a IR+ \{}) Função Primitiva Função Primitiva sen f cosf + C senh f coshf + C cosf senf + C coshf senh f + C tg f ln cosf + C tgh f ln coshf + C cotg f ln senf + C cotghf ln senh f + C sec f ln secf + tg f + C sech f tgh f + C cosecf ln cosecf cotg f + C cosech f cotghf + C sec f tg f + C sechf tgh f sechf + C cosec f cotgf + C cosechf cotghf cosechf + C sec f tg f secf + C + f arg senh f + C cosecf cotg f f cosecf + C arc sen f + C ou f arg cosh f + C arc cosf + C + f arc tg f + C ou -arc cotgf + C f f arc secf + C ou arc cosecf + C f arg tghf + C, se fx) < ou arg cotgh f + C, se fx) > f f f + f arg sechf + C arg cosechf + C

$Função a Primitiva ax + C f m f m+ + C m IR\{ }) m + f ln f + C a f a f lna + C a IR+ \{}) Função Primitiva Função Primitiva sen f cosf + C senh f coshf + C cosf senf + C coshf senh f + C tg f ln$

2 PRIMITIVAÇÃO POR PARTES fx) gx)dx = Fx) gx) Fx) g x)dx, sendo F uma primitiva de f. REGRAS DE PRIMITIVAÇÃO Potências de funções trigonométricas e hiperbólicas. Potências ímpares de senx, cosx, senh x e coshx. Destaca-se uma unidade à potência ímpar e o factor resultante passa-se para a co-função através das fórmulas fundamentais: cos x + sen x =, cosh x senh x =.. Potências pares de sen x, cosx, senh x e coshx. Passam-se para o arco duplo através das fórmulas: sen x = cosx), cos x = + cosx) senh x = coshx ) cosh x = coshx + ). 3. Potências pares e ímpares de tg x, cotg x, tghx e cotgh x. Destaca-se tg x tgh x) ou cotg x cotgh x) e aplica-se uma das fórmulas: tg x = sec x tgh x = sech x) cotg x = cosec x cotgh x = + cosech x). 4. Potências pares de secx, cosecx, sechx e cosechx. Destaca-se sec x sech x) ou cosec x cosech x) e ao factor resultante aplica-se uma das fórmulas: sec x = + tg x sech x = tgh x) cosec x = + cotg x cosech x = cotgh x ). 5. Potências ímpares de secx, cosecx, sechx e cosechx. Destaca-se sec x sech x) ou cosec x cosech x) e primitiva-se por partes começando por esse factor. Produtos de potências das funções sen x e cos x senh x e cosh x). Potência ímpar de sen x senh x) por qualquer potência de cos x cosh x). Destaca-se sen x senh x) e passa-se o factor resultante para a co-função, através da fórmula fundamental: sen x = cos x senh x = cosh x ).

Destaca-se uma unidade à potência ímpar e o factor resultante passa-se para a co-função através das fórmulas fundamentais: cos x + sen x =, cosh x senh x =.

3 . Potência ímpar de cos x cosh x) por qualquer potência de sen x senh x). Destaca-se cosx cosh x) e passa-se o factor resultante para a co-função, através da fórmula fundamental: cos x = sen x cosh x = + senh x). 3. Potência par de sen x senh x) por potência par de cos x cosh x). Aplicam-se as fórmulas: sen x = senx cosx senh x = senhx coshx) sen x = cosx cos x = + cosx senh x = coshx ) cosh x = coshx + ). Produtos em que aparecem factores do tipo sen mx ou cosnx, ou produtos em que aparecem factores do tipo senh mx ou cosh nx Aplicam-se as fórmulas: senxsen y = cosx y) cosx + y)) senh xsenh y = cosh x + y) coshx y)) cosxcosy = cosx + y) + cosx y)) coshxcosh y = coshx + y) + coshx y)) senxcos y = sen x + y) + sen x y)) senh xcoshy = senh x + y) + senh x y)) FRACÇÕES RACIONAIS Consideremos a fracção fx), em que fx) e gx) são polinómios. gx). Se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, efectua--se a divisão de fx) por gx); obtém-se então fx) Rx) = Qx) + gx) gx), sendo agora Rx) gx) uma fracção própria.. Decompõe-se o denominador da fracção própria em factores; os factores obtidos são da forma x a) m, correspondendo a raízes reais a de multiplicidade m, ou da forma [x p) + q ] n, correspondendo estes às raízes complexas p ± qi de multiplicidade n.

Potência par de sen x senh x) por potência par de cos x cosh x). Aplicam-se as fórmulas: sen x = senx cosx senh x = senhx coshx) sen x = cosx cos x = + cosx senh x = coshx ) cosh x = coshx + ).

4 3. Decompõe-se então a fracção própria numa soma de elementos simples, de acordo com os factores obtidos: a) cada factor do tipo x a) m dá origem a com A, A,...,A m constantes a determinar; b) cada factor do tipo [x p) + q ] n dá origem a A x a) m + A x a) m A m x a, P x + Q [x p) + q ] n + P x + Q [x p) + q ] n P n x + Q n x p) + q, com P, Q, P, Q,..., P n, Q n constantes a determinar. 4. Cálculo das constantes As constantes A i, P i e Q i podem ser determinadas conjuntamnete pelo método dos coeficientes indeterminados. Há no entanto uma forma alternativa de calcular essas constantes, que descrevemos em seguida. a) Cálculo dos coeficientes relativos a factores do tipo x a) m seja tal que gx) = x a) m ): i. se m =, apenas temos de determinar uma constante A, que é dada por: [ ] Rx) A = ii. se m >, efectua-se a divisão. x=a [ ] Rx) x=a+h dispondo os polinómios por ordem crescente dos seus monómios, até chegar ao grau m : [ ] Rx) = A + a h + A 3 h A m h m +... x=a+h onde A, A,..., A m são as constantes que pretendemos determinar. b) Cálculo dos coeficientes relativos a factores do tipo [x p) + q ] n seja tal que gx) = [x p) + q ] n ): i. se n =, obtemos as constantes P e Q fazendo [ P x + Q = Rx) ]. x=p+qi ii. se n >, as constantes calculam-se pelo método dos coeficientes indeterminados as constantes P e Q ainda podem ser obtidas como em i.). Nota: Caso apareçam elementos simples da forma [x p) + c] n, com n >, estes podem ser primitivados usando a seguinte fórmula de recorrência: ) P [x p) + c] n = [ )] c n x p n 3 [x p) + + c] n n P [x p) + c] n

.. + P n x + Q n x p) + q, com P, Q, P, Q,..., P n, Q n constantes a determinar. 4.

5 PRIMITIVAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Sejam a, b, c e d constantes reais. A notação R...) indica que se trata de uma função racional envolvendo apenas somas, diferenças, produtos e quocientes) do que se encontra entre parêntesis. Tipo de Função Substituição x + a, k IN, k > x = a tg t ) k Px) ax + bx + c) k, k IN, k >, b 4ac < 0, onde Px) é um polinómio de grau inferior a k ax + b = t Px) x p) + q, k IN, k >, ) k onde Px) é um polinómio de grau inferior a k x = p + qt x k x k ± a, k Q, k > xk = at Ra rx, a sx,...) a mx = t onde m = m.d.c.r, s,...) Rlog a x) R x, ) p ax + b cx + d q, ax + b cx + d ) r s,... ) t = log a x ax + b cx + d = tm onde m = m.m.c.q, s,...) Rx, ax + b) p q, ax + b) r s,...) ax + b = t m onde m = m.m.c.q, s,...) Rx, x p q, x r s,...) x = t m onde m = m.m.c.q, s,...) Rx, a b x ) x = a b sen t ou x = a b cost ou x = a b tght Rx, a + b x ) x = a b tg t ou x = a b senh t Rx, b x a ) x = a b sec t ou x = a b cosht Rx, x, a bx) x = a b sen t ou x = a b cos t Rx, x, a + bx) x = a b tg t

Tipo de Função Substituição x + a, k IN, k > x = a tg t ) k Px) ax + bx + c) k, k IN, k >, b 4ac < 0, onde Px) é um polinómio de grau inferior a k ax + b = t Px) x p) + q, k IN, k >, ) k onde Px) é

6 Tipo de Função Rx, x, bx a) Substituição x = a b sec t Rx, ax + bx + c) se a > 0 faz-se ax + bx + c = x a + t se c > 0 faz-se ax + bx + c = c + tx se ax + bx + c = ax r )x r ), ax + bx + c = x r )t ou ax + bx + c = x r )t x m a + bx n ) p q se m+ n se m+ n Z faz-se a + bx n = t q + p q Z faz-se a + bxn = x n t q Rsen x, cosx): a) se R é ímpar em senx, isto é, R senx, cos x) = Rsenx, cosx) b) se R é ímpar em cosx, isto é, Rsen x, cosx) = Rsenx, cosx) cosx = t sen x = t c) se R é par em sen x e cosx, isto é, R senx, cosx) = Rsen x, cosx) tg x = t, sendo então supondo x 0, π )) sen x = t, cosx = +t +t d) nos restantes casos e até nos anteriores) tg x t = t, sendo então sen x = +t, cosx = t +t Rsen mx, cosmx) mx = t Re x, senh x, coshx) x = lnt Rsenh x, coshx): a) R é ímpar em senhx b) R é ímpar em coshx coshx = t senh x = t c) R é par em senhx e coshx tgh x = t, sendo então senh x = t t, coshx = t d) nos restantes casos e até nos anteriores) tgh x = t, sendo então senh t = t t, coshx = +t t Rsenh mx, coshmx) mx = t Observação: Quando se efectua uma substituição, aparece frequentemente uma expressão do tipo f t). No caso geral terá de se escrever f t) = ft).

R é ímpar em cosx, isto é, Rsen x, cosx) = Rsenx, cosx) cosx = t sen x = t c) se R é par em sen x e cosx, isto é, R senx, cosx) = Rsen x, cosx) tg x = t, sendo então supondo x 0, π )) sen x = t, cosx

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