Aula 33. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

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1 Aplicações da Integral - Continuação e Técnicas de Integração Aula 33 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 30 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Centro de Massa Centro de Massa Consideremos uma fina placa (chamada de lâmina) com densidade superficial uniforme ρ que ocupa uma região A do plano. Desejamos encontrar o ponto P no qual a placa se equilibra horizontalmente. Esse ponto é chamado centro de massa da placa ou centróide de A.

3 Centro de Massa Suponha que a região A seja da forma A = { (x,y) R 2 ; a x b, 0 y f(x) }, onde f é contínua em [a,b], com f(x) 0, para todo x [a,b]. Consideremos uma partição P = (x i ) de [a,b] e escolhemos o ponto c i como sendo ponto médio do intervalo [x i 1, x i ], que é c i = x i +x i 1. Isto determina uma aproximação de A por 2 retângulos.

4 Centro de Massa f(c 2 ) f(c i ) f (c 2, 1 2 f(c 2)) (c i, 1 2 f(c i)) a = x 0 x 1 x 2 x 3 x i 1 xi b = x n c 2 c i

5 Centro de Massa O centro de massa do retângulo hachurado R i é seu centro ( c i, f(c ) i). 2 Sua área é f(c i ) x i ; assim sua massa é m i = ρ x }{{} i f(c i ). (1) }{{} base altura

6 Centro de Massa O centro de massa da região R 1 R 2... R n será dado por n ) f(c i ) i=1 m 2 (x c,y c ) =, i (1) = ( n i=1 c i m i n i=1 m i n i=1 m i = = ( n i=1 c iρf(c i ) x i n i=1 ρf(c i) x i, ( n i=1 c i f(c i ) x i n i=1 f(c i) x i, 1 n ) 2 i=1 f(c i)ρf(c i ) x i n i=1 ρf(c i) x i 1 n ) 2 i=1 f 2 (c i ) x i n i=1 f(c i) x i.

7 Centro de Massa Daí, fazendo P = max 1 i n x i 0, obtemos o centro de massa da região A (x c,y c ) = = b a b a ( 1 áreaa x f(x)dx f(x)dx b a, 1 2 b a b a x f(x)dx, f 2 (x)dx f(x)dx 1 1 áreaa2 b a ) f 2 (x)dx.

8 Centro de Massa Exemplo Calcule o centro de massa da região sob o gráfico de y = cosx, 0 x π/2. π/2 π/2 A área da região é: área A = cosx dx = sen x = 1; 0 0 assim, x c = 1 π/2 π/2 π/2 x f(x)dx = x sen x áreaa sen x dx = π , y c = 1 1 π/2 f 2 (x)dx = 1 π/2 (1+cos(2x))dx áreaa = 1 (x + 12 ) π/2 4 sen (2x) = π 0 8. ( π Portanto o centro de massa é 2 1, π. 8)

9 Centro de Massa Se a região A está entre as curvas y = f(x) e y = g(x), onde f(x) g(x), então o mesmo argumento anterior pode ser usado para mostrar que o centro de massa de A = { (x,y) R 2 ; a x b, g(x) y f(x) } é dado por (x c,y c ) = ( 1 b x [f(x) g(x)]dx, S a 1 b ) [f 2 (x) g 2 (x)]dx. 2S a

10 Centro de Massa Exemplo Determine o centro de massa da região A limitada pela reta y = x e pela parábola y = x 2. A área da região é Portanto, área A = 1 0 (x x 2 )dx = x2 2 x = ( ) x x c = 6 x(x x 2 3 )dx = x4 1 = , y c = ( ) x (x 2 x 4 3 )dx = x5 1 = ( 1 O centro de massa é 2, 2 ). 5

11 Nesta seção usaremos identidades trigonométricas para integrar certas combinações de funções trigonométricas. Exemplo Calcule cos 3 x dx. Observe que cos 3 x = cos 2 x cosx = (1 sen 2 x)cosx. Fazendo u = sen x temos du = cosx dx. cos 3 x dx = (1 sen 2 x)cosx dx = (1 u 2 )du = u u3 3 +k = sen x 1 3 sen3 x +k.

12 Exemplo Calcule sen(3x) cos(2x) dx. Observe que sen(3x)cos(2x) = 1 [sen(5x)+sen(x)]. Então, 2 [sen(5x) + sen(x)] dx sen(3x)cos(2x)dx = 1 2 = 1 10 cos(5x) 1 cosx +k. 2

13 Exemplo Calcule sen 4 (x)dx. Observe que sen 2 (x) = 1 2 (1 cos(2x)) e cos2 x = 1 2 (1+cos(2x)). Então, sen 4 (x)dx = 1 (1 cos(2x)) 2 dx 4 = 1 (1 2cos(2x)+cos 2 (2x))dx 4 = 1 (1 2cos(2x) (1+cos(4x))dx = 1 ( ) 3x sen(4x) sen(2x)+ +k

14 Exemplo Calcule sen 5 x cos 2 x dx. Observe que sen 5 x cos 2 x = (sen 2 x) 2 cos 2 x sen(x) = (1 cos 2 x) 2 cos 2 x senx. Fazendo u = cosx temos du = senx dx e assim sen 5 x cos 2 x dx = (1 cos 2 x) 2 cos 2 x senx dx = (1 u 2 ) 2 u 2 ( du) = (u 2 2u 4 +u 6 )du ( u 3 = = cos3 x 3 3 2u5 5 + u cos5 x 5 ) +k cos7 x 7 +k.

15 Estratégia para avaliar sen m x cos n x dx. (a) Se n for ímpar, sen m x cos (2k+1) x dx = = sen m x (cos 2 x) k cosx dx sen m x(1 sen 2 x) k cosx dx. Então faça u = sen x. (b) Se m for ímpar, sen (2k+1) x cos n x dx = = Então faça u = cosx. (sen 2 x) k cos n x senx dx (1 cos 2 x) k cos n x senx dx.

16 (c) Se m e n forem pares, utilizamos as identidades dos ângulos metade sen 2 x = 1 2 (1 cos(2x)) cos2 x = 1 2 (1+cos(2x)). Algumas vezes pode ser útil a identidade 2senx cosx = sen(2x).

17 Estratégia para avaliar sen(mx) cos(nx) dx ou sen(mx) sen(nx) dx ou cos(mx) cos(nx) dx. Utilize a identidade correspondente: (a) 2sena cosb = sen(a b)+sen(a+b), (b) 2senasen b = cos(a b) cos(a+b), (c) 2cosa cosb = cos(a b)+cos(a+b).

18 Podemos usar uma estratégia semelhante para avaliar integrais envolvendo potências de tangente e secante. Exemplo Calcule tg 6 x sec 4 x dx. Observe que tg 6 x sec 4 x=tg 6 x sec 2 x sec 2 x=tg 6 x(1+tg 2 x)sec 2 x. Fazendo u = tgx temos du = sec 2 x dx e assim tg 6 x sec 4 x dx = tg 6 x(1+tg 2 x)sec 2 x dx = u 6 (1+u 2 )du = u7 7 + u9 9 +k = tg7 x 7 + tg9 x 9 +k.

19 Exemplo Calcule tg 5 x sec 7 x dx. Observe que tg 5 x sec 7 x = tg 4 x sec 6 x secxtgx = (sec 2 x 1) 2 sec 6 x secx tgx. Fazendo u = secx temos du = secx tgx dx e assim tg 5 x sec 7 x dx = (sec 2 x 1) 2 sec 6 x secx tgx dx = = sec11 x 11 (u 2 1) 2 u 6 du = u u9 9 + u7 7 +k 2 sec9 x 9 + sec7 x 7 +k.

20 Estratégia para avaliar tg m x sec n x dx. (a) Se n for par, tg m x sec 2k x dx = = tg m x (sec 2 x) k 1 sec 2 x dx tg m x(1+tg 2 x) k 1 sec 2 x dx. Então faça u = tg x. (b) Se m for ímpar, tg (2k+1) x sec n x dx = = Então faça u = secx. (tg 2 x) k sec n 1 x secx tgx dx (sec 2 x 1) k sec n 1 x secx tgx dx.

21 Fórmulas derecorrência para o cálculo das integrais tg n x dx e sec n x dx. tg n xdx = tgn 1 n 1 sec n x dx = secn 2 x tgx n 1 tg n 2 x dx + n 2 n 1 sec n 2 x dx.