MA Sejam a e b esses números naturais: (a + b) 3 (a 3 + b 3 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 3 b 3 = = 3a 2 b + 3ab 2 = 3ab (a + b)

Transcrição

1 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 1 OP MA Sejam a e b esses números naturais: (a + b) 3 (a 3 + b 3 ) a 3 + 3a b + 3ab + b 3 a 3 b 3 3a b + 3ab 3ab (a + b)

2 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP Se a ou b forem pares, temos a b par. Logo, 3 vezes um número par é múltiplo de 6. Se a e b forem ímpares temos (a + b) par. Logo, 3 vezes um número par é múltiplo de MA.0 1. b Sendo x o preço inicial do objeto, temos: 1, 0,8 x 0,96 x está 4 % mais barato. b Antes do aumento do consumo e da redução do combustível tínhamos: Preço do combustível x

3 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 3 Consumo diário y Faturamento x y Após a remarcação: Preço do combustível 0,9x Consumo diário 1,y Faturamento 0,9x 1,y 1,08xy xy + 0,08xy xy + 8%xy Houve aumento de 8% no faturamento. 3. e Preço na loja A x Preço na loja B x + 60 Com o desconto: 0,8 (x + 60) x 0,8 x + 48 x 0, x 48 x d I) 0, II) perdeu R$ 900,00 no primeiro mês

4 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 4 recuperou R$ 360,00, ficando então com R$.460,00 Então: x x 8 Ou seja: % de Logo houve um prejuízo de 18 %. 5. c Sendo o valor do salário igual a x, temos: S acumulado x(1, ) 3 1,78x x + 0,78x x + 7,8%x Teve um aumento de 7,8%. 6. Seja o total do empréstimo; ao final de 4 meses, a pessoa estará devendo: a) Na condição 1 45, 6 11,4% R$ de juros R$ ,00. b) Na condição, temos C (1,1) ,4641 R$ ,00 Portanto, os juros cobrados na primeira condição farão com que a dívida seja menor em R$ 81,00.

5 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 5 MA b Seja x o número de amigos. x + 5 3x 15 x 40 Logo, o número de amigos é 40 e o número de convites é: x Temos:

6 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 6 4x precisará de mais ( ) 55 convites MA e 3x 1 7 3x x 15 x 5

7 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP

8 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP Sejam x o tempo da ligação em minutos e y o valor a ser pago em reais. Plano A: y ,5x Plano B: y 40, se 0 x 50 y ,5 (x 50), se x 50 a) Plano A: y 50 0,5 30 R$ 57,50 Plano B: y R$ 40,00 b) y b > y a

9 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP ,5 (x 50) > ,5x ,5x 75 > ,5x 1,5x > 85 x > 68 MA F V F V V (1) (F), pois o número que multiplica x é menor que zero.

10 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 10 () ( ) ( 40) < 0 (V) (3) g () < 0 (F) (4) (V) (5) 5 80 (V) pois o conjunto solução de g (x) e h (x) são iguais 5. 6.

11 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 11 y (0 x). x y 10x x y x + 10x x v 10 x v 5 x 5 cm MA a f(g(x)) f (x ) x + 1 x 1. c f(f(f())) f(f(5)) f(5 4) f(1)

12 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP e y 1 x +1 Trocando x por y e y por x, temos: x 1 y + 1 f 1 (x) 1 x x 1 x xy + x 1 xy 1 x y x f (x) f 1 (x) 1 x x x x x x + 1 x x + x x 1± 5 Como x > 0. Temos: x b x 9 c x c + 9 Então: f (c) y c + 9 c + 9

13 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 13 Trocando c por y e y por c, vem: y + 9 c y c 9 f 1 (c) c 9 f (c) f 1 (c) c + 9 c 9 c + 9 4c 18 3c 7 c 9 MA a 1 x 1 x 1 1 x 1 x x x 4x x 1, que está compreendido entre 0 e 1.. d 3 x 3 + y y 3 x 4 3 x 3 y 3 x 3 y 1 Como x e y são inteiros, temos: x 1 e y 3 x d x+y 7 x y 1 x + y 7 x y 1 x 6 x 3 e y 4

14 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 14 S {(3; 4)} a 1 x 1 < 3 1 x < 1 3 x > 3 x + 3 > 0 3 x + 4 x > 0 S {x / x < 4 ou x > 0} 3 O menor número inteiro que é solução da inequação é o 1. MA c I) x 1 > 0 x > 1

15 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 15 II) x 1 1 x III) x x 3 > 0 x < 1 ou x > 3 C.E : { x / x > 3} d I) log 3 7 log II) log π π 1 III) log log 5 IV) + 3 log Então: d 3 I) x x 15 1 x 5 x 1 5 II) 3 x y 1 5 (3) y ( ) y y 6.

16 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 16 MB Seja x, o ângulo interno desse polígono que não foi incluído na soma. I) 0º < x < 180º II).004º + x (n ) 180º.004º + x 180n 360º.364º + x 180n x 180n.364º De I, temos: 0º < 180n 364 < 180º.364º < 180n <.544º 13,13 < n < 14,13 Como n e n >, temos n 14. O polígono possui 14 lados. 3.

17 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 17 x + 90º + 0º 180º x 70º b

18 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 18 x + 40º 180º x 140º (obtuso) A medida do ângulo agudo é 40º. MB b Se AC mede 130º, o ângulo A Bˆ C mede: º Se AĈ B mede 6º, então o arco AB mede: 6 14º AC + BC + AB 360º 130º + BC + 14º 360º BC 106º e

19 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 19 BC x 53º AC 180 º 50 º 130 º x AC AB 130º 50º 40 º

20 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 0 MB

21 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP a Observe a figura: MB Por Pitágoras, temos: ( ) AC ( ) BC + ( ) AB 5 ( ) BC + 16 ( ) BC 9 BC 3 Finalmente: BC AB AC BD BD BD 1 5

22 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP. 3. b Por Pitágoras, temos: BD 5 Das relações métricas no triângulo retângulo, vem: 3 5 DE DE 9 5 Da mesma forma: BF 9 5 BD DE + EF + FB EF EF EF 7 5 EF 1,4

23 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP Situação I: Aplicando Pitágoras temos: x x 576 x 4 dm Situação II

24 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 4 Aplicando Pitágoras, temos: y 65 5 y y 400 y 0 d x y dm MB

25 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP c Observe a figura: 8 x + 7 x 9 x 6 x 3

26 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 6 MB Sejam x e y as dimensões do retângulo. Temos: I) x + y 5 x + y 5 y 5 x II) x y 5 Substituindo I em II temos: 5 x x 5 5 x x 5 5x x 50 x 5x x 5 ± 15 4 x 1 10 e y 1 5 ou x 5 e y 10 As dimensões do retângulo são 5 e 10. AB h1. S ABP CD h S CDP 16 AB h 1 3 h 1 3 AB 9 CD h 18 h 18 CD AB CD 4 3 AB 4 CD 3 4CD 3 18 ( AB + CD) ( h1 + h ) + CD + 3 AB CD S trapézio 4CD 7CD 3CD + 18AB 3 AB. CD CD + 3 4CD 1 CD 3

27 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 7 7CD 3 4CD 3 ( 56CD) ( CD) 4 ( CD) 49 cm 3. c I) a + b 5 Da figura II, temos: a 15 Logo, b 10; e ainda pela figura II, temos: c 6 Área cm

28 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP a Por Pitágoras, temos: 150 r r 5 3

29 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 9 A área do hexágono é a área de seis triângulos eqüiláteros de lado 5 3 S 6 (5 3 ) cm 6. c S 3 4 π π π 4 S 48 π + π + 4 π 53 π MB d Sejam a 1, a e a + 1 as dimensões do paralelepípedo. d ( a 1) a ( a 1) a a a a a a + 3a 48 a 16 a 4 As dimensões do paralelepípedo são 3 cm, 4 cm e 5 cm.

30 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 30 V cm 3. d 3x 3 x 3x 3 x 0 é raiz da equação, pois x 3. e V 3a 3a 5a a 3a a a a 3ª V 45a 3 6a 3 3a 3 V 36a 3 4. c Observe a figura: I) O volume da caixa é dado por: V c a h II) Aplicando Pitágoras no triângulo ABC, temos: k a A pirâmide tem como base um quadrado de lado k e altura h:

31 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 31 V p 1 3 a a h. h 6 a h Vp V 6 a h 1 6 c MB c

32 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 3 V π r h V π 5 10 V 50 cm 3 V 50 3 V 750 cm 3 Temos: cm3. d V A π 4x h V B πx h V A πx h V B πx h A tem o dobro de volume de B, logo A deveria custar o dobro de B. I. (V) II. (V) III. V B πx 4h 4πx h V A (V) IV. (F) 3. d Observe a figura I. r diagonal do quadrado de lado

33 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 33 r r II. h III. A L área lateral πrh A L π A L 4π R r 1 h R r 1 h V Volume do cone V πr 3 V A Volume de água πr h V A 3

34 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 34 V πr h V A 3 R Mas: r 1 h πr 6 h R r Então: 1 h h h3 1 h 1 3 m 6. a Observe as figuras V 18 π 1 3 πr r 18 π r 3 7 r 3 cm S c área do cubo 6 (r) 6 4r cm MC e No triângulo ACD, temos: 3 h + x h 9 x No triângulo ABD, temos: 4 h + (6 x) h 16 (6 x)

35 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 35 9 x 16 (6 x) 9 x x x x 1x 9 x 9 1. d Aplicando Pitágoras, temos: 4x x + k 3x k k x 3 O menor lado opõe-se ao menor ângulo. O menor lado é x: sen α xx 1 α 30º c

36 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 36 tg 30 º 5 h h h S BC h S h 5 3 S O triângulo ACD é isósceles. Logo: AD 4 No triângulo ABD, temos: sen 60º x AD 3 x x a) tg 60 º EF DE 3 EF EF 1,7 km 1 cos 60 º DE DF 1 1 DF DF km

37 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 37 cos 60 º 3 BF 1 3 BF BF 6 km BD BF DF 6 4 km BD 4 km e EF 1,7 km b) A pessoa percorreu: ( ,7 + 3,3) km 1 km y 4 + 0,8 1 R$ 13,60 MC.0 1..

38 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP e Pela Lei dos senos temos: x sen 30º 10 3 sen 10º x x 10 cm 5. e Pela lei dos senos, temos: x sen 45º 1 sen 30º x 1 1 x 1 x 17 cm Como a escala está na proporção 1 : temos:

39 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP cm ou 1,7 km 6. c Pela lei dos co-senos, temos: x cos 60º x x x 70 km MC I) 5π ,5º II) 180 º π 15 º x 180x 15π x 15 π 43π x

40 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP d 1 sen α 1 1 x x 1 3 x 4 1 x 4.

41 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP sen x y sen x MC d sen x + cos x 1 sen x sen x 1 5 sen x 3 5 sen x 3 5 tg x sen x cos x c 1 sen x sen x cos x 1 cos x sen x cos x 1 cos x sen x sen x cos x tg x 3. e

42 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 4 cos x + 1 sen 1 + x cos x + sen x (1 + senx) 1+ sen x cos x (1 + sen x) cos x cos x + sen x + sen x (1 + sen x) cos x (1 + sen x) (1 + sen x) cos x 1 cos x sec x 4. d cos x cos x cos x cos x y tg x + sec x sen x 1+ sen x 1+ sen x 1+ sen x + cos x cos x cos x cos x 1 sen x (1 sen x) (1 + sen x) 1 sen x sen x (1 + sen x) 1 cos x 5. b 1 + sen x sec x + sen x cos x cos sec x + cos x 1 + cos x sen x sen x(1 + sen x cos x) tg x cos x(1 + sen x cos x) sen x 1+ sen x cos x cos x 1+ sen x cos x sen x 6. V V F F 1. sec x cos x cotg x sen x 1 cos x. cos x cos x senx sen x 1 cos x cos x 1 cos x cos x sen x cos x sen x sen cos x x sen x tg x (V). cossec x sen x sec x cotg x + cotg x cos x 1 sen x sen x 1 cos x. cos x sen x + cos x sen x cos x 1 sen x 1 sen x + cos x sen x cos x cos x cos x cotg x (V) sen x 3. De 1 e, temos:

43 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 43 sen x tg x cos x.cot g x tg x 1 tg x tg 3 x (F) 4. sec x cotg x + cotg x cos x cotg x (sec x + cos x) cos x sen x 1 + cos x cos x cos x sen x (1 + cos x) cos x 1+ cos x sen x sen x (F) MC d sen x cos x 0 sen x cos x sen x cos x 1 ( cos x 0, pois sen 0º cos 0º) tg x 1 tg x ± 1 π 3π 5π 7π S { ; ; ; } soluções.. c sec 1 x cos x cos x cos x 0 1 cos3 x 0 cos 3 x 1 cos x 1 S {0} 1 3. sen x 6 8 cossec x 1 sen x 6 8sen x 1 6sen x 8sen 4 x 8sen 4 x 6sen x + 1 0

44 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 44 sen x t 8t 6t t 6 ± 16 t sen x 1 4 sen x ± 1 π x 1 { ; 5 π 7π 11π ; ; } t sen x 1 sen x ± x π 4 ; 3 π 5π 7 ; ; 4 4 4π π S { ; π 3π 5π 7π 5π 7π 11 ; ; ; ; ; ; π sen x + 3 > 0 sen x > 3 sen x > 3

45 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 45 Df (x) { x / 0 x < 4 π 5π ou < x < π} d cos x < 1 1 < cos x < 10 I) cos x < 1 II) cos x > 1 De I II, temos: π π 4π 5π S {x / < x < ou < x < } No intervalo [0, π ]; temos: π π S ; 3

46 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 46 MC e sen 15º sen (45º 30º) sen 45º cos 30º sen 30º cos 45º cos 105 º cos (60º + 45 º) cos 60 º cos 45 º sen 60 º sen 45 º sen 15 º + cos 105 º c (sen 15º + cos 15º) sen 15º + sen 15º cos 15º + cos 15º 1 + sen 15º cos 15º 1 + sen 30º c tg π + x 4 tg π x 4 π tg + tg x 4 π 1 tg tg x 4 π tg + tg x 4 π 1+ tg tg x 4

47 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP tg x 1 tg x 1 tg 1+ tg x x (1 + tg x) (1 tg x) 1 tg x 1+ tg + tg 1+ tg tg 1 tg x x x x x 4 tg x 1 tg x tg x 1 tg x Do enunciado, temos: cotg x 1 5 tg x 5 tg x 1 tg x tg x tg x 5 6. MC e (x!) 36 x! 6 x 3. a n! n + 1 (n + 1)! n n +!1 (n + 1) n! (n + 1) 1 n + n n + n 0 n (n + ) 0 n 0 ou n (não convém) 3. n

48 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 48 Então: d n n a I) 5x x + 8 4x 8 x II) 5x + x x 18 x 3 x ou x 3 6. c MC a T x 3 ( 1) 7 10! 7!3! x x 3 10x 3 3. c T p+1 8 p x 8 p (x 1 ) p T p p x 8 p 8 p 6 p P 1

49 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP 49 T 8 1 x 6 8x e T p+1 T p+1 T p+1 10 p 10 p 10 P (x 1 ) 10 p ( 3) p (x 4 ) p x 10+p+4p ( 3) p x 5p 10 ( 3) p 5p p 10 p 10 T 3 ( 3)

50 Reformulação Pré-Vestibular matemática Cad. 1 Mega OP d O binômio possui termos e a soma de seus coeficientes é dada por (1 3 1) 5 ( ) 5 35