Simulado ENEM: Matemática

Transcrição

1 Simulado ENEM: Matemática

2 Questão 1 Cinco diretores de uma grande companhia, doutores Arnaldo, Bernardo, Cristiano, Denis e Eduardo, estão sentados em uma mesa redonda, em sentido horário, para uma reunião muito importante: decidir qual deles assumirá a presidência da empresa. Após cada um votar, verificam que nenhum foi escolhido, pois cada um recebeu exatamente um voto. Diante da surpresa, conversando sobre as escolhas, viram que cada um havia votado naquele que votou no seu vizinho da esquerda. Conclui-se, então, que os votos de Arnaldo, Bernardo, Cristiano, Denis e Eduardo foram, respectivamente, para: (A) Eduardo, Arnaldo, Bernardo, Cristiano e Denis. (B) Cristiano, Denis, Eduardo, Arnaldo e Bernardo. (C) Cristiano, Bernardo, Arnaldo, Eduardo e Denis. (D) Denis, Arnaldo, Bernardo, Eduardo e Cristiano. (E) Denis, Eduardo, Arnaldo, Bernardo e Cristiano. Resposta: E Conseguimos atender a condição do problema formando um pentágono estrelado, como na figura abaixo:

3 Questão 2 Um restaurante self-service oferece 10 opções de comida, das quais 4 são carnes. Uma pessoa quer montar seu prato com 6 opções, colocando no mínimo 1 carne e no máximo 3. De quantas maneiras diferentes esta pessoa pode montar seu prato? (A) 194 (B) 165 (C) 120 (D) 108 (E) 90 Resposta: A O enunciado diz que há 4 carnes e 6 outras opções de comida. Para montar um prato com 6 opções atendendo à condição do problema, temos as seguintes possibilidades: Com 1 carne, escolhida dentre 4, e 5 outras opções, escolhidas dentre 6: Com 2 carnes, escolhidas dentre 4, e 4 outras opções, escolhidas dentre 6: Com 3 carnes, escolhidas dentre 4, e 3 outras opções, escolhidas dentre 6: TOTAL DE POSSIBILIDADES: = 194.

4 Questão 3 Uma empresa, três meses após lançar um novo tipo de sabão em pó no mercado, fez uma pesquisa para verificar a aceitação dos consumidores, obtendo o resultado sintetizado no gráfico a seguir: Uma vez que a empresa decida não alterar sua política de preços, o melhor que ela pode esperar, reforçando sua estratégia de divulgação, é: (A) aumentar em, aproximadamente, 50% as vendas. (B) aumentar em, aproximadamente, 80% as vendas. (C) aumentar em, aproximadamente, 100% as vendas. (D) aumentar em, aproximadamente, 125% as vendas. (E) aumentar em, aproximadamente, 150% as vendas. Resposta: C Ao decidir não alterar sua política de preços, apenas reforçando sua estratégia de divulgação, a empresa pode atingir apenas os 25% que não conhecem o produto. Com isso, o máximo que ela conseguiria seria aumentar sua parcela de mercado de 23% para 48%, um aumento de pouco mais de 100%. Questão 4 Um programa de reflorestamento será implantado em uma área em forma de trapézio retângulo cuja planta está desenhada abaixo, na escala 1:20.000:

5 A área destinada a este programa de reflorestamento corresponde a: (A) 0,256 km 2 (B) 2,56 km 2 (C) 25,6 km 2 (D) 256 km 2 (E) 2560 km 2 Resposta: B Para calcular a área do trapézio, precisamos primeiro obter sua altura: Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ABC: Vamos agora determinar as medidas reais do terreno, usando a escala: Base maior: 11 cm x = cm = 2,2 km. Base menor: 5 cm x = cm = 1 km. Altura: 8 cm x = cm = 1,6 km. A área do trapézio é:

6 Portanto, a área destinada ao programa de reflorestamento é de 2,56 km². Questão 5 Um estudo de climatologia concluiu que a temperatura de uma cidade varia ao longo do ano de acordo com a seguinte função: Em que t é o tempo, em dias, e T é a temperatura na escala Celsius. O dia 1º de janeiro corresponde a t = 0. Nesta cidade, a menor e a maior temperatura são, respectivamente, iguais a: (A) 13º C e 15º C (B) -13º C e 15º C (C) -2º C e 28º C (D) 2º C e 28º C (E) 13º C e 28º C Resposta: D O valor máximo que a função y = sen(x) assume é +1 e o valor mínimo é -1. Portanto, o maior valor de de T é = 28º C. é +13, de modo que o valor máximo Da mesma forma, o menor valor de valor mínimo de T é = 2º C. é -13, de forma que o Questão 6 Uma dona de casa pretende comprar uma geladeira nova. Na loja que oferece o melhor preço, há duas opções de pagamento: 1ª) à vista, por R$840,00;

7 2ª) em duas parcelas de R$440,00, com a primeira no ato da compra e a segunda após 30 dias. Comparando as duas propostas, ela concluiu que a loja trabalha com uma taxa de juros de: (A) 5% ao mês (B) 5% ao bimestre (C) 10% ao mês (D) 10% ao bimestre (E) 15% ao mês Resposta: C Sendo de R$840,00 o preço à vista, devemos entender que ao pagar a primeira parcela de R$440,00, a dona de casa ainda fica devendo R$400,00. Esta dívida de R$400,00 no momento da compra se eleva a R$440,00 após 1 mês, configurando uma taxa de juros de 10% no período. Questão 7 A altura de um som, expressa em decibéis, relaciona-se com a intensidade I, em W/m², de acordo com: Em que I 0 vale W/m². O tempo que uma pessoa pode ficar exposta a um determinado nível de som sem que isso provoque danos ao ouvido depende da intensidade do mesmo. A tabela abaixo, da Sociedade Brasileira de Otologia ( relaciona estas variáveis: Tempo de exposição Nivel sonoro em decibéis máxima por dia, em horas

8 1 1/ /2 110 < 1/4 115 Portanto, o tempo máximo diário que uma pessoa pode ficar exposta a um som de intensidade igual a 10-2 W/m² é de: (A) meia hora (B) uma hora (C) uma hora e meia (D) duas horas (E) três horas Resposta: D Vamos calcular o nível sonoro em decibéis para uma intensidade de 10-2 W/m²: β = 10 log I I β = 10 log β = 10 log10 ( ) 10 β = 10 log10 ( ) Aplicando a propriedade ( ) β = log10 n logb x = n logb x, fica: Como log 10 = 1, tem-se: β = 100 Consultando a tabela, vemos que para um nível de 100 db o tempo máximo de exposição é de 2 horas.

9 Questão 8 Em uma aplicação financeira, o montante é a soma da quantia inicialmente aplicada com os juros acumulados até a data considerada. Considerando que o regime de capitalização seja o de juros compostos, os montantes acumulados formam uma progressão geométrica. Para uma aplicação inicial de R$70.000,00 com taxa de 2% ao mês, o montante após 10 meses de aplicação, considerando que 1,02 10 = 1,219, é de aproximadamente: (A) R$75.000,00 (B) R$85.000,00 (C) R$95.000,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resposta: B Sendo o valor inicial o primeiro termo da progressão geométrica, o valor após 10 meses será o 11º termo. Observemos ainda que acrescentar 2% a uma quantia equivale a multiplicá-la por 1,02, sendo esta a razão da P.G.. Assim, tem-se: an n 1 = a1 q 11 1 a11 = (1,02) 10 a11 = (1,02) Usando 1,02 10 = 1,219: a 11 = ,219 a 11 = Portanto, o montante após 10 meses é de aproximadamente 85 mil reais. Questão 9 Uma empresa que produz e comercializa carrocerias para ônibus observou que seu custo por unidade se reduz à medida que a produção aumenta, de acordo com: y = x

10 Sendo x o número de carrocerias fabricadas e y o custo de cada uma delas, em reais. Por outro lado, ela vende tais carrocerias por R$27.000,00 cada. Sendo o lucro a diferença entre receita e despesa, o maior prejuízo que a empresa pode ter ocorre quando x é igual a: a) 25 b) 20 c) 15 d) 10 e) 5 Resposta: E Ao fabricar e vender x carrocerias, a empresa tem: R(x) D(x) Receita: = x Despesa: = ( x) x D (x) = 300x² x L(x) Lucro: = R(x) D(x) L (x) = x ( 300x² x) L(x) = 300x² 3.000x Vemos que o lucro varia com a quantidade vendida de acordo com uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima. Então, o menor valor que L assume ocorre no vértice da parábola. A abscissa desse vértice é dada por: b ( 3000) 3000 Xv = = = = 5 2a Neste caso, o lucro é de: L(5) = 300 5² = = Portanto, o maior prejuízo ocorre quando são produzidas e vendidas 5 carrocerias.

11 Questão 10 Qualquer ponto da superfície terrestre pode ser associado a um par (x, y), sendo x a longitude e y a latitude. Por exemplo, pontos sobre o Equador são da forma (x, 0º). Assumindo que a Terra seja perfeitamente esférica com raio igual a 6400 km, um móvel que se desloque de um ponto de coordenadas (60º, 0º) a um ponto de coordenadas (60º, 60º) terá percorrido uma distância aproximada de: a) 1100 km b) 3200 km c) 6400 km d) 9600 km e) km Resposta: C Ao se deslocar do ponto (60º, 0º) para o ponto (60º, 60º), o móvel está se deslocando sobre um meridiano. Portanto, percorre um arco de circunferência cujo raio é o próprio raio da Terra. Como este arco é de 60º, seu comprimento é dado por: 60º C = 2 π R 360º 1 C = 2 π Usando a aproximação π = 3, tem-se: 1 C = C = 6400 Portanto, o móvel percorre uma distância aproximada de km.