Palavras-Chave: Sistema de Posicionamento Global. Sistemas de Localização Espacial. Equação de Superfícies Esféricas.

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1 METODOS MATEMÁTICOS PARA DEFINIÇÃO DE POSICIONAMENTO Alberto Moi 1 Rodrigo Couto Moreira¹ Resumo Marina Geremia¹ O GPS é uma tecnologia cada vez mais presente em nossas vidas, sendo que são inúmeras as suas possibilidades de aplicação. Diante desta constatação e ciente de que se devem promover investigações que visam compreender o meio no qual estamos inseridos, o presente trabalho tem como objetivo abordar possíveis conteúdos matemáticos necessários para a compreensão do funcionamento do Sistema de Posicionamento Global (GPS), bem como, também são apresentados elementos referentes aos fatos históricos que promoveram o desenvolvimento e aperfeiçoamento do GPS, sua aplicabilidade na atualidade. Com a realização do presente trabalho tornou-se possível constatar quanto a matemática está envolvida no funcionamento do GPS, sobretudo, de alguns tópicos da Geometria Analítica, tais como: equação de superfícies esféricas e sistemas de localização no espaço. Palavras-Chave: Sistema de Posicionamento Global. Sistemas de Localização Espacial. Equação de Superfícies Esféricas. 1 INTRODUÇÃO O Sistema de Posicionamento Global (GPS) trata - se de uma tecnologia cada vez mais presente em nosso cotidiano. Além de sua aplicação óbvia na aviação e na navegação 1 Unijuí MBA em Matemática Aplicada. (55)

2 marítima, qualquer pessoa que queira saber sua posição, encontrar seu caminho para determinado local, conhecer sua velocidade e direção de seu deslocamento, pode se beneficiar desse sistema. Agrimensores diminuem custos e obtêm levantamentos precisos mais rapidamente com o GPS. Com a popularização do GPS, um novo conceito surgiu na agricultura: a agricultura de precisão. Uma máquina agrícola dotada de receptor GPS armazena dados relativos à produtividade em um cartão magnético que, tratados por programa específico, produz um mapa de produtividade da lavoura. As informações permitem também aperfeiçoar a aplicação de corretivos e fertilizantes. Lavouras americanas e européias já utilizam o processo que tem enorme potencial em nosso país. Diante das inúmeras possibilidades de aplicação desta tecnologia que esta cada vez mais presente em nosso meio, propõe-se a realização do presente trabalho com o intuito de compreender seu funcionamento e constatar possíveis contribuições da matemática. Nesse contexto, o presente trabalho é organizado de modo a apresentar, alguns aspectos ligados a história de seu surgimento e aperfeiçoamento, suas aplicabilidades, alguns conceitos matemáticos necessários para a compreensão do funcionamento do GPS e a realização de simulação do cálculo de uma posição, com o auxílio do software Maple. GPS E SEU FUNCIONAMENTO O sofisticado sistema que tornou realidade no início da década de l960, sob o nome de 'Projeto NAVSTAR'. O sistema foi declarado totalmente operacional apenas em l995. Seu desenvolvimento custou, na época, 10 bilhões de dólares. Consiste de 4 satélites que orbitam a Terra, a aproximadamente km, duas vezes por dia e emitem sinais simultâneos de rádio codificados. Testes realizados em 197 mostraram que a pior precisão do sistema era de 15 metros. A melhor, 1 metro. Preocupados com o uso inadequado, os militares americanos implantaram duas opções de precisão, para usuários autorizados (eles mesmos) e usuários não-autorizados (civis). Os receptores GPS de uso militar tinham precisão de 1 metro e os de uso civil, de 15 a 100 metros. (55)

3 Cada satélite do GPS transmite por rádio um padrão fixado que é recebido por um receptor na terra. Como outros sistemas de rádio-navegação, todos os satélites enviam seus sinais de rádio exatamente ao mesmo tempo, permitindo ao receptor avaliar o lapso entre emissão/recepção. Receptores GPS em qualquer parte do mundo mostrarão a mesma hora, minuto, segundo, até milissegundo. A hora-padrão é altamente precisa, porque cada satélite tem um relógio atômico, com precisão de um nano-segundo. A precisão do tempo é essencial na operação do GPS, pois um erro de um micro segundo desde a transmissão até a sua recepção, resulta num erro de 300 metros. ( ALVES 007). O receptor mede a diferença entre o tempo que o padrão é recebido e o tempo que foi emitido. Esta diferença, não é mais do que um décimo de segundo, assim o receptor pode calcular a distância do satélite emissor multiplicando-se a velocidade do sinal, que é de aproximadamente, x10 8 m/s (a velocidade da luz), pelo tempo que o sinal de rádio levou do satélite ao receptor. Essa informação localiza uma pessoa sobre uma imaginaria superfície esférica com centro no satélite e raio igual à distância anteriormente calculada. Cada satélite também é programado para emitir a efeméride, que informa a sua posição, naquele instante, em relação a um sistema ortogonal de coordenadas. Tal posição é permanentemente rastreada e conferida pelas estações terrestres de controle. A unidade receptora processa esses sinais e, com a posição do satélite e a distância anteriormente calculada, obtém a equação de superfície esférica imaginaria com centro no satélite e raio igual à distância do satélite ao receptor, para cada um dos satélites rastreados. Coletando-se sinais emitidos por no mínimo quatro satélites, o receptor determina o ponto de interseção das superfícies esféricas, que fornece as coordenadas geográficas (latitude, longitude e elevação) do usuário do receptor. FIGURA1: Sistema de controle do GPS Fonte: C:\Users\User\Documents\GPS TCC\gps i.gif (55)

4 3 CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS NO GPS Os principais conceitos matemáticos envolvidos no funcionamento do GPS são os de superfícies esféricas e sistemas de coordenadas, os quais são abordados neste capítulo. 3.1 Superfícies Esféricas Denomina-se superfície esférica o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que distam de uma distância r (denominada raio) de um ponto denominado centro. Logo, para demonstrar a forma geral da equação de uma superfície esférica faz-se necessário, primeiramente, compreender o cálculo de distância entre dois pontos do espaço. Considerando um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, a distância de qualquer ponto P ( x, y, z) do espaço à origem O (0,0,0), pode ser determinada mediante a aplicação do teorema de Pitágoras, primeiramente no triângulo retângulo OAB e posteriormente no triângulo OBP; Logo, tem-se; d( P, O) z x y. Da mesma forma, pode-se demonstrar que a distância entre dois pontos M x, y, ) e N x, y, ) quaisquer é; ( z d( M, N) ( x z. x1 ) ( y y1) ( z 1) ( 1 1 z1 (55)

5 Assim sendo, considerando P ( x, y, z) qualquer ponto de uma superfície esférica de centro C x, y, ) e raio r, então P satisfaz a equação; ( 0 0 z0 ( x r x0 ) ( y y0) ( z z0), que corresponde a equação reduzida da superfície esférica. Desenvolvendo os quadrados obtém-se a equação geral, que pode ser escrita na forma; x y z ax by cz d 0, em que, a x 0, b y 0, c z 0, e, d x. 0 y0 z0 r 3. Coordenadas Geográficas No globo terrestre a localização de um determinado ponto é dada em termos de coordenadas geográficas, são elas: latitude, longitude e elevação. A latitude de um ponto P é a medida do arco meridiano que passa por P situado entre o paralelo que contém P e o Equador. A latitude é expressa em graus, minutos e segundos e se mede de 0º a 90º N (norte) ou de 0º 90º S (sul). A longitude de um ponto P é a medida do arco de paralelo que passa por P situado entre o meridiano que contém P e o meridiano de Greenwich. A longitude é expressa em graus, minutos e segundos e se mede de 0º a 180º E (leste) ou de 0º a 180º W (oeste). E, a elevação normalmente é associada à altura em relação ao nível do mar. (55)

6 Figura : Latitudes e Longitudes Entretanto, é possível estabelecer relações entre as coordenadas geográficas e as coordenadas cartesianas. Para tanto consideremos um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas com origem O no centro da Terra, o eixo Oz positivo apontado na direção do Pólo Norte N, o eixo Ox positivo cortando o meridiano de Greenwich e o eixo Oy positivo cortando o meridiano de longitude 90º E. Assim sendo, dado um ponto P ( x, y, z) situado na superfície terrestre, têm-se os ângulos assinalados na figura a seguir; Os ângulos e acima indicados correspondem exatamente a latitude e longitude do ponto P, conforme definidos anteriormente. A distância entre os pontos O e P é dada por; d ( P, O) x y z Estabelece a elevação do ponto. No triangulo retângulo 0PB da figura anterior, tem-se ainda: (55)

7 z sen. x y z Expressão essa, que atribui a um único valor entre 0º e 90º quando z > 0 e um único valor entre 90º e 0º quando z < 0. No primeiro caso dizemos que a latitude de P é N, enquanto que no segundo a latitude de P é (- ) S. E, no triângulo retângulo OAC, tem-se; y x sen e cos. x y x y Estas expressões definem um único valor entre 0º e 180º quando y > 0 e dizemos que a longitude de P é E. Quando y < 0, assume um único valor entre -180º e 0º e, neste caso, a longitude de P é (- ) W. 4 SIMULANDO A LOCALIZAÇÃO DE UM PONTO Com o intuito de simular a localização de um ponto, conforme realizada pelo GPS, consideremos um receptor que recebe as seguintes efemérides (em metros) de um conjunto de quatro satélites. X Y Z Satélite 1 1, x -1, x, x Satélite 1, x -1, x, x Satélite 3, x -4, x 9, x Satélite 4 3, x 7, x, x O mesmo receptor GPS também registra os seguintes lapsos de tempo (em segundos), entre a transmissão e a recepção do sinal de cada satélite. Satélite 1 Satélite Satélite 3 Satélite 4 0, , , , Assim sendo, optou-se ainda por realizar os cálculos necessários com a utilização do Software Maple. Para tanto, realizou-se as seguintes etapas: 1) Dar entrada as efemérides de cada satélite. (55)

8 ) Dar entrada aos tempos entre a transmissão e a recepção do sinal de cada satélite; 3) Determinar as distâncias entre os satélites e o receptor (multiplicando os respectivos 8 tempos entre a transmissão e a recepção pela velocidade da luz,, m/s); 4) Determinar as equações gerais das superfícies esféricas de centro em cada um dos quatro satélites e raio igual às respectivas distâncias ao receptor; 5) Realizar o cálculo do ponto de interseção das superfícies esféricas, f, f f Assim sendo, obtêm-se as coordenadas: X := Y := Z := ) Realizar o cálculo das coordenadas Geográficas; Assim sendo, obtêm-se as coordenadas geográficas: LATITUDE := LONGITUDE := ELEVACAO := -.05 f ; 1 3, Transformando as coordenadas geográficas em graus, minutos e segundos, tem-se: Latitude: 5º46 37 N; Longitude: 9º48 8 E; degrees degrees 4 Elevação: 0,05 metros (ao nível do mar); E, observando essas coordenadas na Figura 4.1, apresentada anteriormente, observa-se que se trata de um ponto situado no continente africano. Dando continuidade à simulação, optou-se ainda por representar graficamente as equações das superfícies esféricas obtidas anteriormente, também com o auxílio do software Maple. (55)

9 FIGURA3: Gráfico 3D de simulação de posicionamento Fonte: Do autor Entretanto o gráfico apresentado anteriormente, não fornece a clareza necessária. Logo, optou-se ainda por representar o corte transversal a este gráfico em z 0, ou seja, no plano xoy que corresponde ao plano que contém a linha do Equador. (55)

10 FIGURA 4: Gráfico D de simulação de posicionamento Fonte: Do autor Deste modo, fica evidente a localização do ponto mediante a intersecção das três superfícies esféricas (circunferências no corte transversal) e, consequentemente, comprova o funcionamento do GPS mediante o procedimento descrito neste trabalho. 5 CONCLUSÃO Ao finalizar este trabalho de conclusão de curso fica a certeza de que a Matemática está muito mais presente em nosso cotidiano do que nós mesmos podemos imaginar. Igualmente, também não se pode imaginar o enorme avanço tecnológico que vivenciamos a cada dia, sem que esta ciência se faça presente. É importante, que estas tecnologias que tanto faz uso da Matemática, também sejam utilizadas como meios facilitadores da aprendizagem dos conteúdos envolvidos. E, para isso, é necessário, primeiramente, que o professor de matemática tenha conhecimento do seu funcionamento, bem como, dos conteúdos matemáticos envolvidos. Fato esse, que por si só justifica a importância da realização do presente trabalho envolvendo o estudo do GPS. Atualmente os receptores de GPS estão cada vez mais acessíveis à população em geral e, possibilitam uma vasta gama de aplicações que vão deste a obtenção e observação de rotas (55)

11 para viagens à agricultura de precisão. Entretanto, o seu funcionamento é um mistério para grande parcela da população. O GPS opera através de sinais codificados enviados dos satélites aos receptores GPS. Os sinais codificados informam as efemérides (coordenadas de localização) do satélite e possibilitam o cálculo do tempo entre a emissão e a recepção do sinal. De posse desses dados, o receptor calcula a distância ao satélite e, determina a equação da superfície esférica que tem como centro o satélite e como raio a sua distância ao receptor. Dispondo de quatro ou mais superfícies esféricas (quatro ou mais satélites) é possível determinar o ponto de interseção entre as superfícies, o qual corresponde à localização do receptor. Assim sendo, o estudo do funcionamento do GPS pode constituir um meio interessante para se introduzir alguns conceitos de Geometria Analítica, sobretudo, da superfície esférica e dos sistemas de localização. REFERÊNCIAS ALVES, Sergio. A geometria do globo terrestre. Programa de iniciação cientifica da OBMEP, Imprinta Express gráfica e editora ltda: Rio de Janeiro, 007. GPS SISTEMA DE POSICIONAMENTO GLOBAL. Disponível em Acessado em 03 de novembro de 010. GPS DISPONIVEIS NO MERCADO. Disponivel em Acessado em 03 de novembro de 010. GPS Acessado em 03 de novembro de 010. HISTORIA DO GPS. Disponível em Acessado em 03 de novembro de 010. PAZ. M. Sergio; Cugnasca. E. Carlos, O sistema de posicionamento global (GPS) e suas aplicações. (55)

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