Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

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1 Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) III Resolução de sistemas lineares por métodos numéricos. Objetivos: Veremos nessa aula alguns métodos numéricos (diretos e iterativos) para resolvermos sistemas de equações lineares. 1. Introdução A resolução de sistemas lineares é um problema que surge nas mais diversas áreas (ex. previsão do tempo, otimização de sinais de transito e linhas de metro, mecânica quântica, etc..). Exemplo 1. Considere, por exemplo, o problema de determinar as componentes horizontal e vertical das forças que atuam nas junções da treliça abaixo (ex. ponte de ferro). 45º Para isto, temos de determinar as 17 forças desconhecidas que atuma nesta treliça. As componentes da treliça são supostamente presas nas junções por pinos, sem fricção. Um teorema da mecânica elementar nos diz que, como o número de junções j está relacionado ao numero de componentes m por 2j = m, a treliça é estaticamente determinante: isto significa que as forças componentes são determinadas completamente pelas condições de equilíbrio estático nos nós. Sejam F x e F y as componentes horizontal e vertical, respectivamente. Fazendo α = sen (45º) = cos (45º) e supondo pequenos deslocamentos, as condições de equilíbrio são: III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 1

2 Portanto, para obter as componentes perdidas é preciso resolver esse sistema linear que tem 17 variáveis: f 1, f 2, f,..., f 17 e 17 equações. onde III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 2

3 onde A é a matriz (m,n) dos coeficientes, x é o vetor (n linhas) das variáveis e b (m linhas) é o vetor das constantes. Chamaremos de x* o vetor solução de x, uma solução aproximada do sistema linear Ax=b. No capitulo anterior a solução aproximada era chamada de x. A formulação matricial do sistema Ax=b do Exemplo 1, que será resolvida no final desta aula é dada por: α = sen (45º) = cos (45º) Analisemos a seguir, através de exemplos com das equações e duas variáveis as situações que podem ocorrer com relação ao numero de soluções de um sistema linear: Retas concorrentes (cruzam-se) Retas coincidentes Retas paralelas III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling

4 OBS: Mesmo no caso geral em que o sistema linear envolve m equações e n variáveis, apenas uma entre as situações abaixo ira ocorrer: No caso em que m=n=2 (visto acima), este fato foi facilmente verificado através dos gráficos das retas envolvidas no sistema. Contudo, para analisar o caso geral, m equações e n variáveis, usaremos conceitos de Álgebra linear. Veremos nesta aula alguns métodos numéricos para resolução de sistemas lineares do tipo n x n (n equações e n incógnitas; Matriz quadrada A n n ) 5.2. Métodos diretos Matriz inversa de A: A A -1 = 1 (identidade) III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 4

5 5.2.1 Método da eliminação de Gauss Etapa 0: Matriz sanduíche x 4 + x 5 = x 4 + x 5 = x 4 + x 5 = x 4 + x 5 = x 4 + x 5 = Etapa 1, 2,,... : Eliminação Diagonal principal: Posição dos pivos ( L i L i m ik L k onde m ik = a ik / a kk ) Etapa Final: Solução do sistema (de baixo pra cima) x 4 + x 5 = + + x 4 + x 5 = + x 4 + x 5 = x 4 + x 5 = x 5 = x* = = x 4 x 5 remos III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 5

6 Somente zeros! III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 6

7 a seguir: - Procedimentos para triangularizar uma matriz e estratégias para o pivoteamento. Ex. L 1 L 5 Ex. L 8L Ex. L 2 L 2-5L 1 etapa k. Etapa 0: Escrever a matriz dos coeficientes junto do vetor das constantes: Matriz sanduíche. III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 7

8 Etapa 1: Eliminação dos elementos a j1 (j=2,..., n), também chamada de 1º pivoteamento. Linha do pivô Fator multiplicador m Operações aritméticas com as linhas ik a ( k 1) ik = ( k 1) akk Elemento a ser zerado Pivô Etapa = = = = = = = = 5 Etapa 2: Eliminação dos elementos a j2 (j=,..., n), também chamada de 2º pivoteamento. Linha do pivô III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 8

9 X = 0 Loop 1 (Triangularização) Loop Loop 2 já triangularizado! ALGORITMO 1 Bem menor que o método de Kramer: 2(n+1) n! (n-1) Elemento a ser zerado em cada etapa k do processo. Pivô III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 9

10 Para se contornar estes problemas devemos adotar uma estratégia de pivoteamento ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal. ESTRATEGIA DE PIVOTEAMENTO PARCIAL Esta estratégia consiste em: (de uma dada coluna) Exemplo Consideremos uma matriz 4 4 após a primeira etapa de pivoteamento: Este elemento é o maior desta coluna, em modulo. (-1/) (-2/) Em seguida fazemos as operações: L L m 2 L 2 ; L 4 L 4 m 42 L 2 e o processo continua até triangularizarmos a matriz dos coeficientes. III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 10

11 Leitura complementar Obs. Nesse caso temos que inverter a posição das incógnitas na matriz das incógnitas também! Ex. a i =(a 1 a 4 a a 2 ) T das incógnitas também! Deve-se inverter a posição das incógnitas na matriz Exemplo 4 Consideremos o sistema linear dois Usamos a notação de ponto flutuante! r= ± 0.d 1 d 2 10 e III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 11

12 Então: Etapa 0 Matriz sanduíche Eliminação dos elementos a j1 (j=2,..., n); 1º pivoteamento. Etapa 1 = 0 ou x = lembrando que nosso sistema original era: III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 12

13 Usando agora a estratégia de pivoteamento parcial (e ainda a aritmética de 2 dígitos), o nosso sistema original: fica como: Etapa 0 Matriz sanduíche após o pivoteamento parcial (troca de Etapa 1 Eliminação dos elementos a j1 (j=2,..., n); - 1º No caso anterior tinha dado zero! e III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 1

14 Exercício 1. Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método direto de eliminação de Gauss (com pivoteamento e triangularização da matriz dos coeficientes). Use a técnica de pivoteamento parcial se necessário (se o pivô for zero). a) b) c) Compare os resultados com o programa VCN_5p1.exe III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 14

15 5.. Métodos Iterativos em uma das aulas anteriores. TESTES DE PARADA Valor máximo < ε III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 15

16 5..1 Método Iterativo de Gauss-Jacobi Para os métodos iterativos os pivôs de cada (elementos da diagonal principal) coluna DEVEM ser 0! Isolamos Isolamos Isolamos x n e III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 16

17 Exemplo 5 Resolva o sistema linear abaixo pelo mét. de Gauss-Jacobi com Chute inicial Precisão do cálculo numérico O processo iterativo é o seguinte: Obs. x = Ou ainda: III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 17

18 máx Prosseguindo com as iterações temos: Para k =1: Para k=2: OK! Satisfaz o critério de parada!!! OBS: III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 18

19 TEOREMA 4: Critério das linhas Somatório dos elementos da linha k (exceto o pivô) Pivô da linha k Exemplo 6 Analisando a matriz A do sistema linear do exemplo anterior: Lembremos que: Outros elementos Pivô Exemplo 7 III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 19

20 Exemplo Método Iterativo de Gauss-Seidel Pivô da coluna 1 Pivô da coluna 2 Essa eq. é igual ao do método de Gauss-Jacobi III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 20

21 Exemplo 9 Resolva o sistema linear abaixo pelo mét. de Gauss-Seidel com Chute inicial Precisão 5/5 1/5 1/5 6/4 /4 1/4 0/6 /6 /6 (0) (0) (0) Lembremos que nesse caso ε = = 0.05 III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 21

22 Continuando as iterações obtemos: OK. Satisfaz o critério de parada!!! Preparação = 1 ( ) III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 22

23 x 0 da figura abaixo III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 2

24 Obs. Nesse caso trocamos L 1 L 2 III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 24

25 Definimos e Igual ao α 1 do critério das linhas! III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 25

26 Somas dos outros elementos da linha 1 (sem o pivô). Pivô da linha 1 Pivô da linha J Se < 1 o método de Gauss-Seidel geral uma seqüência convergente qualquer que seja x (0). Alem disso, quanto menor for o valor de β mais rápida será a convergência. Obs. Exemplos de β 2 e β de uma Matriz A:x Exemplo β 2 = a 21 β1+ a a 22 2 β = a 1 β1+ a a 2 β 2 Lembremos que nesse caso: temos: a 12 + a1 + a β1 = a 11 a 21 β1+ a2 + a β2 = a β β 4 a 1 β1+ a2 β2 + a = a a = 41 β1+ a42 β2 + a a β Nesse caso β = max β j = 0.7 < 1. Portanto o critério de Sassenfeld foi satisfeito e o método de Gauss-Seidel gerara uma seqüência convergente. III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 26

27 Exemplo Seja o sistema linear ao lado Lembremos que nesse caso: a 12 + a β1 = a a 21 β1+ a β2 = a a β = β1+ a a β 2 Considerações finais III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 27

28 Exemplo Exemplo Exemplo III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 28

29 12005 iterações!!!! Exercício resolvido mostrando uma comparação entre dois métodos iterativos Calcule as duas primeiras iterações dos métodos Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel do sistema linear abaixo: = = = 5 (0) 1 Use como chute inicial o vetor (matriz coluna) x (0) = x (0) 2 = 2 (0) Etapa inicial Isolar os x i de cada linha i e escrever o sistema de equações equivalentes = 7 = = = 5 = = Abaixo temos um diagrama mostrando de forma esquemática a dependência de cada um dos termos nas três primeiras iterações de uma matriz A:x dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. (0) Método de Gauss-Jacobi () (0) Método de Gauss-Seidel () (0) () (0) () (0) () (0) () III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 29

30 Segue abaixo exemplos para o calculo das três primeiras iterações (x, x e x () ) pelo método de Gauss-Jacobi usando como chute inicial: = (+ 7 2 (0) + 9 (0) )/4 = 7.50 = (+ 5 (0) + 8 (0) )/(-6) = = ( 5 1 (0) + 2 (0) )/(15) = -0.1 = ( )/4 =.882 = ( )/(-6) = = ( )/(15) = () = ( )/4 = () = ( )/(-6) = () = ( )/(15) = x = x 2 = x = x 2 = x () = x () 2 = () () Segue abaixo exemplos para o calculo das três primeiras iterações (x, x e x () ) pelo método de Gauss-Seidel usando como chute inicial: = (+ 7 2 (0) + 9 (0) )/4 = 7.50 = ( (0) )/(-6) = 1.75 = ( )/(15) = = ( )/4 = = ( )/(-6) = = ( )/(15) = x = x 2 = x = x 2 = () = ( )/4 = () = (+ 5 () + 8 )/(-6) = () = ( 5 1 () + 2 () )/(15) = x () = x () 2 = () Obs: No exemplo anterior não fizemos nenhum teste para saber se os métodos iterativos teriam convergência assegurada ou não. Na prática antes de utilizarmos esses métodos numa maquina digital verificamos se o critério das linhas é satisfeito (no caso da utilização o método de Gauss-Jacobi) ou o critérido de Sassenfeld (no caso da utilização do método de Gauss-Seidel). () III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 0

31 Exercícios propostos Verifique se a matriz dos sistemas abaixo tem convergência garantida pelos métodos numéricos iterativos. Dica: Aplique os critérios de linhas e de Sassenfeld. a) b) c) 4 x = 1 +4 =1 + 4 x 4 = 1 +4x 4 =1 Para os sistemas acima que tiverem convergência garantida encontre as 4 primeiras iterações usando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. No caso do sistema que não tenha convergência garantida, o que poderíamos fazer para que ele tivesse convergência garantida nos métodos numéricos estudados? III Resolução de Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Dr. Sergio Pilling 1