Sessão Saber profundo Contribuição dos xs (

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1 Sessão Saber profundo Contribuição dos xs ( Carlos H. Domenech e Patrícia Fonseca Em 0 palavras ou menos Durante a etapa Analisar do DMAIC o Belt usualmente deseja determinar a % de contribuição dos xs sobre certo y Isto é fácil quando se trabalha com dados experimentais balanceados, não assim quando dispomos de dados históricos Neste caso pode-se usar o critério de Taguchi simulando dados balanceados O Histo DOE é um MBB que gosta muito do LSS, do pensamento crítico, do pensamento estatístico e do estabelecimento de metas BHAGs (Big, Hairy, Audacious Goals, metas grandes, cabeludas e audaciosas) na notação de James Collins (Feitas para durar, 2007). Ele procura o Saber Profundo do Dr. Deming. Neste artigo da série Saber Profundo tratamos do seguinte problema. Imagine o processo de uma indústria metalúrgica da Figura 1 com três variáveis de entrada e uma de saída. Como determinar quais são as variáveis xs que têm efeito sobre y, além do tamanho dessa contribuição? O Belt desavisado responderá prontamente: isso é bico, uso regressão múltipla e determino a contribuição usando a tabela ANOVA!. Veremos que há solução para o problema, mas que não é tão simples assim. É bom simplificar, conforme mencionamos em um artigo da série, mas a simplificação sem saber profundo pode ser desastrosa! Este artigo foi motivado por um questionamento de um grande amigo, Wendell Lima da empresa Kinross. = Teor elemento A x2 = Teor elemento B y = rendimento metalúrgico x = Teor elemento C Figura 1 Processo em estudo com três variáveis xs e uma variável y Algumas questões para que você pense antecipadamente: 1) Posso determinar a contribuição com dados históricos, normalmente desbalanceados? 2) Como faço isto no Minitab? ) Para determinar de forma apropriada essa contribuição é melhor que os xs estejam sob controle? Ou não? ) Uma vez que determino as contribuições dos xs, posso usar esta informação para escolher especificações realísticas dos xs? Neste artigo tratamos das questões 1) a ). Deixamos a questão ) para outra oportunidade.

2 Descrição do método 2 A tabela 1 tem uma visão parcial de dados históricos relacionados com a Figura 1 (n = 792 dados). Tabela 1 Visão parcial dos dados utilizados no artigo (ilustração na Figura 1). Dados de jan a dez/20 Data =Teor A x2=teor B x=teor C Rendimento 1/1/20 0:00 1, 0,12 2, 89,2 1/1/20 2:00 1,07 0,12,09 89,2 1/1/20 :00 1,0 0,09 7,02 91,9 1/1/20 :00 0,87 0,09,99 89,7 1/1/20 8:00 0,7 0,0,19 91,91 1/1/20 :00 0,8 0,07 9,17 92,09 1/1/20 12:00 0,7 0,09 7,00 8,9 1/1/20 1:00 0,92 0,08,11 91,09 1/1/20 1:00 1,22 0,1 2,12 8,9 2/1/20 2:00 1,0 0,17 7,1 8, 2/1/20 :00 1,21 0,1 2,9 8,72 2/1/20 :00 1,19 0,19 7,78 8,0 2/1/20 8:00 0,9 0,1 2,72 8,9 2/1/20 :00 1,0 0,1 1, 88,0 2/1/20 12:00 1,9 0,2 8,1 8,9 2/1/20 1:00 0,8 0,1 9,17 8,9 2/1/20 1:00 0,9 0,,00 88,99 2/1/20 18:00 1,08 0,12,9 89, 2/1/20 20:00 1,22 0,1,2 89,7 2/1/20 22:00 0,9 0,12,82 87,91 /1/20 0:00 1,01 0,18 0,97 82,2 /1/20 2:00 1,0 0,18,22 8,19 /1/20 :00 1,8 0,19 1,08 8, /1/20 :00 1,22 0,18 9,09 8, /1/20 8:00 0,92 0,17,17 81,9 : : : : : A Figura 2 tem um gráfico de dispersão para visualizar valores extremos e relações entre os xs ou entre os xs versus ys (Graph\Matrix Plot\Simple). Há uns poucos valores baixos de Rendimento que podem ser eliminados.

3 Matrix Plot of Rendimento; =Teor A; x2=teor B; x=teor C 0,0 1,, Rendimento 0,0 1, =Teor A 0,0 0, x2 =T eor B 0,2 0,0 0 x =T eor C ,0 0,2 0, Figura 2 Matriz de diagrama de dispersão dos dados do exemplo A seguir exploramos o mapa mental da Figura. Nesta figura a palavra chave é balanceamento (dos dados). A Figura ilustra os conceitos de plano balanceado e não balanceado. Num plano balanceado os níveis dos fatores se combinam de uma forma equilibrada. Isto somente vai acontecer em estudos experimentais ou estudos de fontes de variação (tipo RR). Cuidado com o uso da contribuição usando soma de quadrado sequencial (Seq SS) ou soma de quadrado ajustada (Adj SS) no Minitab Plano balanceado? 2) Escolher domínio conforme Taguchi ) Escolher domínio conforme histórico OK! Como quantificar a importância do x sobre y? 1) Dados históricos? (não balanceados) Não OK Ajustar equação Figura Mapa mental para o cálculo da contribuição de fatores xs sobre y

4 Plano balanceado. Exemplo: DOE Plano não balanceado. Exemplo: dados históricos Obs x2 x Obs , 12 1, 8 x2, x ,0, x2 90,0 x x Figura Ilustração de um plano balanceado (tipo DOE) e um plano não balanceado (dados históricos) O maior problema para determinar a contribuição dos xs sobre o y aparece quando os dados são desbalanceados. Nesta situação não há uma forma simples de distribuir a variabilidade total do y entre os xs para determinar a contribuição de cada um. O mapa mental da Figura sugere que você não use os resultados obtidos com dados históricos diretamente. Você vai obter resultados muito contraditórios usando este enfoque. Explicamos as alternativas da Figura a seguir. 1) Uso de dados históricos O problema dos dados históricos é o seu desbalanceamento, como foi mencionado previamente. Usando o procedimento de regressão múltipla no Minitab iremos obter resultados diferentes conforme a ordem de entrada das variáveis no modelo. Usaremos o procedimento Minitab Stat\ANOVA\General Linear Model. Entraremos lá com as variáveis conforme a Figura. Adicionamos somente a interação entre e x2 porque já vimos previamente que ela é significativa (p-value < 0,01). O procedimento nos mostra os resultados da Tabela 2. O valor da soma em negrito foi agregado por nós somente para mostrar que a soma da coluna Adj SS não é igual à soma de quadrados total. Por este motivo não é valido determinar a contribuição usando esta coluna. A partir da Tabela 2 se pode determinar a contribuição da seguinte forma (usando a coluna Seq SS): Contribuição devida a = (2.9+91/2)/20.02 = 1,% Contribuição devida a x2 = (1.9+91/2)/20.02 = 72,% Contribuição devida a x = /20.02 = 0,0% Se determinássemos a contribuição usando a coluna Adj SS os valores obtidos seriam: Contribuição devida a = ( /2)/ =,2% Contribuição devida a x2 = ( /2)/ = 7,0% Contribuição devida a x = 7/ = 0,0% x2

5 Figura Uso do procedimento Stat\ANOVA\General Linear Model do Minitab para determinar a contribuição dos fatores (xs) Tabela 2 Tabela ANOVA entrando os termos do modelo na ordem da tabela abaixo Source DF Seq SS Adj SS =Teor A 1 2.9,0.18,0 x2=teor B 1 1.9,0 7.02,0 x=teor C 1,0 7,0 =Teor A*x2=Teor B 1.91,0.91,0 Error , ,0 Total , ,0 Se mudarmos a ordem de entrada dos termos do modelo na janela Model do menu do Minitab, os resultados da coluna Seq SS mudam. As somas de quadrado da coluna Adj SS não mudam, mas esta coluna não deveria ser usada porque a soma de quadrados total não é igual à soma de quadrados total real (= 20.02). Por exemplo, para a ordem de entrada: =Teor A*x2=Teor B, =Teor A, x=teor C, x2=teor B, os resultados ficam como na Tabela. Veja que as contribuições (usando Seq SS) mudam radicalmente (este fato já é conhecido em estatística): Contribuição devida a = 1,0% (antes 1,%) Contribuição devida a x2 = 2,8% (antes 72,%) Contribuição devida a x = 0,0% (antes 0,0%). Tabela Tabela ANOVA entrando os termos do modelo numa outra ordem Source DF Seq SS Adj SS =Teor A*x2=Teor B =Teor A x=teor C x2=teor B Error Total

6 A Figura mostra que se pode obter a contribuição que quiser escolhendo uma ordem adequada de entrada dos termos no modelo. Para comparação foram adicionadas também as contribuições calculadas com a coluna Adj SS. A contribuição de muda de,% até 71,1% enquanto que a contribuição de x2 muda de 28,9% até 9,%. Legal, não? Qual você quer? % 90% % Contribuição (%) 70% 0% 0% 0% 0% 20% % Seq SS-1 Seq SS-2 Seq SS- Seq SS- Seq SS- Seq SS- Adj SS-1 0% =Teor A x2=teor B x=teor C Figura As contribuições dos fatores mudam conforme a ordem que eles são introduzidos no modelo 2) Uso de dados balanceados Escolha do domínio a partir do enfoque Taguchi O que fazer? Voltemos ao mapa mental da Figura. Neste artigo foi escolhido um exemplo para o qual se dispões da equação do Rendimento a partir dos xs: x% Rendimento% = x % (x%- x2%) ( %- x2% ) Isso vai permitir ilustrar todos os conceitos com certa precisão. Iremos considerar formas de determinar a contribuição com plano balanceado: Ajustamos a equação a partir dos dados históricos, como se não tivéssemos a equação real do fenômeno (é o caso mais comum!). Usamos um plano balanceado em que os níveis dos xs são definidos usando um enfoque de Taguchi Usamos a equação real e um plano balanceado com níveis definidos pelo enfoque de Taguchi Usamos a equação real e um plano balanceado com níveis definidos a partir do histórico (usualmente estes níveis vão possuir um domínio mais largo que o enfoque de Taguchi)

7 7 Enfoque de Taguchi para medir a contribuição dos xs Quando se estima a contribuição de um x sobre y, deseja-se simular o que acontecerá no processo quando esta variável x segue um comportamento estável (Figura 7). X 1 y X 2 X Figura 7 Três variáveis críticas do processo influenciando a variável y Há alguns problemas para medir a contribuição dos xs nesta situação: a) Queremos simular um processo estável com distribuição aproximadamente normal de seus xs, mas b) Também necessitamos um plano balanceado dos valores xs para usar a técnica de ANOVA para calcular a contribuição (Figura 8). = 27 runs IV IPA DEG Figura 8 Plano balanceado para estimar a contribuição dos xs Como satisfazer ao mesmo tempo estes dois aspectos? A idéia de Taguchi está baseada na seguinte questão: se a variação da variável x for Sx, como calcular os limites inferior e superior das variáveis xs (para um planejamento do tipo k ), de forma que o desvio padrão dos xs (nesse plano k ) seja Sx e a distribuição destes xs se assemelhe a uma distribuição normal? Pelo critério de Taguchi (1978) os níveis extremos dos xs são determinados (Figura 9): x ± SX 2 onde S x representa o desvio padrão da variável x, obtido a partir do histórico.

8 8 1,22S1 x 1 + 1,22S1 x2 1,22S 2 x2 x 2 + 1,22S 2 x2 x 1,22S x x + 1,22S O critério de Taguchi's para os xs... x...produz estimações da resposta que simula uma distribuição normal com desvio padrão S Figura 9 Aplicação do critério de Taguchi através da aplicação de DOE para determinação de tolerâncias dos xs A Figura tem os histogramas das variáveis, x2 e x com médias e desvios padrão. A partir destes valores médios e desvios padrão foram determinados os limites do DOE da Tabela. Histogram of =Teor A Normal Histogram of x2=teor B Normal Histogram of x=teor C Normal Mean 1,197 StDev 0, N Mean 0,17 StDev 0,00 N Mean 9,8 StDev 9,2 N Frequency Frequency Frequency , 0,8 1,2 1, 2,0 =Teor Pb alimentação 2, 2,8 0 0,00 0,07 0,1 0,21 0,28 x2=teor Pb resíduo 0, 0,2 0, x=teor Pb produto final Figura Histogramas de, x2 e x com média e desvio padrão Tabela Limites para determinar a contribuição dos xs pelo enfoque de Taguchi Variável Média aproximada S aproximado Limites Sx utilizados no 2 fatorial 1,2 0, 0,00 (0, ; 1,8) x2 0,17 0,08 0,12 (0,07 ; 0,27) x 0 9, 0,2 (8 ; 72) A partir destes limites geramos um fatorial e obtivemos os valores do Rendimento usando a equação do Rendimento (ver Tabela ). Usamos agora estes valores para ajustar o modelo de regressão múltipla com o procedimento Stat\ANOVA\ General Linear Model. A Tabela tem os resultados da ANOVA a partir da qual se podem obter as contribuições dos xs: Contribuição devida a =,% Contribuição devida a x2 = 0,% Contribuição devida a x = 0,0%. Estes são os valores mais corretos para medir a contribuição dos xs. Neste caso as somas de quadrado da coluna Seq SS serão as mesmas para qualquer ordem de entrada dos termos no modelo (a diferença da situação desbalanceada em que as somas de quadrado variavam conforme a ordem de entrada dos termos do modelo).

9 A soma das contribuições não é zero porque parte da variabilidade ficou por conta do erro (parte não explicada pelo modelo). Lembre que embora a equação seja conhecida, e desse modo o erro deveria ser zero, a equação ajustada foi uma equação linear com os termos, x2, x e *x2 (diferente da equação real). Tabela DOE com limites de Taguchi e dados gerados pela fórmula conhecida Ensaios =Teor A x2=teor B x=teor C Rendimento 1 0, 0, , 2 0, 0, , 0, 0, ,2 0, 0, ,92 0, 0, ,87 0, 0, ,8 7 0, 0,27 8,1 8 0, 0,27 0,2 9 0, 0,27 72,21 1,2 0,07 8 9,0 11 1,2 0,07 0 9, ,2 0, ,2 1 1,2 0,17 8 8,1 1 1,2 0,17 0 8,08 1 1,2 0, ,0 1 1,2 0, ,9 17 1,2 0, ,8 18 1,2 0, , ,8 0,07 8 9,2 20 1,8 0,07 0 9, ,8 0, , ,8 0, ,88 2 1,8 0, ,81 2 1,8 0, ,77 2 1,8 0,27 8 8,8 2 1,8 0,27 0 8,8 27 1,8 0, ,2 Tabela Resultados da ANOVA com os dados da Tabela (DOE com enfoque de Taguchi e dados da fórmula original Source DF Seq SS Adj SS =Teor A 1 117,1 0,00 x2=teor B 1 182,19 111,01 x=teor C 1 0,0 0,0 =Teor A*x2=Teor B 1 7,72 7,72 Error 22 1,00 1,00 Total 2 98,07 ) Uso de dados balanceados Escolha do domínio a partir do histórico Uma variante da situação anterior é determinar níveis dos xs (para o DOE) a partir dos valores extremos do histórico (Figura ). Os níveis usados neste caso estão a seguir e foram bastante mais largos que os usados com o enfoque Taguchi (Tabela ): : 0, 2, x2: 0,02 0,8 x: 0 7. A contribuição dos xs neste caso foi bastante semelhante à obtida com os limites definidos pelo enfoque Taguchi: Contribuição devida a = 1,0% (com Taguchi =,%) Contribuição devida a x2 = 1,% (com Taguchi = 0,%) Contribuição devida a x = 0,0% (idem Taguchi). 9

10 ) Uso de dados históricos para obter o modelo Escolha do domínio por Taguchi Os dados históricos (sem valores extremos) foram usados para determinar a equação do modelo. Neste caso estamos assumindo que não conhecemos a equação real do processo e será estimada a partir do histórico (situação mais real que as duas anteriores). O termo x ficou no modelo embora não ser significante somente para destacar que sua contribuição é nula. General Linear Model: Rendimento versus Term Coef SE Coef T P Constant 91,812 0,8 2, 0,000 =Teor A, 0,22 29,0 0,000 x2=teor B -119,79 1,09-79,09 0,000 x=teor C -0,007 0,0078-0,9 0,9 =Teor A*x2=Teor B 27,08 1,0 2, 0,000 S = 2,77 R-Sq = 8,8% R-Sq(adj) = 8,82% Esta equação foi usada para obter os valores de Rendimento do DOE da Tabela. Neste caso o Rendimento calculado foi diferente ao da Tabela porque não estamos usando a equação real, mas a equação estimada a partir do histórico. A Tabela 7 contém a tabela ANOVA. A partir desta tabela obtivemos as seguintes contribuições: Contribuição devida a =,8% Contribuição devida a x2 = 1,8 Contribuição devida a x = 0,0%. Tabela Resultados da ANOVA com DOE Taguchi e Rendimento estimado a partir de fórmula estimada com histórico Conclusões: Source DF Seq SS Adj SS =Teor A 1 8,2 21,0 x2=teor B 1 19,21 19,21 x=teor C 1 0,0 0,01 =Teor A*x2=Teor B Error 22 1, 1, Total ,1 A Figura 11 contém o resumo dos diferentes enfoques. Os enfoques corretos são os obtidos usando plano balanceado. Se tiver que determinar qual é a contribuição de fatores do seu processo sobre a variável y use um plano balanceado. Isto é válido tanto se você obtém os valores de y usando um DOE real ou se você obtém primeiro a equação com dados históricos e depois estima os valores de y usando os níveis de x do DOE.

11 11 Contribuição (%) % 90% % 70% 0% 0% 0% 0% 20% % Seq SS-1 Seq SS-2 Seq SS- Seq SS- Seq SS- Seq SS- Adj SS-1 DOE com limites históricos DOE com Taguchi DOE Taguchi com modelo aj 0% =Teor A x2=teor B x=teor C Figura 11 Comparação das contribuições usando enfoque desbalanceado (Seq SS-1 até Seq SS-), usando Adj SS-1 ou usando enfoque balanceado (DOE) Referências: Taguchi, G. (1978). Performance analysis design. Int. J. Prod. Res. 1 () p Carlos H. Domenech é Master Black Belt e Diretor da MID. Patrícia Fonseca é Consultora de sistemas de gestão da qualidade, Votorantim Zinco