Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:

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Ana Júlia Silveira Bentes
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1 Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: a) b) Resolução de sistemas lineares Metodo da adição ) Resolver o sistema O metodo da soma consiste em eliminar uma das incógnitas x ou y e desta forma trabalhar com a solução primeiro de uma incógnita e depois da outra. Para eliminarmos a incógnita x, por exemplo, devemos multiplicar os valores da primeira equação por (-2) e depois somar o resultado com a segunda equação Substituindo 22 çã obtemos o valor de x ; Metodo da substituição Resolver o sistema anterior pelo método da substituição O objetivo do método é o mesmo do metodo da adição, porem devemos isolar uma das incógnitas da primeira equação e substituí-lo na segunda equação Isolando x incógnita x

Para eliminarmos a incógnita x, por exemplo, devemos multiplicar os valores da primeira equação por (-2) e depois somar o resultado com a segunda equação.

2 Substituindo na segunda equação Substituindo o valor de y na primeira equação ; S(12;22) Representação gráfica Classificação dos sistemas lineares Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos. Sistema possivel e determinado: são os sistemas que possuem apenas uma solução ; 22 Este exemplo foi resolvido no ítem anterior. Note que no gráfico há um só ponto de intersecção entre as duas retas que representam a solução do sistema. Sistema possivel e indeterminado: são os sistemas que permitem infinitas soluções ; 2, 12; 4, 19; 11, Sistema impossível: são os sistemas que não tem soluções. Geralmente formado sor equações que se contradizem

devem ser resolvidos. Sistema possivel e determinado: são os sistemas que possuem apenas uma solução 4 100 2 3 90 12; 22 Este exemplo foi resolvido no ítem anterior.

3 12 20 ã çã Matrizes e resolução de sistemas Considere o sistema Temos associada as matrizes: incompleta e completa Representação matricial de um sistema Sistema : x y é a matriz incompleta dos coeficientes 6 4 x y é a matriz das incógnitas 6 é a matriz dos termos independentes 2 Sistemas homogêneos Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos A n upla (0, 0, 0,, 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e recebe o nome de solução trivial. Quando existem outras soluções são chamadas de não triviais. Sistema Normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações e de incógnitas e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Exercícios 1) Resolver os sistemas

termos independentes das equações são nulos 3 2 0 5 2 0 2 3 0 A n upla (0, 0, 0,, 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e recebe o nome de solução trivial.

4 ) Construa a matriz incompleta e a matriz completa de : a) b) ) Verifique se a terna ordenada (1, 1, 1) é solução do sistema: Regra de Cramer O estudo dos determinantes consiste em uma forma de resolver sistemas n x n com a vantagem de permitir que os sistemas sejam analizados a partir do determinante da sua matriz incompleta. O método de resolver sistemas a partir de determinantes é conhecido como Regra de Cramer. Todo sistema linear normal tem uma única solução dada por: 2 5 Resolva o sistema 2 3 3, usando a regra de cramer 4 4 Resolução : Calculando o determinante principal D Portanto S.P.D. (Se det A fosse nulo não continuaríamos a resolução pelo sistema de Cramer. Calculando o determinante das incógnitas (Substituir os termos independentes na 1ª coluna) (Substituir os termos independentes na 2ª coluna) 4 4 1

O método de resolver sistemas a partir de determinantes é conhecido como Regra de Cramer.

5 (Substituir os termos independentes na 3ª coluna) Daí vem: Portanto,,, 1, 2, 2 é çã Exercícios 1 ) Resolva os sistemas lineares, usando Cramer : a) , b) ,, 2 1 c) , 1, 2 Discussão de um sistema linear Se um sistema tem o mesmo número de linhas e incógnitas ele pode ser classificado como: a) Possível e Determinado (S.P.D.) quando det 0 o sistema apresenta solução única çã ú b) Possível e indeterminado (S.P.I.) 0, para n = 2. Se 3 essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não proporcionais , 0, 0, 0 çõ c) Impossível (S.I.) 0 0

a) Possível e Determinado (S.P.D.) quando det 0 o sistema apresenta solução única 3 2 0 3 0 3 2 6 çã ú b) Possível e indeterminado (S.P.I.) 0, para n = 2.

6 , s : 1) Discuta o sistema em função de m Solução m 2 0 çã ú O sistema terá solução única se 2 0 çõ O sistema não é S.P.I. Exercícios 1 1) Discuta o sistema em função de m 5 9 2) Classifique os sistemas abaixo: 5 a) b) ) Classifique os sistemas abaixo e apresente os resultados dos S.P.D. 0 a) b)

Exercícios 1 1) Discuta o sistema 2 3 6 em função de m 5 9 2) Classifique os sistemas abaixo: 5 a) 2 3

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