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1 1. Sobre o sistema de equações lineares apresentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo a um parâmetro real. x y z x ay z 1 x y z 3 ( ) Se a, então o sistema admite infinitas soluções. ( ) O sistema sempre admite solução. ( ) Quando o sistema admite solução, temos que x 1. ( ) Se a, então o sistema admite uma única solução. ( ) Se a 1, então o sistema admite a solução (1,, 1). F F V V V. Calculando o determinante da matriz dos coeficientes, encontramos: a a 4 1 (a 1 ) a. 1 1 Para a esse determinante se anula. Tomemos a matriz ampliada do sistema, com a : Aplicando as operações elementares sobre as linhas dessa matriz, encontramos: Desse modo, podemos concluir que para a possível e determinado. o sistema é impossível, e que para a o sistema é Para a, a matriz ampliada fica a Aplicando as operações elementares sobre as linhas dessa matriz, obtemos: a a Daí, segue que Se a 1, então sistema. z a, y e x 1, para todo a. a a z 1 1, y e x 1. Logo, a terna ordenada (1,, 1) é solução do 1 1

2 . O sistema a) a b) a c) a d) a e) a ax 4y a, x ay em x e y, é possível e indeterminado se, e somente se: [D] O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, a 4 a a. 1 a 3. Para trabalhar na Feira Internacional do Livro, a editora contratou três funcionários: Ana, Beto e Carlos, com salários x, y e z reais, respectivamente. O salário de Ana é igual à soma dos salários de Beto e Carlos. No final da feira, a editora pagou uma gratificação, de valor igual ao salário de Beto, a cada um dos três. Assim, Ana recebeu no total, Qual foi o valor da gratificação que receberam? R$.300,00, e a soma dos valores que os três receberam foi de R$5.400,00. Temos x y z z x y x y 300 x y 300. x 4y z 5400 x 3y 5400 Portanto, somando a terceira linha com a segunda multiplicada por é o resultado procurado., encontramos y R$ 800,00, que 4. Um fabricante combina cereais, frutas desidratadas e castanhas para produzir três tipos de granola. As quantidades, em gramas, de cada ingrediente utilizado na preparação de 100 g de cada tipo de granola são dadas na tabela a seguir. Tipo de granola/ingredientes Cereais Frutas Castanhas Light Simples Especial O fabricante dispõe de um estoque de 18 kg de cereais, 6 kg de frutas desidratadas e kg de castanhas. Determine quanto de cada tipo de granola ele deve produzir para utilizar exatamente o estoque disponível.

3 Considerando: x a quantidade de porções de 100g de granola light y a quantidade de porções de 100g de granola simples e z a quantidade de porções de 100g de granola especial Temos o seguinte sistema: 80x 60y 60z x 40y 0z x 0z 000 Resolvendo o sistema temos x = 10, y = 100 e z = 40, logo 1 kg de granola light, 10 kg de granola simples e 4 kg de especial. 5. Um Pet Shop tem cães, gatos e passarinhos à venda, totalizando 38 cabeças e 11 patas. Sabe-se que nenhum destes animais apresenta algum tipo de deficiência física e que a metade do número de passarinhos mais o número de cães supera em duas unidades o número de gatos. Se o preço de venda de cada cão, gato e passarinho é, respectivamente, 500, 90 e 55 reais, então, ao vender todos estes animais, o Pet Shop terá arrecadado: a) 4770 reais b) 3950 reais c) 6515 reais d) 550 reais e) 5730 reais [A] Sejam c, g e p, respectivamente, o número de cães, o número de gatos e o número de passarinhos. Se a metade do número de passarinhos mais o número de cães supera em duas unidades o número de gatos, então p c g p c g 4. Por outro lado, como existem 11 patas, temos que 4(c g) p 11 p c 56 g Assim, g 4 56 g 4g 5 g 13. Além disso, como o total de cabeças é 38, vem c g p 38 p c 5 c. Portanto, p c g 4 5 c c 13 4 c 5

4 e, dessa forma, p Por conseguinte, ao vender todos os animais o Pet Shop terá arrecadado R$ 4.770, Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de 01. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram: 1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 6,00; ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00; 3ª) canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00. Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é: a) R$ 0,00 b) R$ 18,00 c) R$ 16,00 d) R$ 14,00 e) R$ 1,00 [D] x é o preço da caneta y é o preço do caderno z é o preço do lápis De acordo com os dados do problema, temos: 5x 4y 10z 6,00 (I) 3x 5y 3z 66,00 (II) x 3y 7z 44,00 (III) Fazendo (I) (III) + (II), temos: 6x 6y 6z 84,00 x y z Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.88,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$.588,00. A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de a) 3.767,00. b) 3.777,00. c) 3.787,00. d) 3.797,00. e) 3.807,00.

5 [C] Sendo, x o preço da TV, y o preço do freezer e z o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema: y z 188 x y 3698 x z 588 Somando as equações, temos:.(x + y + z) = Logo, x + y + z = Relativas ao sistema kx 4ky 0,k 3x ky 8, considere as afirmações I, II e III abaixo. I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k. II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k. III. É impossível para um único valor de k. Dessa forma, a) somente I está correta. b) somente II e III estão corretas. c) somente I e III estão corretas. d) somente III está correta. e) I, II e III estão corretas. [B] k 4k 3 k 0 k 1k 0 k 0 e k 1 (o sistema possui solução única) Se k = 0 temos x e y pode ser qualquer real, logo o sistema possui infinitas soluções. 3x 8 3 Se k = 1 temos 1x 48y 0(: 4) 3x 1y 0 (sistema impossível) 3x 1y 8 3x 1y 8 I) Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k. II) Verdadeira, se k = 0 o sistema apresenta infinitas soluções. III) Verdadeira, é impossível se k = 1 9. Se x, y e z constitui a solução do sistema linear x y z 1 x y 3z x 4y 5z 4 então o produto x. y. z é igual a a) 4. b) 8. c). d) 6.

6 [A] Escalonando os sistemas temos: x =, y = 1 e z = - Logo, x.y.z = Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z, S x y 3z 1 x y z m 3x ky z 4 em que k e m são constantes reais, pode-se afirmar que: a) não admite solução se k = 4. b) admite infinitas soluções se k = m = 3. c) admite infinitas soluções se k = 3 e m = 5. d) admite solução única se k = 3 e m é qualquer real. e) admite solução única se k 5 e m = 3. [B]

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