Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

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1 Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Pro. Dr. Sergio Pilling IPD/ Física e Astronomia IV Interpolação Numérica Objetivos: O objetivo desta aula é apresentar a interpolação polinomial como orma de se obter uma aproimação para uma unção que descreve um conjunto de dados. Veremos 3 metodologias para encontrar os polinômios. Inicialmente, utilizaremos o método de eliminação de Gauss visto no capítulo III para resolver o sistema de equações desejado obtido a partir da matriz de Vandermonde. No inal da aula veremos duas outras metodologias propostas para obter uma obter uma aproimação polinomial para uma unção : o método de Lagrange e o método de Newton.. Introdução Consideremos a tabela abaio contendo uma lista de valores pra o calor especiico de um dado material em unção de sua temperatura: IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling

2 . O conceito de interpolação numérica Graicamente, para n=5 temos 6 pontos, por eemplo: nós Obs: Nos nós da interpolação as unções e g assumem os mesmos valores! Durante essa aula consideraremos que g pertence a classe das unções polinomiais embora eistam outras ormas de interpolação como utilizando unções trigonométricas, epansão por series, etc. 3. A interpolação polinomial y P P P = parábola interpola 3 pontos P = reta interpola pontos IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling

3 Na notação matricial temos V a =, onde V, a = e = a a a... a n... n A matriz V é uma matriz de Vandermonde e, portanto desde que,,,..., n sejam pontos distintos temos det V=. Portanto, o sistema acima admite solução única. A matriz coluna a é a matriz das incógnitas e a matriz coluna é a das constantes i =y i IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 3

4 3.. Interpolação linear ' ' ' a + a = y - a = y -y IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 4

5 Eemplo y P P = reta =. =.6 Nesse caso a ormula geral será: P =. = Então para os pontos. e.3 teremos as os valores do polinômio abaio: 3.. Interpolação quadrática ' ' P y P = parábola interpola 3 pontos IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 5

6 Obs. Para encontrarmos os coeicientes a i temos que resolver esse sistema de equações. Podemos por eemplo utilizar o método direto de eliminação de Gauss triangularizar a matriz sanduíche ou adotar métodos iterativos para resolver esse sistema de equações como, por eemplo, os métodos de Gauss-Jacobi e o de Gauss-Seidel. Eemplo y P = parábola P P i = i =y i a + a. + a. =. a + a.6 + a.6 = 3.3 a + a.8 + a.8 = Para a primeira etapa de eliminação temos m = e m 3 =, então: Trocando L L IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 6

7 Para a segunda etapa de eliminação temos m 3 =.5/.7 =.74, então:... a +. a +. a = a +.63 a = Reescrevendo o sistema -. a =.567 Resolvendo o sistema de baio para cima temos: a = 5.667; a =.3 a =.4 Dessa orma o polinômio P terá a seguinte orma: Calculando P. encontramos: Obs. Encontrar um polinômio interpolador a partir da resolução de um sistema de equações para ordens maiores do que a estudada acima pode ser muito trabalhoso. Iremos aprender a seguir, duas metodologias de Lagrange e de Newton para encontrarmos os polinômios interpoladores de qualquer ordem sem termos que resolver sistemas de equações. Eercício A Encontre o polinômio interpolador de ordem Parábola que ajusta os pontos abaio utilizando o método de eliminação de Gauss para triangularizar o sistema de equações. Dica: Faça P i = i =y i em cada ponto i e depois triangularize a matriz sanduíche do sistema para achar os coeicientes a, a e a do polinômio. i i 3 9 Fi=y i B Calcule o valor de P 5. C Encontre o polinômio interpolador de ordem reta que ajusta os º e 3º pares de pontos da tabela do item A. Dica: Faça P i = i =y i em cada ponto i e depois triangularize a matriz sanduíche do sistema para achar os coeicientes a e a do polinômio. D Calcule o valor de P 5 e veriique se este valor é maior ou menor do que P 5 obtido no item B. y y Respostas: A P =-,5778+,7566 -,4 ; B P 5=.67; C P = ; D P 5=.94 < P 5 P 5 P P P IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 7

8 Eercício Encontre o P que ajusta os pontos abaio. Dica: Faça P i = i =y i em cada ponto i e depois triangularize a matriz sanduíche do sistema para achar os coeicientes a, a e a do polinômio. i i 5 Fi=y i 4 9 Eercício 3 Encontre o P 3 que ajusta os pontos abaio. Dica: Faça P 3 i = i =y i em cada ponto i e depois triangularize a matriz sanduíche do sistema para achar os coeicientes a, a, a e a 3 do polinômio. i 3 i 4 5 Fi=y i Forma de Lagrange De maneira compacta, podemos escrever a orma de Lagrange para o polinomio interpolador como: k L k onde L k são os atores de Lagrange e são dados por: L k = Π - j / Π k - j = Eercício 4 Calcule o valor dos somatórios e produtórios abaio: 4 n J= J k n J= J k a Σ -j b Σ -j c Π -j d Π -j J= 4 J= J 4 J= IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 8 4 J= J

9 Eemplo 3 Considere a tabela de dados ao lado: y = Macete: Escrevemos primeiro os termos do produtório de j= n e depois desconsideramos os termos j=k n= k= n= k= n= k= y = y = y = Eercício 5 Considere a tabela de dados eperimentais ao lado: o Escreva o polinômio interpolador de Lagrange de ordem para esse conjunto de pontos. Calcule P.5 e P.5. Dica: P = L + L + L ; L k = Π - j / Π k - j J= J k J= J k Eercício 6 Considerando um unção do tipo = 5 + ln+, escreva o polinômio interpolador de Lagrange de ordem 3 passando que passa pelos pontos =,, 3 e 4. Calcule P 3. e P 3.. Dica: =5.69; ;=.9; 3= 6.38; 4=.6 P 3 = L + L + L + 3 L 3 ; onde L k = Π - j / Π k - j J= J= IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling J k J k 9 3 3

10 ALGORITMO 5. Forma de Newton p n = [ ] + [, ]- + [,, ] [,..., n ] n- onde o termo [ i ] é conhecido como OPERADOR DIFERENCAS DIVIDADAS. Este operador é deinido a a partir das operações listadas abaio para certa unção tabelada em n+ pontos distintos,,,... n : [ i ] i e IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling

11 Eemplo 4 Usando a orma de Newton, polinômio P que interpola nos pontos dados ao lado é: [ ] Calculando as dierenças divididas pela ormula geral [ i ] i e construímos a tabela das dierenças divididas abaio IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling

12 e posteriormente reescrevemos acilmente o polinômio interpolador em sua orma inal: ou Eemplo 5 Seja o conjunto de pontos ao lado: 3 4 Utilizando a deinição das dierenças divididas escrevemos a tabela das dierenças divididas: [ ]= = ] Com a tabela das dierenças divididas encontramos acilmente qualquer polinômio interpolador P n onde n 4 que ajusta os pontos do eercício. IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling

13 ALGORITMO Eercício 7 Considere a tabela de dados eperimentais ao lado: Escreva o polinômio interpolador de Newton de ordem para esse conjunto de pontos. Calcule P.5 e P.5. o Dica: P = [ ] + - [, ]+ - - [,, ] onde [ ] = ; = Eercício 8 Considerando uma unção do tipo =5 + ln+, escreva o polinômio interpolador de Newton de ordem 3 passando que passa pelos pontos =,, 3 e 4. Calcule P 3. e P 3.. Dica: =5.69; ;=.9; 3= 6.38; 4=.6 P 3 = [ ] + - [, ]+ - - [,, ] [,,, 3 ] onde [ ] = IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 3

14 IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 4 6. Estudo do Erro na interpolação Ao se aproimar uma unção por um polinômio interpolador de grau n, comete-se um erro E n tal que seu valor estimado é: O eemplo abaio ilustra este ato no caso da interpolação linear: Eemplo 6 Consideremos duas unções e que se encontram nos nós P e P. Nesse caso é possível encontrar um mesmo polinômio interpolador p uma reta para ajustar ambas as unções. Derivada de unção no ponto ξ, n de ordem n+ = = =

15 Eemplo 7 Consideremos o problema de se obter ln3.7 por interpolação linear, onde ln está tabelado ao lado: ln3.7? e pela orma de Newton, temos: Eemplo 8 Considere a unção = e + - e a tabela dada abaio. Obtenha p.7 por interpolação linear e aça uma análise do erro cometido. Obtenção de p.7. O calculo do erro devido a esse processo de interpolação dará: IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 5

16 OBS. Limitante para o Erro Leitura Opcional Na pratica uma estimativa para o erro é dada pela epressão abaio: Eercícios propostos: Considerando a tabela de pontos abaio encontre o valor de w =.43 empregando interpolações na Forma de Lagrange de ordem, 3 e 4. Encontre o erro associado a cada uma das interpolações. Considere a tabela de pontos abaio, obtenha uma aproimação para.6 usando polinômios na Forma de Newton de graus, 3 e 4. Encontre o erro associado a cada uma das interpolações. IV Interpolação Numérica Cálculo Numérico Pro. Dr. Sergio Pilling 6