A Escola e o Relógio de Sol Resumo

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1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática A Escola e o Relógio de Sol Resumo Autora: Raquel Duarte de Souza Orientador: Prof. Dr. José Antônio Salvador Disciplina: Trabalho de Graduação A e B Professor responsável: Prof. Dr. Artur Darezzo Filho São Carlos, Dezembro de 2003.

2 As tecnologias de precisão desenvolvidas atualmente fazem com que o ser humano esqueça de observar os fenômenos naturais e deixe de questionar o motivo pelo qual eles acontecem. Questões simples estão sendo esquecidas, como por exemplo: porquê no inverno escurece mais cedo que no verão, porquê a Terra gira e nós morando nela não percebemos, e muitas outras. Entretanto a construção de um relógio de Sol pode trazer, aos alunos, inúmeras dessas questões em todas as séries e em todas disciplinas do Ensino Fundamental e Médio. Este estudo pode trazer um conhecimento efetivo e de significado próprio ao aluno e ao professor. Busca a interdisciplinaridade e a contextualização do aprendizado em diversas disciplinas, concordando com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM). Podendo formar um cidadão no sentido universal e profissional. Nosso objetivo é o estudo, a compreensão e a construção de um relógio solar, integrando todas as disciplinas do Ensino Fundamental e Médio. Esperamos motivar os alunos a aprenderem ativamente sendo responsáveis por tal aprendizado, tornando-se cidadãos críticos e conscientes. O trabalho foi desenvolvido na escola Educativa - Instituto de Educação e Cultura, de São Carlos. Durante todo o ano letivo de 2003, foi-se construindo um relógio solar na escola com a participação dos professores e alunos das várias séries em todos os passos do processo. A idéia é não centrar os alunos apenas em aula expositiva e material didático escrito e sim trabalhar com materiais concretos fazendo com que eles vivenciem ativamente cada experiência de aprendizado. Para elaborar o projeto foram estudados alguns conceitos de astronomia em seguida elaboradas algumas atividades para a construção de alguns tipos de relógio solar. Cada atividade elaborada foi sugerida aos professores responsáveis pela turma em que a atividade seria aplicada. O objetivo era fazer com que o professor modifica-se a atividade para que ela fosse adequada aos seus alunos. Como poucos professores sugeriram pequenas modificações as mesmas atividades foram propostas a turmas diferentes. A seguir os estudo de astronomia. O sistema solar surgiu a partir de reações termonucleares em uma nuvem de gás e poeira cósmica, há aproximadamente cinco bilhões de anos atrás. Ele é constituído pelo Sol, que é uma estrela central e seus nove planetas. Por ordem 1

3 de distância do Sol estão: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte (de formação rochosa), Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão (de formação gasosa). Além deles, o Sistema Solar também é constituído pelos satélites dos planetas, por numerosos cometas, asteróides, meteoróides e pelo espaço interplanetário. Sistema Solar. Nas pesquisas realizada foi encontrado no site a disposição do sistema solar em um campo de futebol. Veja a figura abaixo. Disposição dos planetas no campo de Futebol. Sendo o futebol um jogo muito popular acreditamos que possa despertar interesse ou curiosidade nas pessoas. Considerando o formato do campo de futebol retangular e supondo que seu comprimento seja x, em metros. A distância do Sol até Plutão será equivalente a x. E o posicionamento dos outros planetas será dado pela seguinte 2

4 função: Distância do Planeta ao Sol em U.A. y = * x, Distância de Plutão ao Sol em U.A. onde : y = Posição do planeta na reta x = Comprimento do campo de futebol U.A.= 1 Unidade Astronômica =1,5 x 10 8 km É possível relacionar a disposição do sistema solar com diversos tópicos de matemática elementar, por exemplo: razão e proporção, regra de três simples, notação científica, o número π, equação de uma reta e em geometria: área e comprimento de circunferência, etc. Estudamos também no sistema solar dois movimentos realizados pelo planeta Terra. O movimento de rotação onde a Terra gira ao redor do seu eixo imaginário, no sentido Oeste para Leste ou anti-horário. Este movimento causa a sucessão dos dias e das noites. E o movimento de translação, em torno do Sol, também no sentido de Oeste para Leste. Juntamente com a inclinação do eixo imaginário este movimento causa as estações do ano. A quantidade de calor recebida em um mesmo ponto da superfície da Terra varia de acordo com a época do ano. conforme figura abaixo. As estações do ano. Quando a Terra está no lado esquerdo os raios solares incidem com menor inclinação sobre o hemisfério sul do que sobre o hemisfério norte. Em virtude disso, cada metro quadrado da superfície no hemisfério sul recebe mais radiação solar do que a mesma área no hemisfério norte. Assim, no hemisfério sul é verão, enquanto no hemisfério norte é inverno. Seis meses após, a Terra se deslocou para o lado direito. Nesta situação ocorre o inverso, no hemisfério norte os raios solares incidem com menor inclinação do que no hemisfério sul. Portanto, temos o verão no hemisfério norte e inverno no hemisfério sul. A primavera e o outono ocorrem nas posições intermediárias. 3

5 Os eventos que determinam as estações do ano, solstício e equinócio, são dados pela inclinação do eixo de rotação terrestre e seu deslocamento anual O Sol desloca-se regularmente ao longo do horizonte entre dois extremos máximos. A regularidade desse deslocamento permitiu ao homem definir um intervalo de tempo, o ano. O intervalo de um ano corresponde ao Sol sair de sua posição máxima a esquerda passar pelo ponto médio e atingir o extremo máximo a direita para então retornar ao ponto médio e atingir finalmente o ponto máximo a esquerda. Estes pontos de extremos são o Solstício e o Equinócio. Veja na figura abaixo. Trajetória aparente do Sol durante um ano. A trajetória aparente do Sol é diferente para cada ponto da superfície terrestre. Próximo aos pólos (Caso (2)) a trajetória aparente do Sol são círculos paralelos ao horizonte. Nestes locais ocorre o fenômeno chamado Sol da meia-noite, são quase seis meses de iluminação solar e seis meses sem iluminação solar. Já próximo à Linha do Equador (Caso (3)) temos que o Sol fica aproximadamente duas vezes ao ano perpendicular ao plano do horizonte. E entre os trópicos de Câncer e Capricórnio (Caso (1)) teremos uma trajetória solar inclinada em relação ao horizonte e apenas uma vez ao ano perpendicular em relação ao horizonte. 4

6 Caso (1) Caso (2) Caso (3) Para localizar qualquer ponto sobre a superfície terrestre precisamos conhecer suas coordenadas geográficas. Estas coordenadas são dadas por linhas imaginárias chamadas paralelos e meridianos. Os paralelos são assim chamados porque nunca se cruzam, são planos paralelos ao Equador, eles determinam a latitude que é a distância em graus de um lugar qualquer da superfície terrestre até a linha do equador. Na linha do Equador temos latitude 0º. A latitude varia entre 0º e 90º para o Norte e para o Sul. Os meridianos ligam os pólos da Terra pela menor distância em sua superfície e determinam a longitude. O Meridiano de Greenwich que passa sobre um observatório astronômico localizado na cidade de Greenwich tem 0 de longitude. A longitude varia de 0 a 180 para leste e para oeste. Nos primórdios da história o homem sentiu a necessidade de mensurar o tempo. Relacionando o tempo com o movimento aparente do Sol, um dos primeiros instrumentos utilizados para medir o tempo foi um relógio solar. A diferença entre um relógio solar e um relógio mecânico é que os relógios mecânicos, devido ao cálculo de suas engrenagens, marcam um tempo sempre regular, ou seja, o tempo médio, que é a média anual de todas as variações do tempo solar. Nestes relógios os dias têm sempre o mesmo número de horas durante todo o ano. Os relógios mecânicos medem o dia solar médio, que é o tempo em que a Terra levaria para dar uma volta sobre seu eixo, tomando como ponto de referência o Sol, caso seu movimento de translação ao redor desse astro fosse rigorosamente uniforme em todas as épocas do ano. O relógio solar registra as horas do dia de acordo com o movimento aparente do Sol, através da sombra de uma haste, produzida pelos raios solares. Este relógio registra as horas baseado no dia solar verdadeiro. Dia solar verdadeiro é o tempo que a Terra leva para fazer o movimento de rotação. 5

7 O ponteiro de um relógio solar é chamado de gnomon, nome dado pelos gregos, significa ponteiro, indicador. O gnomon deve estar apontado para o Pólo Sul, no nosso hemisfério. Pois o Sol tem uma trajetória aparente em torno deste eixo. O gnomon deve fazer um ângulo com o plano horizontal igual a latitude do local onde o relógio solar será instalado. A latitude local pode ser encontrada em mapas geográficos ou calculada através da observação de um astro. Vista lateral do relógio equatorial. O mostrador é colocado perpendicularmente ao gnomon, assim ele fica situado em um plano paralelo ao plano do Equador. Como a Terra gira 360 graus em um período de aproximadamente 24 horas, a cada hora ela gira 15 graus. Enquanto a Terra gira, a sombra do gnômon durante o dia também se move, 15 graus por hora. Para construir o mostrador basta traçar um diâmetro do disco. Um dos lados é referente ao período noturno e o outro ao período de iluminação solar. O último lado deve ser dividido em 12 ângulos de 15 graus cada um. Cada 15 graus corresponderá a uma hora exata. Veja nas figuras abaixo a disposição dos números no mostrador e uma foto de um relógio solar de montagem equatorial. Vista frontal do marcador. 6

8 Relógio solar montagem equatorial. Os relógios solares podem ser fixos ou portáteis e existem diversos modelos. A seguir serão apresentados duas outras montagens a horizontal e a vertical. Em um relógio solar de montagem horizontal o mostrador é horizontal e o gnômon faz um ângulo com o mostrador igual ao da latitude do lugar onde está instalado. Relógio solar montagem horizontal. No relógio solar de montagem vertical o mostrador é vertical. Podendo ser orientado para o sul, ou para o norte. O gnômon faz um ângulo com o mostrador igual ao da co-latitude do lugar onde será instalado o relógio. A colatitude é o complemento da latitude: co-latitude = 90º - latitude local 7

9 Relógio solar montagem vertical. Com devemos apontar o gnomon para a direção sul precisamos encontrar o meridiano local. Meridiano local é o meridiano que passa exatamente pelo ponto da superfície terrestre em que estamos localizados. Para encontrá-lo podemos realizar a seguinte experiência. Uma vareta deve ser fincada verticalmente no chão, em direção ao centro da Terra. A sombra da estaca deve ser observada e desenhada, e em seguida traçada uma circunferência de raio igual a sombra desenhada anteriormente. Esta seqüência deve ser repetida várias vezes durante um dia. Algumas circunferências traçadas no período da tarde terão o mesmo raio que outras traçadas no período da manhã. Traçando a bissetriz dos raios destas circunferências encontramos o meridiano local, que é a projeção do eixo polar da Terra nos dando a direção Norte e Sul no ponto da superfície terrestre onde estamos localizados. Sombras coincidentes e o meridiano local. O gnomon deve estar inclinado segundo a latitude local, encontrada em mapas geográficos, por exemplo. Um relógio solar de montagem equatorial pode ser construído utilizando os seguintes materiais: uma garrafa do tipo pet, barbante, folha e lápis. Meça o tamanho da circunferência da garrafa e divida por 24, encontrando a medida h. Tome a medida de metade da circunferência da garrafa e acrescente um centímetro. Construa um retângulo de modo que um dos lados tenha a medida anterior. Faça 13 marcas no retângulo espaçadas entre si com a medida h. Escreva os 8

10 números de 6 às 18 sobre as marcas feitas no retângulo, da esquerda para direita para representar as horas. Cole-o na garrafa com as marcas voltadas para dentro. Perfure o fundo da garrafa bem no centro. E também o centro da tampa. Faça um furo no centro da tampa e do fundo da garrafa. Passe um barbante pelo furos e prenda-o de forma que fique esticado. Coloque a tampa da garrafa em direção ao pólo elevado e eleve a garrafa de forma que o barbante faça um ângulo com o plano horizontal igual a latitude local. Para a cidade de São Carlos a latitude é de 22º, apoiando a garrafa em um sabão de pedra, por exemplo, teremos aproximadamente este ângulo.veja na figura abaixo como fica o relógio construído. Relógio solar de garrafa. Um relógio solar de montagem horizontal pode ser construído a partir da planificação de um relógio solar de montagem equatorial, utilizando a trigonometria. Observe na figura abaixo este esquema matemático de um relógio solar de montagem equatorial. O nosso objetivo consiste em planificar o ângulo w, ou seja descobrir qual o valor do ângulo theta para cada ângulo w do mostrador. Como cada local da superfície terrestre tem uma latitude (ângulo phi) deixaremos os ângulos phi e w em função de theta. Encontrando as relações trigonométricas nos triângulos do tetraedro das figura encontraremos a seguinte relação: theta = arctg (sen phi. tg w). 9

11 Construa um retângulo e um segmento que passe pelo ponto médio de um dos lados e pelo centro. Este segmento corresponderá a 12 horas. Considerando w=15º na relação acima encontraremos os ângulos correspondentes a 11 e 13 horas. Então basta construir um ângulo a partir do segmento correspondente a 12 horas. Considerando w=30º teremos os ângulos correspondentes a 10 e 14 horas, considerando sempre ângulos múltiplos de 15º encontramos todos os ângulos do mostrador equatorial planificados. O mostrador será semelhante ao da figura baixo. Mostrador horizontal. A latitude de ponto da superfície terrestre pode ser encontrada através da observação de um astro e alguns cálculos. Para encontrar a latitude é preciso definir anteriormente alguns conceitos de astronomia como esfera celeste, coordenadas celestes, posição geográfica, zênite e distância zenital. Esfera celeste é uma esfera, concêntrica com a Terra, onde os astros estão fixados. Para nos localizarmos na esfera celeste usaremos as coordenadas celestes, que são: ascensão reta (equivalente a longitude terrestre) e declinação (equivalente a latitude terrestre). Suponha que em um determinado instante traçamos um segmento de reta ligando o centro de um astro ao centro da Terra. O ponto onde este segmento de reta "fura" a superfície da Terra é chamado de Posição Geográfica do astro, ou simplesmente PG. Um observador colocado sobre a PG de um astro verá este astro diretamente na vertical, sobre a sua cabeça (no zênite). Zênite é o ponto da esfera celeste que está situado na vertical do lugar, sobre a posição do navegador. Distância zenital é a distância entre a PG de um astro e o zênite do observador. 10

12 Para encontrar a latitude consideramos dois casos, o caso em que o astro está fora do zênite do observador, onde a latitude é dada pela declinação somada com a distância zenital. E o caso em que o astro está sobre o zênite do observador, onde a latitude é igual a declinação, conforme as figuras abaixo. PS Z Dist. Zenital PS Z Declinação Latitude Equador Celeste Latitude Sol localizado fora do zênite do observador e no zênite do observador. Algumas atividades elaboradas para a construção de um relógio solar foram sugeridas ao professores da escola Educativa de São Carlos, juntamente com um material de referência para estudo. Todas as atividades poderiam ser modificadas pelos professores de acordo com a realidade de sua turma. Como nenhuma atividade foi modificada, as mesmas atividades foram propostas a turmas diferentes. Na terceira série do Ensino Fundamental, os alunos brincaram de jogo da sombra, que é um pega-pega, onde para pegar você deve pisar na sombra do outro colega. Em seguida os alunos fizeram o registro da observação do gnomon no começo e no final da tarde. Estas atividades tinham como objetivo fazer com que os alunos percebessem o movimento aparente do Sol. Os pontos cardeais foram ensinados aos alunos pela professora e para fixar este conceito os alunos fizeram um mapa para a caça ao tesouro, utilizando os pontos cardeais. As crianças, registro das observações do gnomon e mapa com pontos cardeais. 11

13 No segundo ano do Ensino Médio os alunos com o auxílio da trigonometria planificaram o mostrador equatorial. Alunos do segundo ano do Ensino Médio. Este trabalho de graduação deu-me a oportunidade de ter um contato maior com alunos, professores e o dia a dia de uma escola. A idéia inicial era fazer com que os professores estudassem e aplicassem as atividades em suas turmas, juntamente com os professores de outras disciplinas criando a interdisciplinaridade. Mas infelizmente apenas os professores de matemática participaram do projeto e a interdisciplinaridade aconteceu pois nas aulas de matemática foram tratados temas de astronomia e geografia. No ensino fundamental conseguimos atingir nosso objetivo os alunos se interessaram e se envolveram nas aulas demonstrando prazer em aprender. Já no ensino médio isso não aconteceu. Serão necessárias algumas modificações nesta área para que os alunos se envolvam. Neste trabalho houve uma auto-afirmação, tive certeza que sim, eu quero ser professora e se Deus quiser a melhor professora do mundo! 12

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