28 de agosto de MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior

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1 MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015

2 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida pela equação y = 2x + 1. Note que esta equação define uma função explicitamente. De fato, define a função f (x) = 2x + 1. Mas, nem todas as funções podem ser definidas explicitamente, como pode ser visto no exemplo abaixo.

3 Exemplo Seja A = {(x, y); xy + y 2 + 2x 3 = 0} Note que não podemos resolver y em função de x e nem x em função de y. Além disso, podem existir ou não, funções f que satisfaçam a equação xy + y 2 + 2x 3 = 0 (1) Exemplo Note que x 2 + y 2 = 1 não define nehuma função a valores reais que satisfaça a equação.

4 Uma equação pode definir mais de uma função f que satisfaça a mesma. Exemplo Considere a equação x 2 + y 2 = 4 Note que esta equação define duas funções, a saber f 1 (x) = 4 x 2 e f 2 (x) = 4 x 2 onde amabas, f 1 e f 2, satisfazem a equação acima. Assim, podemos ter equações que não definam nenhuma função, definam exatamente uma ou definam mais de uma função.

5 Voltamos agora a atenção novamente para a equação (1). Como vimos, (1) não pode ser resolvida explicitamente em função de x. Mas pode existir uma função (ou mais de uma) f que satisfaça (1), isto é, que a equação xf (x) + f (x) 2 + 2x 3 = 0 seja satisfeita, no sentido que a igualdade seja válida para todo x no domínio de f. Neste caso, a função f está definida implicitamente pela equação (1). Se f é derivável e definida implicitamente por uma equação dada, mesmo sem explicitar f, é possível (caso exista) encontrar sua derivada. O método que usaremos para este fim é chamado derivação impĺıcita.

6 Exemplo Suponha que f é derivável e definida pela equação (1), isto é, y = f (x) satisfaça xf (x) + f (x) 2 + 2x 3 = 0 Aplicando as regras de derivação para a equação xy + y 2 + 2x 3 = 0 obtemos d dx (xy + y 2 + 2x 3 ) = d dx (0) d dx (xy) + d dx (y 2 ) + 2 d dx (x 3 ) = 0

7 d (x).y + x.dy dx dx + 2y.dy dx + 6x 2 = 0 daí y + x. dy dx + 2y.dy dx + 6x 2 = 0 (x + 2y) dy 2 = y 6x dx dy dx = y 6x 2 x + 2y

8 Exemplo Considere novamente a equação x 2 + y 2 = 4 (2) Neste caso temos que y 2 = 4 x 2 y = 4 x 2 e y = 4 x 2 Assim, a equação (2) define exatamente duas funções f 1 (x) = 4 x 2 e f 2 (x) = 4 x 2 Derivando implicitamente a equação (2) obtemos

9 2x + 2y dy dx = 0 dy dx = x y Agora vamos derivar cada uma das funções f 1 e f 2 f 1 (x) = (4 x 2 ) 1 2 f 1 (x) = 1 2 (4 x 2 ) 1 2 ( 2x) = x 4 x 2 f 2 (x) = (4 x 2 ) 1 2 f 2 (x) = 1 2 (4 x 2 ) 1 2 ( 2x) = x 4 x 2

10 Note que, para y = f 1 (x), onde f 1 (x) = 4 x 2, temos que x 1 (x) = = x 4 x 2 y f e para y = f 2 (x), onde f 2 (x) = 4 x 2, temos que f 2 x (x) = = x 4 x 2 y ou seja, as derivadas encontradas das funções f 1 e f 2 estão de acordo com a derivada encontrada da equação (2) por derivação implicita.

11 Exemplo Considere a equação 2xy 2 x 2 = 1 supondo que esta defina uma função f derivável de x. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = f (x), no ponto (1, 1). Derivando implicitamente, obtemos 2y 2 + 4xy dy dx 2x = 0 dy dx = x y 2 2xy

12 No ponto (1, 1) temos que dy = 1 1 dx (1,1) = 0 2 = 0 Usando o ponto (1, 1) e a derivada, obtemos y 1 = 0(x 1) y = 1 Veja abaixo o esboço da curva e da reta tangente.

13 Figura: Gráfico da curva y = f (x) e da reta tangente à curva no ponto (1, 1).

14 Exemplo Considerando a equação xcos(y) + 3xy = 0 suponha que esta define uma função derivável de x. Calcule dy dx. Derivando implicitamente d dx (xcos(y) + 3xy) = d dx (0) cos(y) + x.( sen(y)) dy dx dy dx = 3y cos(y) 3x xsen(y) + 3y + 3x dy dx = 0

15 Derivadas de Ordem Superior Seja I um intervalo em R e f : I R uma função derivável. A derivada de f, a função f, será chamada de derivada primeira de f ou de função derivada primeira de f. Caso a função f seja derivável, a derivada de f será denotada por f e chamda de derivada segunda de f. Analogamente, se f for derivável, a derivada de f será denotada por f e chamada de derivada terceira de f. Para n > 3, a derivada enésima da função f, denotada por f (n), é a derivada primeira da função f (n 1) (derivada (n 1)-ésima de f ).

16 Assim f (0) = f f (1) = f f (2) = f f (3) = f e para n > 3 usamos a notação f (n), ou seja, f (4), f (5),...

17 Exemplo Considere a função polinomial Temos que f é derivável e segue que f (x) = 2x 5 x 3 + 8x 7 f (x) = 10x 4 3x Note que f também é derivável, de onde obtemos f (x) = 40x 3 6x Novamente, f também é derivável, logo f (x) = 120x 2 6

18 f também é derivável, assim f (4) (x) = 240x O mesmo para f (4), de onde f (5) (x) = 240 Finalmente, f (5) também é derivável, logo f (6) (x) = 0 Como f (6) = 0, segue que f (7) = f (8) =... f (n) = 0, para todo n > 7.

19 Notação de Leibniz Em relação a notação de Leibniz, a notação para derivadas de ordem superior é dada a seguir derivada primeira dy dx derivada segunda d 2 y dx 2. derivada enésima d n y dx n

20 Exemplo Calcule d 2 y, sendo que dx 2 y = x 2 sen(x) + e x Temos que d dx (x 2 sen(x) + e x ) = 2xsen(x) + x 2 cos(x) + e x d 2 dx 2 (x 2 sen(x) + e x ) = d dx (2xsen(x) + x 2 cos(x) + e x ) = 2sen(x) + 2xcos(x) + 2xcos(x) x 2 sen(x) + e x = (2 x 2 )sen(x) + 4xcos(x) + e x

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